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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題06 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 一．命題陷阱 1.在某點(diǎn)處的切線方程 2.過某點(diǎn)的切線方程 3.與切線有關(guān)的最值問題 4.導(dǎo)數(shù)的物理意義 5.導(dǎo)數(shù)與反函數(shù)綜合 6.導(dǎo)數(shù)的幾何意義綜合 7.分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾何意義問題 二．陷阱示例及防范措施 1.在某點(diǎn)處的切線方程 例1. 曲線在點(diǎn)處的切線方程是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 練習(xí)1. 已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，滿足，則在處的切線方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可得為一固定的數(shù)，設(shè)，則有. 由可得， 當(dāng)時，有, 解得. ∴， ∴。 ∴， 又。 ∴曲線在處的切線方程為,即。選A。 【防陷阱措施】：本題的求解中，將為一固定的數(shù)成了解題的關(guān)鍵所在，然后在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行代換求值，直到求出為止，從而得到，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程。 練習(xí)2. 函數(shù)的圖像在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 練習(xí)3. 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】對函數(shù)，求導(dǎo)可得，∵在點(diǎn)處的切線方程為，∴，∴，∴在點(diǎn)處切線斜率為4，故選C. 練習(xí)4. 如右圖，直線與曲線交于兩點(diǎn)，其中是切點(diǎn)，記，則下列判斷正確的是 （ ） A. 只有一個極值點(diǎn) B. 有兩個極值點(diǎn)，且極小值點(diǎn)小于極大值點(diǎn) C. 的極小值點(diǎn)小于極大值點(diǎn)，且極小值為-2 D. 的極小值點(diǎn)大于極大值點(diǎn)，且極大值為2 【答案】D ∴當(dāng)時有極大值，且極大值為。 同理有極小值。結(jié)合圖形可得的極小值點(diǎn)大于極大值點(diǎn)。 選D。 練習(xí)5. 已知函數(shù)是定義在的可導(dǎo)函數(shù)， 為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)且 時， ，若曲線在處的切線的斜率為，則 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 可得：函數(shù)在處取得極值， ． 故答案為 2.過某點(diǎn)的切線方程 例2. 過點(diǎn)與曲線相切的直線有且只有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè)切點(diǎn)為(),,所以切線方程為:,代入,得,即這個關(guān)于的方程有兩個解.化簡方程為,即,令(),,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,g(1)=0,所以,所以.選B. 【防陷阱措施】對于曲線切點(diǎn)問題,一定要看清楚是在那個點(diǎn),還是過那個點(diǎn),如果不知道切點(diǎn),需要自己設(shè)切點(diǎn).通過求導(dǎo)求出切線方程,再代入過的那一定點(diǎn). 練習(xí)1.過點(diǎn)A(2,1)作曲線的切線最多有(　　) A. 3條 B. 2條 C. 1條 D. 0條 【答案】A 3.與切線有關(guān)的最值問題 例3. 對任意的，總有，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原問題即在區(qū)間上恒成立，考查臨界情況，即函數(shù)與相切時的情形， 很明顯切點(diǎn)橫坐標(biāo)位于區(qū)間內(nèi)，此時， ， 由可得： ， 則切點(diǎn)坐標(biāo)為： ， 切線方程為： ， 令可得縱截距為： ， 結(jié)合如圖所示的函數(shù)圖象可得則的取值范圍是. 【防陷阱措施】本題考查臨界條件的應(yīng)用，在求切線方程時，應(yīng)先判斷已知點(diǎn)Q(a，b)是否為切點(diǎn)，若已知點(diǎn)Q(a，b)不是切點(diǎn)，則應(yīng)求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線斜率，進(jìn)而用切點(diǎn)坐標(biāo)表示出切線方程． 練習(xí)1. 直線分別與曲線，與交于點(diǎn)，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 練習(xí)2. 已知函數(shù) 若對于任意兩個不相等的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則函數(shù)的值域是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可得： 練習(xí)3. 已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個數(shù)，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， ， 對任意恒成立， 對任意恒成立，即， 時， ， ，選C 點(diǎn)睛：本題首先考察導(dǎo)數(shù)定義：任取（定義域），則，之后考察含參數(shù)不等式的解法，我們一般采取分參法轉(zhuǎn)化為恒成立問題，比較方便。導(dǎo)數(shù)題型一般為函數(shù)的綜合題型，需要對相關(guān)函數(shù)方法都能掌握。 練習(xí)4. 已知定義在上的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，若函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 , 時， ， 時， ， ， 零點(diǎn)，就是與的交點(diǎn)，畫出兩函數(shù)圖象，如圖，由圖知， 過原點(diǎn)與相切的直線斜率為，所有直線與曲線有一個交點(diǎn)的的范圍是，故選D. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題. 已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 4.導(dǎo)數(shù)的物理意義 例4. 物體運(yùn)動時位移與時間的函數(shù)關(guān)系是，此物體在某一時刻的速度為0，則相應(yīng)的時刻為（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，選C. 5.導(dǎo)數(shù)與反函數(shù)綜合 例5. 函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，分別是函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【防陷阱措施】(1)運(yùn)用函數(shù)圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì). (2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究. 練習(xí)1. 已知為曲線（且）上的兩點(diǎn)，分別過作曲線的切線交軸于兩點(diǎn)，若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè)切點(diǎn)作標(biāo)為，若，則，不合題意，若，不合題意，只有，因?yàn)椋源藭r， 方程: ，令， ， ， 方程，令， ， ，故選B. 練習(xí)2. ．已知曲線恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)直線為它們的公切線，聯(lián)立可得① 求導(dǎo)可得，令可得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入可得②.聯(lián)立①②可得，化簡得。令， ， 在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減， 。 有兩條公切線， 方程有兩解， ，所以答案為D 練習(xí)3. 已知函數(shù)分別為圖象上任一點(diǎn)，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】，解得，所以， 練習(xí)4.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是__________． 【答案】 【解析】∵曲線y=ln(2x?1)， ∴y′=,分析知直線2x?y+8=0與曲線y=ln(2x?1)相切的點(diǎn)到直線2x?y+8=0的距離最短 y′═=2,解得x=1,把x=1代入y=ln(2x?1)， ∴y=0,∴點(diǎn)(1,0)到直線2x?y+8=0的距離最短， ∴d==， 故答案為： . 練習(xí)5. 若函數(shù)與函數(shù)有兩個公切線，則實(shí)數(shù)取值范圍是__________. 【答案】 【解析】設(shè)公切線在若函數(shù)與函數(shù)的切點(diǎn)為 則由, 得，化簡得有兩個不同的正根， 令，則,解得： ，當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，因此，從而，解得： ，故答案為： . 6.導(dǎo)數(shù)的幾何意義綜合 例6. 若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴。 將看成，即曲線。 將看成，即直線。 表示曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)間的距離的平方。 作與直線平行的曲線的切線， 由，得， 令，得， 解得或（舍去）。 所以切點(diǎn)為。 故點(diǎn)到直線的距離為。 故曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為。 ∴的最小值為5。 選C。 【防陷阱措施】本題若直接求解則感到無從下手，故從所求式子的幾何意義出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線上兩點(diǎn)間的距離來處理。然后借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化成直線與其平行的曲線的切線間的距離問題處理，這樣使得問題的解決變得直觀、簡單。 練習(xí)1設(shè)函數(shù)與有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，則實(shí)數(shù)的最大值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意,可得,由(1)得,解得或 (舍去),代入(2)得, ，構(gòu)造，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的最小值為，所以的最大值為，故選A. 練習(xí)2. 已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為相切的切點(diǎn)為，則有公共切線斜率為，又，即有，即為，即有，則有，即為，恰好存在兩條公切線，即有兩解， 令，則，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為，由恰好存在兩條公切線可得與 有兩個交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象與單調(diào)性可得的范圍是，故選D. 練習(xí)3. 已知a，b，c∈R，且滿足，如果存在兩條相互垂直的直線與函數(shù)f（x）=ax+bcosx+csinx的圖象都相切，則的取值范圍是 A. [-2,2] B. [-] C. [] D. [] 【答案】B 【解析】因?yàn)?，故可設(shè)。 ∵， ∴， ∴且異號。 ∵存在兩條相互垂直的直線與函數(shù)f（x）的圖象都相切， ∴存在，使得。 只需，即， ∴，∴。 ∴，其中 。 ∴。選B。 練習(xí)4. 設(shè)曲線 (∈N*)在(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為 (　　). A. B. －1 C. D. 1 【答案】B 【解析】令，則 ，切線的斜率為 ∴切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，得，所以 本題選擇B選項(xiàng). 練習(xí)5. 已知函數(shù)，直線過原點(diǎn)且與曲線相切，其切點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次排列為，則下列說法正確的是（ ） A. B. 數(shù)列為等差數(shù)列 C. D. 【答案】D 【解析】易得，故A錯誤，設(shè)切點(diǎn)為， ，則切線的斜率為，又切線過原點(diǎn)， 則，整理得，即① ，故B,C錯誤， 因?yàn)椋? 由①得， 即，整理得， 故選D 7.分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾何意義問題 例7. 設(shè)直線分別是函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線， 與垂直相交于點(diǎn)，且分別與軸相交于點(diǎn)，則的面積的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設(shè)， （），當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，∴的斜率， 的斜率，∵與垂直，且，∴，即，直線， ，取分別得到， ， ，聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，∵函數(shù)在（）上為減函數(shù)，且，∴，則，∴，∴的面積的取值范圍是，故選A. 練習(xí)1. 已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)，（ ，其中互不相等）處的切線互相平行，則的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】 函數(shù)， 曲線在點(diǎn),其中互不相等）處的切線互相平行，即在點(diǎn)處的值相等，畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象，如圖， 當(dāng)時， ， 當(dāng)時， 必須滿足， ，故答案為. 練習(xí)2. 對于任意實(shí)數(shù)，定義.定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時， ，若方程恰有兩個根，則的取值范圍是為_________ . 【答案】 【解析】由題意可得，又，故函數(shù)是周期為4的函數(shù)。畫出函數(shù)的圖象如圖所示。 令，則方程恰有兩個根等價于函數(shù)和函數(shù)的圖象恰有兩個公共點(diǎn)。 ①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A,A1時，圖象有兩個公共點(diǎn)，滿足條件，此時或。此時的取值為。 ②當(dāng)直線在y軸右側(cè)與的圖象相切時，可得，又當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時， ，兩圖象有3個公共點(diǎn)，不和題意，此時的取值范圍為。根據(jù)為偶函數(shù)得，當(dāng)直線在y軸左側(cè)與的圖象有2個公共點(diǎn)時， 的取值范圍為。 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為。 答案： 。 三．高考真題演練 1. 【xx高考山東理數(shù)】若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析：由函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)處的切線互相垂直可知，存在兩點(diǎn)處的切線斜率的積，即導(dǎo)函數(shù)值的乘積為負(fù)一. 當(dāng)時，，有，所以在函數(shù)圖象存在兩點(diǎn)使條件成立，故A正確；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值均非負(fù)，不符合題意，故選A. 2. 【xx年高考四川理數(shù)】設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為，切線的方程為，即.分別令得又與的交點(diǎn)為，，，．故選A． 3.【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線 在點(diǎn)處的切線方程是_______________． 【答案】 【解析】 試題分析：當(dāng)時，，則．又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即． 4.【xx廣東理10】曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . 【答案】或. 【解析】，所求切線的斜率為， 故所求切線的方程為，即或. 5.【xx江蘇理11】在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線（為常數(shù)）過點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則 . 【答案】 【解析】曲線過點(diǎn)，則①，又，所以②，由①②解得所以． 6.【xx山東，理20】已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值. 【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 函數(shù)有極小值，極小值是； 當(dāng)時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是 極小值是； 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； 當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是； 極小值是. 【解析】 （Ⅰ）由題意 又， 所以， 因此 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ， 即 . （Ⅱ）由題意得 ， 因?yàn)? ， 令則所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)? 所以 當(dāng)時，當(dāng)時， (1)當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增， 所以 當(dāng)時取得極小值，極小值是 ； (2)當(dāng)時，由 得 ， ①當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，單調(diào)遞增. 所以 當(dāng)時取得極大值. 極大值為， 當(dāng)時取到極小值，極小值是 ； ②當(dāng)時，， 所以 當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； ③當(dāng)時， 所以 當(dāng)時，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，單調(diào)遞增； 所以 當(dāng)時取得極大值，極大值是； 當(dāng)時取得極小值. 極小值是. 綜上所述： 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 函數(shù)有極小值，極小值是； 當(dāng)時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是 極小值是； 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； 當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是； 極小值是. 7.【xx北京，理19】已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求斜率再代入切線方程公式；（Ⅱ）設(shè)，求，根據(jù)確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)減求函數(shù)的最大值，可以知道恒成立，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性求最值. 試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所? 又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為. （Ⅱ）設(shè)，則. 當(dāng)時，， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減. 所以對任意有，即. 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為. 8.【xx年高考北京理數(shù)】（本小題13分） 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為， （1）求，的值； （2）求的單調(diào)區(qū)間. 【答案】（Ⅰ），；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)，，求，的值； （2）由題意知判斷，即判斷的單調(diào)性，知，即，由此求得的單調(diào)區(qū)間. 試題解析：（1）因?yàn)?，所? 依題設(shè)，即 解得；（2）由（Ⅰ）知. 由即知，與同號. 令，則. 所以，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增. 故是在區(qū)間上的最小值， 從而. 綜上可知，，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為. 9. 【xx福建,理20】（本小題滿分14分） 已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處 的切線斜率為-1. （I）求的值及函數(shù)的極值； （II）證明：當(dāng)時，； （III）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有. 【答案】（I）,極值參考解析;（II）參考解析;（III）參考解析 【解析】 試題分析：（I）由函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處 的切線斜率為-1.所以求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即可求出的值.再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)地正負(fù),即可得函數(shù)的極值. （II）當(dāng)時，恒成立,等價轉(zhuǎn)換為函數(shù)的最值問題.令,通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出最值即可得到結(jié)論. （III）對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有.由（II）得到函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)時,即可找到符合題意.當(dāng)時.通過等價轉(zhuǎn)化,等價于不等式恒成立問題,再對通過估算得到的值.即可得到結(jié)論. 試題解析：解法一:（I）由，得.又,得.所以.令,得.當(dāng)時, 單調(diào)遞減;當(dāng)時, 單調(diào)遞增.所以當(dāng)時, 取得極小值,且極小值為無極大值. （II）令,則.由（I）得,故在R上單調(diào)遞增,又,因此,當(dāng)時, ,即. （III）①若,則.又由（II）知，當(dāng)時, .所以當(dāng)時, .取,當(dāng)時，恒有. ②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞增.取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又.易知.所以.即存在,當(dāng)時，恒有. 綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在,當(dāng)時,恒有. 解法二: （I）同解法一. （II）同解法一. （III）對任意給定的正數(shù),取由（II）知,當(dāng)時, ,所以當(dāng)時, ,因此,對任意給定的正數(shù),總存在,當(dāng)時,恒有. 解法三: （I）同解法一. （II）同解法一. （III）首先證明當(dāng)時,恒有.證明如下:令則.由（II）知,當(dāng)時, .從而在單調(diào)遞減,所以即.取,當(dāng)時,有.因此,對任意給定的正數(shù),總存在,當(dāng)時,恒有. 注:對c的分類不同有不同的方式，只要解法正確，均相應(yīng)給分. 10.【xx高考重慶理第20題】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問3分，（Ⅲ）小問5分） 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為. （Ⅰ）確定的值； （Ⅱ）若，判斷的單調(diào)性； （Ⅲ）若有極值，求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函數(shù)；（Ⅲ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由 因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以有，利用以上兩條件列方程組可解的值； （Ⅱ）由（Ⅰ），，當(dāng)時，利用的符號判斷的單調(diào)性； （Ⅲ）要使函數(shù)有極值，必須有零點(diǎn)，由于，所以可以對的取值分類討論，得到時滿足條件的的取值范圍. 試題解析： 解：（Ⅰ）對求導(dǎo)得，由為偶函數(shù)，知， 即，因，所以 又，故. （Ⅱ）當(dāng)時，，那么 故在上為增函數(shù). （Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，當(dāng)時等號成立. 下面分三種情況進(jìn)行討論. 當(dāng)時，對任意，此時無極值； 當(dāng)時，對任意，此時無極值； 當(dāng)時，令，注意到方程有兩根， 即有兩個根或. 當(dāng)時，；又當(dāng)時，從而在處取得極小值. 綜上，若有極值，則的取值范圍為. 11.【xx北京理18】（本小題13分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求證：當(dāng)時，； （Ⅲ）設(shè)實(shí)數(shù)使得對恒成立，求的最大值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）的最大值為2. 【解析】 試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值，再用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程；第二步要證明不等式在成立，可用作差法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，由于，在（0，1）上為增函數(shù)，則，問題得證；第三步與第二步方法類似，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，但需要對參數(shù)作討論，首先符合題意，其次當(dāng)時，不滿足題意舍去，得出的最大值為2. 試題解析：（Ⅰ），曲線在點(diǎn)處的切線方程為； （Ⅱ）當(dāng)時，，即不等式，對成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，故在（0，1）上為增函數(shù)，則，因此對，成立； （Ⅲ）使成立，，等價于，；， 當(dāng)時，，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，，符合題意； 當(dāng)時，令， - 0 + 極小值 ，顯然不成立， 綜上所述可知：的最大值為2. 12.【xx課標(biāo)1理21】（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f（x）=. (Ⅰ)當(dāng)a為何值時，x軸為曲線 的切線； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點(diǎn)的個數(shù). 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時，由一個零點(diǎn)；當(dāng)或時，有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，有三個零點(diǎn). 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組，解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點(diǎn)個數(shù)，若零點(diǎn)不容易求解，則對再分類討論. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得. 因此，當(dāng)時，軸是曲線的切線. ……5分 （Ⅱ）當(dāng)時，，從而， ∴在（1，+∞）無零點(diǎn). 當(dāng)=1時，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn). 當(dāng)時，，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個數(shù). (ⅰ)若或，則在（0,1）無零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時，在（0，1）有一個零點(diǎn)；當(dāng)0時，在（0，1）無零點(diǎn). (ⅱ)若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時，取的最小值，最小值為=. ①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點(diǎn). ②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點(diǎn)； ③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時，在（0,1）有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，在（0,1）有一個零點(diǎn).…10分 綜上，當(dāng)或時，由一個零點(diǎn)；當(dāng)或時，有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，有三個零點(diǎn). ……12分 13.【xx天津理20】（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中. (I)討論的單調(diào)性； (II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：對于任意的正實(shí)數(shù)，都有； (III)若關(guān)于的方程有兩個正實(shí)根，求證： 【答案】(I) 當(dāng)為奇數(shù)時，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)見解析； (III)見解析. 【解析】(I)由，可得，其中且， 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)為奇數(shù)時： 令，解得或， 當(dāng)變化時，的變化情況如下表： 所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. (2)當(dāng)為偶數(shù)時， 當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減. 所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，即，則 由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實(shí)數(shù)都有，即對任意的正實(shí)數(shù)，都有. (III)證明：不妨設(shè)，由(II)知，設(shè)方程的根為，可得 ，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又由(II)知可得. 類似的，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)， ，即對任意， 設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，因此. 由此可得. 因?yàn)?，所以，故? 所以.