2019-2020年高三數學上學期期末考試試題分類匯編 選修4-1和4-4 理.doc
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2019-2020年高三數學上學期期末考試試題分類匯編 選修4-1和4-4 理 一、選修4—1:幾何證明選講 1、(潮州市xx高三上期末)如圖所示,已知AB是圓O的直徑,AC是弦,AD⊥CE,垂足為D,AC平分∠BAD。 ?。↖)求證:直線CE是圓O的切線; ?。↖I)求證:AC2=AB?AD。 2、(東莞市xx高三上期末)如圖,已知圓O的內接四邊形BCED,BC為圓O的直徑,BC=2,延長CB、ED交于A點,使得∠DOB=∠ECA,過A作圓O的切線,切點為P。 (I)求證:BD=DE; (II)若∠ECA=45,求AP2的值。 3、(佛山市xx高三教學質量檢測(一))如圖,四邊形是圓內接四邊形,、的延長線交于點,且,. (1)求證:; (2)當,時,求的長. 4、(廣州市xx高三1月模擬考試)如圖,于點,以為直徑的圓與交于點. F C D A B E O N (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)若,點在線段上移動,, 與相交于點,求的最大值. 5、(惠州市xx高三第三次調研考試)如圖,正方形邊長為2,以為圓心、為半徑的圓弧與以為直徑的半圓交于點,連結并延長交于點. (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)求的值。 6、(揭陽市xx高三上期末)如圖4,四邊形ABCD內接于,過點A作的切線EP 交CB的延長線于P,已知。 (Ⅰ)若BC是的直徑,求的大小; (Ⅱ)若,求證: 7、(茂名市xx高三第一次高考模擬考試)如圖,A、B是圓O上的兩點,且AB的長度小于圓O的直徑, 直線與AB垂于點D且與圓O相切于點C.若 (1) 求證:為的角平分線; (2)求圓的直徑的長度。 8、(清遠市xx高三上期末)如圖,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線,交BC的延長線于點D,延長DA交△ABC的外接圓于點F,連接FB,FC. (1)求證:FB=FC; (2)若AB是△ABC外接圓的直徑,∠EAC=120,BC=6 cm,求AD的長. 9、(汕頭市xx高三上期末)已知AD為圓O的直徑,直線BA與圓O相切與點A,直線OB與弦AC垂直并相交于點G,與弧AC相交于M,連接DC,AB=10,AC=12。 (Ⅰ)求證:BADC=GCAD; (Ⅱ)求BM。 10、(汕尾市xx高三上期末)已知:如圖,四邊形ABCD 是圓O 的內接四邊形,對角線AC、BD 交于點E,直線AP 是圓O 的切線,切點為A,∠PAB=∠BAC. (1)求證: AB2=BD?BE; (2)若∠FED=∠CED,求證:點A、B、E、F四點共圓. 11、(韶關市xx高三1月調研)如圖,是圓切線,是切點, 割線與圓交于、, 是圓的直徑,交于,,,. (Ⅰ)求線段的長; (Ⅱ)求證:. 12、(肇慶市xx高三第二次統測(期末))如圖4,⊙O的半徑為r,MN切⊙O于點A,弦BC交OA于點Q,,BP⊥BC,交MN于點P. (Ⅰ)求證:PQ∥AC; (Ⅱ)若AQ=a,AC=b,求. 13、(珠海市xx高三上期末)如圖,正方形邊長為2,以為圓心、為半徑的圓弧與以 為直徑的半圓交于點,連結并延長交于點. (1)求證:點為的中點; (2)求的值. 選修4—1:幾何證明選講答案: 1、證明:(Ⅰ)連接,因為,所以.………….…..2分 又因為,所以. 又因為平分,所以,…………….…..4分 所以,即. 所以是的切線……………………………………………….….6分 (Ⅱ)連接,因為是圓的直徑,所以, 又因為,…………………………………….………8分 所以∽ 所以,即………………………………..10分 2、 3、【解析】(Ⅰ)因為四邊形是圓內接四邊形, 所以,…………1分 又,所以,,…3分 而,所以,又,所以.……………5分 (Ⅱ)依題意,設,由割線定理得,……………7分 即,解得,即的長為.……………10分 4、 5、解:(Ⅰ)由以D為圓心DA為半徑作圓,而ABCD為正方形, ∴EA為圓D的切線 ………………………………………………(1分) 依據切割線定理得 ………………………………(2分) 另外圓O以BC為直徑,∴EB是圓O的切線,………………(3分) 同樣依據切割線定理得……………………………(4分) 故………………………………………(5分) (Ⅱ)連結,∵BC為圓O直徑, ∴ ………………………………(6分) 由 得 …………………………(8分) 又在中,由射影定理得……………………(10分) 6、.解:(I)EP與⊙O相切于點A,,-----------------------1分 又BC是⊙O的直徑,----------------------------------------------3分 四邊形ABCD內接一于⊙O, -------------------------------------------------------------------5分 (II) --------------------------------------------------------------7分 ------------------------------------------------------------------8分 又--------------------------------------------------10分 7、解: (I) 證法1:如圖22-1 由切割線定理得 ……………1分 ……………2分 ……………3分 ……………4分 = , 為的角平分線 ……………5分 證法2:如圖22-1 由切割線定理得 ……………1分 ……3分 ……4分 為的角平分線 ……………5分 (2)法1:如圖22-2連結并延長交圓于點,連結, 設延長線上一點為,則AE為圓O直徑, 直線與圓O相切于點C. , (等角的余角相等) …………6分 (相等的圓周角所對的弦相等) …………7分 …………8分 …………9分 圓的直徑為4 …………10分 法2:如圖22-3,連結和,則 ……………6分 又 ……………7分 , ……………8分 ,又 四邊形AOCB為菱形 ……………9分 圓的直徑為 ………10分 法3:由證法2得,……………8分 ……………9分 如圖22-4 連結OB , 為等邊三角形, 圓的直徑為 ……………10分 8、(1)證明: 因為AD平分∠EAC, 所以∠EAD=∠DAC.………1分 因為四邊形AFBC內接于圓, 所以∠DAC=∠FBC. ………2分 因為∠EAD=∠FAB=∠FCB,………3分 所以∠FBC=∠FCB,………4分; 所以FB=FC. ………5分 (2)解: 因為AB是圓的直徑,所以∠ACB=90,………6分 又∠EAC=120,所以∠ABC=30,………7分 ∠DAC=∠EAC=60,………8分 因為BC=6,所以AC=BCtan∠ABC=2,………9分 所以AD==4(cm).………10分 9、(Ⅰ)證明:因為,所以 又是圓O的直徑,所以………………………1分 又因為(弦切角等于同弧所對圓周角)………………………2分 所以∽,所以………………………3分 又因為,所以………………………4分 所以,即………………………5分 (Ⅱ)解:因為,所以, 因為,所以………………………6分 由(1)知:∽,所以 所以,即圓的直徑………………………8分 又因為,即………………9分 解得.………………………10分 10、 11、解:(Ⅰ)因為是圓直徑 所以, ,………………1分 又,, 所以,…………………… …………………………………2分 又 可知,所以 …………………………………3分 根據切割線定理得: ,…………………………………………………4分 即 …… …………………………………… …………………………………5分 (Ⅱ)過作于,……………………………………………………………6分 則,……………………………… …………………………………7分 從而有,…………………………………………………………………8分 又由題意知 所以, …………………………………9分 因此,即 …………………………………10分 12、(Ⅰ)證明:如圖,連結AB. ∵MN切⊙O于點A,∴OA⊥MN. (1分) 又∵BP⊥BC,∴B、P、A、Q四點共圓, (2分) 所以∠QPA =∠ABC. (3分) 又∵∠CAN =∠ABC,∴∠CAN =∠QPA. (4分) ∴PQ∥AC. (5分) (Ⅱ)過點A作直徑AE,連結CE,則△ECA為直角三角形.(6分) ∵∠CAN =∠E,∠CAN =∠QPA,∴∠E =∠QPA. (7分) ∴Rt△PAQ∽Rt△ECA,∴=, (9分) 故 =. (10分) 13、解:(1)由以為圓心為半徑作圓,而為正方形,∴為圓的切線 依據切割線定理得……………………………2分 另外圓以為直徑,∴是圓的切線,同樣依據切割線定理得……2分 故……………………………………………………5分 所以點為的中點 (2)連結,∵為圓的直徑,∴ 又在中,由射影定理得 所以……………………………………………10分 二、選修4—4:坐標系與參數方程 1、(潮州市xx高三上期末)在直角坐標系xoy中,圓C的參數方程為參數)。 以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系。 ?。↖)求圓C的極坐標方程; ?。↖I)射線OM:與圓C的交點O、P兩點,求P點的極坐標。 2、(東莞市xx高三上期末)在直角坐標系xoy中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,已知曲線C的參數方程是(為參數),曲線C與l的交點的極坐標為(2,)和(2,)。 (I)求直線l的普通方程; (II)設P點為曲線C上的任意一點,求P點到直線l的距離的最大值。 3、(佛山市xx高三教學質量檢測(一))已知直線的方程為,圓的參數方程為(為參數),以原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系. (1)求直線與圓的交點的極坐標; (2)若為圓上的動點,求到直線的距離的最大值. 4、(廣州市xx高三1月模擬考試)在平面直角坐標系中,已知曲線:(為參數)與曲線: (為參數,). (Ⅰ)若曲線與曲線有一個公共點在x軸上,求的值; (Ⅱ)當時,曲線與曲線交于,兩點,求,兩點的距離. 5、(惠州市xx高三第三次調研考試)已知曲線的參數方程是(為參數),直線的極坐標方程為.(其中坐標系滿足極坐標原點與直角坐標系原點重合,極軸與直角坐標系軸正半軸重合,單位長度相同。) (Ⅰ)將曲線的參數方程化為普通方程,將直線的極坐標方程化為直角坐標方程; (Ⅱ)設是直線與軸的交點,是曲線上一動點,求的最大值。 6、(揭陽市xx高三上期末)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數方程為(t為參數),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是 (Ⅰ)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程; (Ⅱ)設直線l與曲線C相交于A、B兩點,求的值。 7、(茂名市xx高三第一次高考模擬考試)在直角坐標系xOy中,直線的方程為x+y-8=0,曲線C的參數方程為 . (1) 已知極坐標系與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點, 以x軸正半軸為極軸,若點P的極坐標為,請判斷點P與曲線C的位置關系; (2)設點Q是曲線C上的一個動點,求它到直線的距離的最小值與最大值。 8、(清遠市xx高三上期末)在直角坐標系中,曲線的參數方程為 (為參數,) 是上的動點,點滿足, (1)求曲線的普通方程. (2)以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程是,直線與曲線相交于、.求的面積。 9、(汕頭市xx高三上期末)已知曲線的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線的參數方程為(為參數).(Ⅰ)寫出直線與曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)設曲線經過伸縮變換得到曲線,設曲線上任一點為,求的最小值. 10、(汕尾市xx高三上期末)在平面直角坐標系XOY 中,以原點O 為極點,X 軸的正半軸為極軸建立極坐標系, 已知曲線C1 的極坐標方程為=1, 曲線C2 參數方程為是參數). (1)求曲線C1 和C2 的直角坐標系方程; (2)若曲線C1 和C2 交于兩點A、B,求|AB|的值. 11、(韶關市xx高三1月調研)在直角坐標系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系. 已知曲線: (為參數), :(為參數). (Ⅰ)化,的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線; (Ⅱ)若上的點對應的參數為,為上的動點,求線段的中點到直線 距離的最小值. 12、(肇慶市xx高三第二次統測(期末))在極坐標系中,圓C的方程為,以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,設直線的參數方程為為參數). (Ⅰ)求圓C的直角坐標方程和直線的普通方程; (Ⅱ)若直線與圓C恒有公共點,求實數的取值范圍. 13、(珠海市xx高三上期末)在直角坐標系中,直線過點,其傾斜角為,圓的參數方程為. 再以原點為極點,以正半軸為極軸建立極坐標系,并使得它與直角坐標系有相同的長度單位. (1)求圓的極坐標方程; (2)設圓與直線交于點、,求的值. 選修4—4:坐標系與參數方程參考答案 1、解:(Ⅰ)圓C的參數方程化為普通方程是. 即……………………………………………………….…2分 又,. 于是,又不滿足要求. 所以圓C的極坐標方程是……………………………….……5分 (Ⅱ)因為射線的普通方程為.……………………6分 聯立方程組消去并整理得. 解得或,所以P點的直角坐標為……………………8分 所以P點的極坐標為…………………………….……………10分 解法2:把代入得 所以P點的極坐標為 ………………..……………10分 2、 3、【解析】(Ⅰ)直線:,圓:,……………………1分 聯立方程組,解得或,……………………3分 對應的極坐標分別為,.………………………………………………5分 (Ⅱ)[方法1]設,則, 當時,取得最大值.……………………………………10分 [方法2]圓心到直線的距離為,圓的半徑為, 所以到直線的距離的最大值為.……………………………………10分 4、 5、解:(Ⅰ)曲線的參數方程可化為 ………………(2分) 直線的方程為展開得 …………(4分) 直線的直角坐標方程為 ………………………………………(5分) (Ⅱ)令,得,即點的坐標為(2,0)………………………(6分) 又曲線為圓,圓的圓心坐標為,半徑,則………(8分) 所以,的最大值為.…………………(10分) 6、解:(I)直線的普通方程為,------------------------------------2分 曲線C的直角坐標系方程為-------------------------------------------4分 (II)⊙C的圓心(0,0)到直線的距離 ------------------------------------------------------------6分 ∴ --------------------------------------------------------8分 ∵ 故.-----------------------------------------------10分 7、解:(1)設點P的直角坐標系坐標為,則 得 : P(4,4)。 ……2分 ……4分 點P在曲線C外。 ……5分 (2)法1:因為點Q在曲線C上,故可設點Q的坐標為 , ……6分 從而點Q到直線的距離為 ……7分 ……8分 當時,Q到直線的距離的最小值為 ……9分 當時,Q到直線的距離的最大值為 ……10分 法2:直線的平行線n方程可設為:x+y+t=0 ……6分 聯立得 ,即 ……7分 ……8分 曲線C的兩切線方程為 與 Q到直線的距離的最大值為 ……9分 Q到直線的距離的最小值為 ……10分 8、解:(1) 將(2)平方與(1)相除化簡得曲線的普通方程.,……………1分 設,由,得,……………………3分 ∵是上的動點, ∴ ……………………4分 ∴,即的普通方程為……………………5分 (2)解法一:在極坐標系中,直線與極軸相交于,…6分 曲線的極坐標方程是,……7分 由,得,或……………………8分 設,, ∴………10分 解法二:直線的直角坐標方程為x-y-2=0………6分 且與x軸交于D(2,0) ………7分; 聯立,消元得,………8分;; 設、 ,則………9分 △ABO的面積………9分,計算得S△ABO=3 ………10分 9、解 :(I)直線的方程為:.……………………………2分 曲線的方程為:………………………………………4分 (II)∵ ∴將代入,得:, 即橢圓的方程為. ………………………………6分 設橢圓的參數方程為(為參數),……………………………8分 ………………………………9分 ∴的最小值為. ……………………………………10分 10、 11、解:(Ⅰ),…………………………………………………1分 …………………………… ………………………………………2分 為圓心是,半徑是的圓. ………………………………………3分 為中心在坐標原點,焦點在軸上,長半軸長是,短半軸長是的橢圓. …………………………………………………………4分 (Ⅱ)當時,,………………………………………………………5分 設 則, ………………………………………6分 為直線,……………………………………7分 到的距離 ……………………8分 ………………………………………9分 從而當時,取得最小值 ………………………………10分 12、解:(Ⅰ)由得,, ∴直線的普通方程為. (2分) 由得,, (3分) ∴, (4分) ∴圓C的平面直角坐標方程為. (5分) (Ⅱ)∵直線與圓C恒有公共點,∴, (7分) 解得或, (9分) ∴的取值范圍是. (10分) 13、解:(1)消去參數可得圓的直角坐標方程式為………………………………2分 由極坐標與直角坐標互化公式得化簡得……………4分 (2)直線的參數方程……………………………………………6分 即代入圓方程得: 設、對應的參數分別為、,則,………………………8分 于是=.………………………………………10分- 配套講稿:
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