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2019-2020年高三數(shù)學上學期12月月考試卷 文（含解析） 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．（5分）已知全集U={x∈N|x＜9}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，則（?UA）∩（?UB）=（） A． {0，2，7，8} B． {0，2，7} C． {0，2，8} D． {0，2} 2．（5分）設(shè)復數(shù)z=1+i（i是虛數(shù)單位），則+z2=（） A． ﹣1﹣i B． ﹣1+i C． 1﹣i D． 1+i 3．（5分）“函數(shù)y=ax是增函數(shù)”是“l(fā)og2a＞1”的（） A． 必要不充分條件 B． 充分不必要條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 4．（5分）已知實數(shù)4，m，1構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線+y2=1的離心率為（） A． B． C． 或 D． 或3 5．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的B的值為（） A． 63 B． 31 C． 15 D． 7 6．（5分）在平面直角坐標系中，若不等式組（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為（） A． ﹣5 B． 1 C． 2 D． 3 7．（5分）已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，則b﹣a=（） A． ﹣3 B． ﹣1 C． 3 D． 7 8．（5分）已知f（x）=，則f（）的值為（） A． B． ﹣ C． 1 D． ﹣1 9．（5分）雙曲線x2+my2=1的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（） A． y=2x B． C． D． 10．（5分）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，，將其沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點在同一個球面上，則該球的體積為（） A． B． 3π C． D． 2π 11．（5分）把正奇數(shù)數(shù)列依次按第一個括號一個數(shù)，第二個括號兩個數(shù)，第三個括號三個數(shù)，第四個括號一個數(shù)，…，依次循環(huán)的規(guī)律分為（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為（） A． 98 B． 197 C． 390 D． 392 12．（5分）定義在R上的函數(shù)（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R），使得對任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱y=f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”，下列命題為假命題的是（） A． 若函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=﹣2的函數(shù)，則y=f（x）至少有1個零點 B． 函數(shù)f（x）=2x+1是倍增函數(shù)且倍增系數(shù)λ=1 C． 函數(shù)f（x）=e﹣x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ∈（0，1） D． 若函數(shù)f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函數(shù)，則ω=（k∈N+） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上．. 13．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線或粗虛線畫出了某簡單組合體的三視圖和直觀圖（斜二測畫法），則此簡單幾何體的體積是． 14．（5分）數(shù)列{an}滿足a1=3，an﹣anan+1=1，An表示{an}前n項之積，則Axx=． 15．（5分）若△ABC的面積為，BC=2，C=60，則邊AB的長度等于． 16．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的值為． 三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17．（12分）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC． （1）求cosA； （2）若a=3，△ABC的面積為，求b，c． 18．（12分）某食品店每天以每瓶2元的價格從廠家購進一種酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的價格出售，如果當天賣不完，余下的酸奶變質(zhì)作垃圾處理． （1）若食品店一天購進170瓶，求當天銷售酸奶的利潤y（單位：元）關(guān)于當天的需求量n（單位：瓶，n∈N）的函數(shù)解析式； （2）根據(jù)市場調(diào)查，100天的酸奶的日需求量（單位：瓶）數(shù)據(jù)整理如下表： 日需求量n 150 160 170 180 190 200 天數(shù) 17 23 23 14 13 10 若以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．食品店一天購進170瓶酸奶，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列和數(shù)學期望EX． 19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是A1A，C1C上一點，且AE=CF=2a． （1）求證：B1F⊥平面ADF； （2）求三棱錐B1﹣ADF的體積； （3）求證：BE∥平面ADF． 20．（12分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點F1，F(xiàn)2和上下兩個頂點B1，B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60的菱形的四個頂點． （1）求橢圓C的方程； （2）過右焦點F2，斜率為k（k≠0）的直線與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x=3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′．求證：k?k′為定值． 21．（12分）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （2）若存在x0∈[，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍． 一、請考生在第（22）、（23）（24）三體中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分． 22．（10分）【選修4﹣1：幾何證明選講】 如圖，梯形ABCD內(nèi)接于圓O，AD∥BC，且AB=CD，過點B引圓O的切線分別交DA、CA的延長線于點E、F． （1）求證：CD2=AE?BC； （2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的長． 一、選考題 23．【選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程】 在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為ρ=cos（θ+）． （1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程； （2）求直線l被曲線C所截得的弦長． 一、選考題 24．選修4﹣5：不等式選講 已知函數(shù)f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|， （Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的圖象； （Ⅱ）當x＜5時，不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立，求a的取值范圍． 甘肅省蘭州市西北師大附中xx高三上學期12月月考數(shù)學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．（5分）已知全集U={x∈N|x＜9}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，則（?UA）∩（?UB）=（） A． {0，2，7，8} B． {0，2，7} C． {0，2，8} D． {0，2} 考點： 交、并、補集的混合運算． 專題： 計算題． 分析： 先計算（?UA），（?UB），再計算（?UA）∩（?UB）． 解答： 解：全集U={x∈N|x＜9}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}． 集合A={3，4，5}，B={1，3，6}， 所以?UA={0，1，2，6，7，8}，?UB}={0，2，4，5，7，8}． 則（?UA）∩（?UB）={0，2，7，8} 故選A． 點評： 本題考查集合的基本運算．屬于基礎(chǔ)題． 2．（5分）設(shè)復數(shù)z=1+i（i是虛數(shù)單位），則+z2=（） A． ﹣1﹣i B． ﹣1+i C． 1﹣i D． 1+i 考點： 復數(shù)代數(shù)形式的混合運算． 專題： 數(shù)系的擴充和復數(shù)． 分析： 把復數(shù)z代入表達式化簡整理即可． 解答： 解：對于， 故選D． 點評： 本小題主要考查了復數(shù)的運算和復數(shù)的概念，以復數(shù)的運算為載體，直接考查了對于復數(shù)概念和性質(zhì)的理解程度． 3．（5分）“函數(shù)y=ax是增函數(shù)”是“l(fā)og2a＞1”的（） A． 必要不充分條件 B． 充分不必要條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 先判斷兩個命題p?q與q?p的真假，再根據(jù)充要條件的定義給出結(jié)論． 解答： 解：∵條件p：“函數(shù)y=ax是增函數(shù)”即a＞1， 又∵條件q：“l(fā)og2a＞1”即a＞2， 由于a＞2?a＞1，反之不能． 則“函數(shù)y=ax是增函數(shù)”是“l(fā)og2a＞1”的必要不充分條件． 故選A． 點評： 判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系． 4．（5分）已知實數(shù)4，m，1構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線+y2=1的離心率為（） A． B． C． 或 D． 或3 考點： 橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 由4，m，1構(gòu)成一個等比數(shù)列，得到m=2．當m=2時，圓錐曲線是橢圓；當m=﹣2時，圓錐曲線是雙曲線，由此入手能求出離心率． 解答： 解：∵4，m，1構(gòu)成一個等比數(shù)列， ∴m=2． 當m=2時，圓錐曲線+y2=1是橢圓， 它的離心率是； 當m=﹣2時，圓錐曲線+y2=1是雙曲線， 它的離心率是e2=． 故選C． 點評： 本題考查圓錐曲線的離心率的求法，解題時要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用，注意分類討論思想的靈活運用． 5．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的B的值為（） A． 63 B． 31 C． 15 D． 7 考點： 程序框圖． 專題： 計算題；圖表型；算法和程序框圖． 分析： 由程序框圖依次計算第一、第二…的運行結(jié)果，直到不滿足條件A≤5時，輸出B，即為所求． 解答： 解：由當型程序框圖得： 第一次運行B=21+1=3，A=2； 第二次運行B=23+1=7，A=3； 第三次運行B=27+1=15，A=4； 第四次運行B=215+1=31，A=5； 第五次運行B=231+1=63，A=6； 不滿足條件A≤5結(jié)束運行，輸出B=63． 故選A． 點評： 本題考查了當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，解答的關(guān)鍵是讀懂程序框圖． 6．（5分）在平面直角坐標系中，若不等式組（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為（） A． ﹣5 B． 1 C． 2 D． 3 考點： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 計算題；數(shù)形結(jié)合． 分析： 本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識，先畫出約束條件的可行域，根據(jù)已知條件中，表示的平面區(qū)域的面積等于2，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可得到答案． 解答： 解：不等式組所圍成的區(qū)域如圖所示． ∵其面積為2， ∴|AC|=4， ∴C的坐標為（1，4）， 代入ax﹣y+1=0， 得a=3． 故選D． 點評： 平面區(qū)域的面積問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域，然后結(jié)合有關(guān)面積公式求解． 7．（5分）已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，則b﹣a=（） A． ﹣3 B． ﹣1 C． 3 D． 7 考點： 絕對值不等式的解法；交集及其運算． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 解絕對值不等式求得 M={x|﹣3≤x≤2}，再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，從而求得b﹣a的值． 解答： 解：由于|x+2|+|x﹣1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到﹣2和1對應(yīng)點的距離之和， 而﹣3和2對應(yīng)點到﹣2和1對應(yīng)點的距離之和正好等于5，故由|x+2|+|x﹣1|≤5可得﹣3≤x≤2， ∴集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}={x|﹣3≤x≤2}． 再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，b﹣a=3， 故選C． 點評： 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，兩個集合的交集的定義，屬于中檔題． 8．（5分）已知f（x）=，則f（）的值為（） A． B． ﹣ C． 1 D． ﹣1 考點： 函數(shù)的值． 專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 由題意，f（）=f（﹣）+1=sin（﹣）+1=﹣?+1=﹣；從而求解． 解答： 解：f（）=f（﹣）+1=sin（﹣）+1 =﹣?+1=﹣； 故選B． 點評： 本題考查了函數(shù)的值的求法，屬于基礎(chǔ)題． 9．（5分）雙曲線x2+my2=1的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（） A． y=2x B． C． D． 考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 利用雙曲線x2+my2=1的虛軸長是實軸長的2倍，求出m的值，從而可求雙曲線的漸近線方程． 解答： 解：雙曲線x2+my2=1中a=1，b=． ∵雙曲線x2+my2=1的虛軸長是實軸長的2倍， ∴， ∴m=﹣， ∴雙曲線方程為x2﹣=1， ∴雙曲線的漸近線方程為y=2x． 故選A． 點評： 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學生的計算能力，確定m的值是關(guān)鍵． 10．（5分）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，，將其沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點在同一個球面上，則該球的體積為（） A． B． 3π C． D． 2π 考點： 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積． 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 說明折疊后幾何體的特征，求出三棱錐的外接球的半徑，然后求出球的體積． 解答： 解：由題意平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，，將其沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點在同一個球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直徑，所以BC=，球的半徑為：；所以球的體積為：=． 故選A 點評： 本題是基礎(chǔ)題，考查折疊問題，三棱錐的外接球的體積的求法，考查計算能力，正確球的外接球的半徑是解題的關(guān)鍵． 11．（5分）把正奇數(shù)數(shù)列依次按第一個括號一個數(shù)，第二個括號兩個數(shù)，第三個括號三個數(shù)，第四個括號一個數(shù)，…，依次循環(huán)的規(guī)律分為（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為（） A． 98 B． 197 C． 390 D． 392 考點： 歸納推理． 專題： 推理和證明． 分析： 由題意將三個括號作為一組，判斷出第50個括號應(yīng)為第17組的第二個括號，由題意和奇數(shù)對應(yīng)數(shù)列的通項公式，求出第50個括號內(nèi)各個數(shù)，再求出第50個括號內(nèi)各數(shù)之和． 解答： 解：由題意可得，將三個括號作為一組， 則由50=163+2，第50個括號應(yīng)為第17組的第二個括號， 即50個括號中應(yīng)有兩個數(shù)， 因為每組中有6個數(shù)， 所以第48個括號的最后一個數(shù)為數(shù)列{2n﹣1}的第166=96項， 第50個括號的第一個數(shù)為數(shù)列{2n﹣1}的第166+2=98項， 即298﹣1=195，第二個數(shù)是299﹣1=197， 所以第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為195+197=392， 故選：D． 點評： 本題考查了歸納推理，等差數(shù)列的通項公式，難點在于發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，考查觀察、分析、歸納能力． 12．（5分）定義在R上的函數(shù)（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R），使得對任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱y=f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”，下列命題為假命題的是（） A． 若函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=﹣2的函數(shù)，則y=f（x）至少有1個零點 B． 函數(shù)f（x）=2x+1是倍增函數(shù)且倍增系數(shù)λ=1 C． 函數(shù)f（x）=e﹣x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ∈（0，1） D． 若函數(shù)f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函數(shù)，則ω=（k∈N+） 考點： 函數(shù)的值． 專題： 新定義；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)題意，利用“倍增函數(shù)”的定義f（x+λ）=λf（x），對題目中的選項進行分析判斷，即可得出正確的答案． 解答： 解：對于A，∵函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=﹣2的倍增函數(shù)，∴f（x﹣2）=﹣2f（x）， 當x=0時，f（﹣2）+2f（0）=0，若f（0）、f（﹣2）任意一個為0，則函數(shù)f（x）有零點； 若f（0）、f（﹣2）均不為0，則f（0）、f（﹣2）異號，由零點存在性定理得， 在區(qū)間（﹣2，0）內(nèi)存在x0，使得f（x0）=0，即y=f（x）至少存在1個零點， ∴A正確； 對于B，∵f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ=≠1， ∴B錯誤； 對于C，∵f（x）=e﹣x是倍增函數(shù)，∴e﹣（x+λ）=λe﹣x， ∴=，∴λ=∈（0，1）， ∴C正確； 對于D，∵f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函數(shù)， ∴sin[2ω（x+λ）]=λsin2ωx，∴ω=（k∈N*）， ∴D正確． 故選：B． 點評： 本題考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的問題，解題時應(yīng)理解新定義的內(nèi)容是什么，是綜合性題目． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上．. 13．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線或粗虛線畫出了某簡單組合體的三視圖和直觀圖（斜二測畫法），則此簡單幾何體的體積是﹣． 考點： 由三視圖求面積、體積． 專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐挖去四分之一個圓錐剩下的部分，三棱錐的底面是一個腰長為4的等腰直角三角形，高為4，還原的圓錐的底面半徑為2，高為4，代入棱錐體積公式，可得答案． 解答： 解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個三棱錐挖去四分之一個圓錐剩下的部分，三棱錐的底面是一個腰長為4的等腰直角三角形，高為4，還原的圓錐的底面半徑為2，高為4， 故體積V=444﹣=﹣， 故答案為：﹣． 點評： 本題考查的知識點是由三視圖，求體積，其中根據(jù)已知分析出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵． 14．（5分）數(shù)列{an}滿足a1=3，an﹣anan+1=1，An表示{an}前n項之積，則Axx=﹣1． 考點： 數(shù)列遞推式． 專題： 計算題；壓軸題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 先通過計算，確定數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列，且a1a2a3=﹣1，再求Axx的值． 解答： 解：由題意，∵a1=3，an﹣anan+1=1， ∴，，a4=3， ∴數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列，且a1a2a3=﹣1 ∵xx=3671 ∴Axx=（﹣1）671=﹣1 故答案為：﹣1 點評： 本題考查數(shù)列遞推式，考查學生的計算能力，確定數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列，且a1a2a3=﹣1是解題的關(guān)鍵． 15．（5分）若△ABC的面積為，BC=2，C=60，則邊AB的長度等于2． 考點： 正弦定理． 專題： 解三角形． 分析： 利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可． 解答： 解：∵△ABC的面積為，BC=a=2，C=60， ∴absinC=，即b=2， 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4， 則AB=c=2， 故答案為：2 點評： 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵． 16．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的值為4． 考點： 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題： 計算題． 分析： 先求出f′（x）=0時x的值，進而討論函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可轉(zhuǎn)化為最小值大于等于0即可求出a的范圍． 解答： 解：由題意，f′（x）=3ax2﹣3， 當a≤0時3ax2﹣3＜0，函數(shù)是減函數(shù)，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，與已知矛盾， 當a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=， ①當x＜﹣時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數(shù)， ②當﹣＜x＜時，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數(shù)， ③當x＞時，f（x）為遞增函數(shù)． 所以f（ ）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可 由f（ ）≥0，即a?﹣3?+1≥0，解得a≥4， 由f（﹣1）≥0，可得a≤4， 由f（1）≥0解得2≤a≤4， 綜上a=4為所求． 故答案為：4． 點評： 本題以函數(shù)為載體，考查學生解決函數(shù)恒成立的能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題． 三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17．（12分）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC． （1）求cosA； （2）若a=3，△ABC的面積為，求b，c． 考點： 余弦定理；誘導公式的作用；兩角和與差的余弦函數(shù)；正弦定理． 專題： 計算題． 分析： （1）利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡已知等式左邊的第一項，移項合并后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式得出cos（B+C）的值，將cosA用三角形的內(nèi)角和定理及誘導公式變形后，將cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值； （2）由cosA的值及A為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及sinA的值代入，得出bc=6，記作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)于b與c的關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②即可求出b與c的值． 解答： 解：（1）3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC， 化簡得：3（cosBcosC+sinBsinC）﹣1=6cosBcosC， 變形得：3（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1， 即cos（B+C）=﹣， 則cosA=﹣cos（B+C）=； （2）∵A為三角形的內(nèi)角，cosA=， ∴sinA==， 又S△ABC=2，即bcsinA=2，解得：bc=6①， 又a=3，cosA=， ∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：b2+c2=13②， 聯(lián)立①②解得：或． 點評： 此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，誘導公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵． 18．（12分）某食品店每天以每瓶2元的價格從廠家購進一種酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的價格出售，如果當天賣不完，余下的酸奶變質(zhì)作垃圾處理． （1）若食品店一天購進170瓶，求當天銷售酸奶的利潤y（單位：元）關(guān)于當天的需求量n（單位：瓶，n∈N）的函數(shù)解析式； （2）根據(jù)市場調(diào)查，100天的酸奶的日需求量（單位：瓶）數(shù)據(jù)整理如下表： 日需求量n 150 160 170 180 190 200 天數(shù) 17 23 23 14 13 10 若以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．食品店一天購進170瓶酸奶，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列和數(shù)學期望EX． 考點： 離散型隨機變量的期望與方差；等可能事件的概率． 專題： 計算題；概率與統(tǒng)計． 分析： （1）由于食品店一天購進170瓶，故n＜170時，當天賣不完；n＞170時，當天全部賣完，由此可得分段函數(shù)； （2）確定X的可能取值，確定相應(yīng)的頻率，即可求X的分布列和數(shù)學期望EX． 解答： 解：（1）當n＜170時，y=3n﹣1702=3n﹣340； 當n＞170時，y=（3﹣2）170=170 ∴y=； （2）X的可能取值為：110，140，170 由題意，n=150，160及不小于170的頻率分別為0.17.0.23.0.6 ∴X的分布列為 X 110 140 170 P 0.17 0.23 0.6 ∴EX=1100.17+1400.23+1700.6=152.9． 點評： 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是A1A，C1C上一點，且AE=CF=2a． （1）求證：B1F⊥平面ADF； （2）求三棱錐B1﹣ADF的體積； （3）求證：BE∥平面ADF． 考點： 直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定． 專題： 計算題；證明題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： （1）由直棱柱的性質(zhì)，得B1B⊥底面ABC，從而有AD⊥B1B，結(jié)合等腰△ABC中AD⊥BC，證出AD⊥平面B1BCC1，從而得出AD⊥B1F，矩形B1BCC1中利用Rt△DCF≌Rt△FC1B1證出∠B1FD=90，從而B1F⊥FD，最后根據(jù)AD∩FD=D，證出B1F⊥平面AFD； （2）由（1）B1F⊥平面AFD，得B1F是三棱錐B1﹣ADF的高．根據(jù)題中數(shù)據(jù)分別算出AD、DF、B1F的長度，用錐體體積公式即可算出棱錐B1﹣ADF的體積； （3）連EF、EC，設(shè)EC∩AF=M，連結(jié)DM．矩形AEFC中證出M為EC中點，從而得到MD是△CBE的中位線，得到MD∥BE，再利用線面平行判定定理，即可證出BE∥平面ADF． 解答： 解：（1）∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC． 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∵B1B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B1B． ∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1． ∵B1F?平面B1BCC1，∴AD⊥B1F． 在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=a，B1C1=CF=2a， ∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1． ∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90，可得B1F⊥FD． ∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面AFD． （2）∵B1F⊥平面AFD，∴B1F是三棱錐B1﹣ADF的高 等腰△ABC中，AD==2， 矩形BB1C1C中，DF=B1F== 因此，三棱錐B1﹣ADF的體積為 V=S△AFDB1F==． （3）連EF、EC，設(shè)EC∩AF=M，連結(jié)DM， ∵AE=CF=2a，∴四邊形AEFC為矩形，可得M為EC中點． ∵D為BC中點，∴MD∥BE． ∵MD?平面ADF，BE?平面ADF，∴BE∥平面ADF． 點評： 本題在直四棱柱中證明線面平行、線面垂直，并求三棱錐的體積．著重考查了空間直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定定理和錐體體積公式等知識，屬于中檔題． 20．（12分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點F1，F(xiàn)2和上下兩個頂點B1，B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60的菱形的四個頂點． （1）求橢圓C的方程； （2）過右焦點F2，斜率為k（k≠0）的直線與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x=3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′．求證：k?k′為定值． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題． 專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析： 解：（1）由題意利用菱形和含30角的直角三角形的性質(zhì)可得a=2，，c=1．即可得到橢圓C的方程． （2）設(shè)過點F2（1，0）的直線l的方程為：y=k（x﹣1）．設(shè)點E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，．可得直線AE的方程及直線AF的方程，令x=3，得點M，N的坐標．利用中點坐標公式可得點P的坐標．即可得到直線PF2的斜率為k′，把根與系數(shù)代入即可得出k?k′為定值． 解答： 解：（1）由題意可得a=2，，c=1． ∴橢圓C的方程為． （2）設(shè)過點F2（1，0）的直線l的方程為：y=k（x﹣1）． 設(shè)點E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），聯(lián)立，化為（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0． 顯然△＞0，∴，（*）． 直線AE的方程為，直線AF的方程為， 令x=3，得點M，N． ∴點P． 直線PF2的斜率為k′= = = =． 把（*）代入得k′==﹣． ∴為定值． 點評： 熟練掌握橢圓的標準及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線的點斜式方程、中點坐標公式、斜率計算公式等是解題的關(guān)鍵． 21．（12分）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （2）若存在x0∈[，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍． 考點： 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 導數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）由已知知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值． （2）由已知得a≤2lnx+x+，x∈[，e]，設(shè)h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，則，x∈[，e]，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值 解答： 解：（1）由已知知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1， 當x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減， 當x∈（），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增， ①0＜t＜t+2＜，沒有最小值； ②0＜t＜＜t+2，即0＜t＜時，f（x）min=f（）=﹣； ③，即t時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（t）=tlnt． ∴． （2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣， ∴a≤2lnx+x+，x∈[，e]， 設(shè)h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]， 則，x∈[，e]， ①x∈[，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減， ②x∈（1，e]時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增， ∴h（x）max=h（e）=2+e+，對一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立， ∴a≤h（x）max=2+e+． 點評： 本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用． 一、請考生在第（22）、（23）（24）三體中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分． 22．（10分）【選修4﹣1：幾何證明選講】 如圖，梯形ABCD內(nèi)接于圓O，AD∥BC，且AB=CD，過點B引圓O的切線分別交DA、CA的延長線于點E、F． （1）求證：CD2=AE?BC； （2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的長． 考點： 與圓有關(guān)的比例線段． 專題： 直線與圓． 分析： （1）由已知條件，利用直線平行的性質(zhì)和弦切角定理推導出△EAB∽△ABC，由此能證明CD2=AE?BC． （2）由已知條件和（1）先求出AE，再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB，由此能求出結(jié)果． 解答： 解：（1）因為AD∥BC，所以∠EAB=∠ABC． 又因為FB與圓O相切于點B， 所以∠EBA=∠ACB， 所以△EAB∽△ABC， 所以=，即AB2=AE?BC， 因為AB=CD，所以CD2=AE?BC． （2）因為AB2=AE?BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD， 所以AE==， 因為AD∥BC，所以∠FAE=∠ACB， 又因為∠EBA=∠ACB， 所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F， 所以△FEA∽△FAB， 所以， 所以EF==． 點評： 本題考查三角形相似的應(yīng)用，考查與圓有關(guān)的線段長的求法，解題時要注意弦切角定理和三角形相似的性質(zhì)的靈活運用． 一、選考題 23．【選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程】 在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為ρ=cos（θ+）． （1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程； （2）求直線l被曲線C所截得的弦長． 考點： 參數(shù)方程化成普通方程． 專題： 坐標系和參數(shù)方程． 分析： 本題的關(guān)鍵（1）是直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）和曲線C的極坐標方程為ρ=cos（θ+）的普通方程的轉(zhuǎn)化，（2）是借助垂徑定理，求解弦長問題． 解答： 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），（t為參數(shù)） ∴化為普通方程為l：3x+4y+1=0． 又∵曲線C的極方程為ρ=cos（θ+）， ∴化為直角坐標方程為x2+y2﹣x+y=0． （2）由（1）可知曲線C表示圓心為（），半徑為的圓， ∴則圓心到直線l的距離d═=， ∴直線l被曲線C截得的弦長為 點評： 此題考查參數(shù)方程和極坐標方程化為普通方程，是一道xx高考常見的題目 一、選考題 24．選修4﹣5：不等式選講 已知函數(shù)f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|， （Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的圖象； （Ⅱ）當x＜5時，不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立，求a的取值范圍． 考點： 帶絕對值的函數(shù)；絕對值不等式的解法． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： （I）由于函數(shù)f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|=，由此根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象． （II）當x＜5時，由題意可得|x﹣a|＜6﹣x恒成立．平方可得（12﹣2a）x＜36﹣a2．結(jié)合題意可得12﹣2a＞0，且x＜．故有≥5，且a＜6，由此求得a的范圍． 解答： 解：（I）由于函數(shù)f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|=，如圖所示： （II）當x＜5時，由于不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立， 故|x﹣a|＜6﹣x恒成立． 平方可得，（12﹣2a）x＜36﹣a2． 結(jié)合題意可得12﹣2a＞0，且x＜． 故有≥5，且a＜6，解得6＞a≥4． 故所求的a的范圍為[4，6）． 點評： 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．