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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第十一章 第3講 隨機事件的概率 理 新人教A版 一、選擇題 1．把12人平均分成兩組，再從每組里任意指定正、副組長各一人，其中甲被指定為正組長的概率是(　　) A. B. C. D. 解析 甲所在的小組有6人，則甲被指定正組長的概率為. 答案　B 2．加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為、、，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為(　　) A. B. C. D. 解析 加工出來的零件的次品的對立事件為零件是正品，由對立事件公式得 加工出來的零件的次品率. 答案　C 3．盒中裝有10個乒乓球，其中6個新球，4個舊球．不放回地依次取出2個球使用，在第一次取出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　第一次結(jié)果一定，盒中僅有9個乒乓球，5個新球4個舊球，所以第二次也取到新球的概率為. 答案　C 4．把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于 (　　)． A. B. C. D. 解析　法一　P(B|A)＝＝＝. 法二　A包括的基本事件為{正，正}，{正，反}，AB包括的基本事件為{正，正}，因此P(B|A)＝. 答案　A 5．從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　采用枚舉法：從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個，符合“一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2個，所以所求的概率為. 答案　B 6．從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是 (　　)． A. B. C. D. 解析　從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球通過列舉知共有10個基本事件；所取的3個球中至少有1個白球的反面為“3個球均為紅色”，有1個基本事件，所以所取的3個球中至少有1個白球的概率是1－＝. 答案　D 二、填空題 7．對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設(shè)A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________． 解析　設(shè)I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件． 答案　A與B、A與C、B與C、B與D　B與D 8．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，A＝30，若將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所得的點數(shù)分別為a、b，則滿足條件的三角形有兩個解的概率是_______． 解析 要使△ABC有兩個解，需滿足的條件是因為A＝30，所以滿足此條件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6種情況，所以滿足條件的 三角形有兩個解的概率是＝. 答案 9．甲、乙兩顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風(fēng)，在同一時刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報臺風(fēng)的概率分別為0.8和0.75，則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為________． 解析　由對立事件的性質(zhì)知在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95. 答案　0.95 10．在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率為________． 解析　設(shè)A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，則P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝ 答案　 三、解答題 11．甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局． (1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率； (2)求甲獲得這次比賽勝利的概率． 解　記Ai表示事件：第i局甲獲勝，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙獲勝，j＝3,4. (1)記A表示事件：再賽2局結(jié)束比賽． A＝A3A4＋B3B4. 由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故 P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝0.60.6＋0.40.4＝0.52. (2)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利． 因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而 B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5， 由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故 P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5) ＝0.60.6＋0.40.60.6＋0.60.40.6＝0.648. 12．某公務(wù)員去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一種交通工具去開會． (1)求他乘火車或乘飛機去開會的概率； (2)求他不乘輪船去開會的概率； (3)如果他乘某種交通工具去開會的概率為0.5，請問他有可能是乘何種交通工具去開會的？ 解　(1)記“他乘火車去開會”為事件A1，“他乘輪船去開會”為事件A2，“他乘汽車去開會”為事件A3，“他乘飛機去開會”為事件A4，這四個事件不可能同時發(fā)生，故它們是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7. (2)設(shè)他不乘輪船去開會的概率為P， 則P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8. (3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5， 故他有可能乘火車或輪船去開會，也有可能乘汽車或飛機去開會． 13．黃種人群中各種血型的人所占的比如下表所示： 血型 A B AB O 該血型的人所占比/% 28 29 8 35 (1)任找一個人，其血可以輸給小明的概率是多少？ (2)任找一個人，其血不能輸給小明的概率是多少？ 解　(1)對任一人，其血型為A，B，AB，O型血的事件分別記為A′，B′，C′，D′，它們是彼此互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35. 因為B，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸給B型血的人”為事件B′＋D′.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64. (2)法一　由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36. 法二　因為事件“其血可以輸給B型血的人”與事件“其血不能輸給B型血的人”是對立事件，故由對立事件的概率公式，有P(])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36. 即：任找一人，其血可以輸給小明的概率為0.64，其血不能輸給小明的概率為0.36. 14．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表： 時間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站． (1)為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ (2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解　(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i＝1,2. 用頻率估計相應(yīng)的概率可得 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P(A1)＞P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1； P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P(B2)＞P(B1)，∴乙應(yīng)選擇L2. (2)A，B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由題意知，A，B獨立， ∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.40.1＝0.04， P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P() ＝0.40.9＋0.60.1＝0.42， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.60.9＝0.54. ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴E(X)＝00.04＋10.42＋20.54＝1.5.