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1、十 二 章三 角 形 復(fù) 習(xí) 知 識 結(jié) 構(gòu)全 等 形全 等 三 角 形對 應(yīng) 邊 相 等對 應(yīng) 角 相 等 三 角 形 全 等 的 判 定（ SSS、 SAS、 ASA、 AAS、 HL）角 平 分 線 上 點(diǎn) 到 兩 邊 的 距 離 相 等到 角 兩 邊 的 距 離 相 等 的 點(diǎn) 在 角 平 分 線 上解 決 問 題 一 .全 等 三 角 形 的 定 義 與 性 質(zhì) ：1： 什 么 是 全 等 三 角 形 ？ 一 個 三 角 形 經(jīng) 過 哪 些 變化 可 以 得 到 它 的 全 等 形 ？2： 全 等 三 角 形 有 哪 些 性 質(zhì) ？ 能 夠 完 全 重 合 的 兩 個 三 角 形 叫

2、 做 全 等 三 角 形 。一 個 三 角 形 經(jīng) 過 平 移 、 翻 折 、 旋 轉(zhuǎn) 可 以 得 到 它 的全 等 形 。（ 1） ： 全 等 三 角 形 的 對 應(yīng) 邊 相 等 、 對 應(yīng) 角 相 等 。（ 2） ： 全 等 三 角 形 的 周 長 相 等 、 面 積 相 等 。（ 3） ： 全 等 三 角 形 的 對 應(yīng) 邊 上 的 對 應(yīng) 中 線 、 角 平分 線 、 高 線 分 別 相 等 。 3、 尋 找 對 應(yīng) 元 素 的 規(guī) 律 ：1、 有 公 共 邊 的 ， 公 共 邊 是 對 應(yīng) 邊 ；2、 有 公 共 角 的 ， 公 共 角 是 對 應(yīng) 角 ；3、 有 對 頂 角 的 ，

3、 對 頂 角 是 對 應(yīng) 角 ；4、 兩 個 全 等 三 角 形 最 大 的 邊 是 對 應(yīng) 邊 ， 最 小 的 邊 是 對應(yīng) 邊 ；5、 兩 個 全 等 三 角 形 最 大 的 角 是 對 應(yīng) 角 ， 最 小 的 角 是 對應(yīng) 角 ； 二、全等三角形的判定：一 般 三 角 形 全 等 的 條 件 ：1.定 義 （ 重 合 ） 法 ；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直 角 三 角 形 全 等 特 有 的 條 件 ： HL.包 括 直 角 三 角 形不 包 括 其 它 形狀 的 三 角 形解 題中 常用 的4種方 法 牛刀小試如 圖 ， AB=AC， AE=AD， BD=CE，求

4、 證 ： AEB ADC。 CAB DE證 明 ： BD=CE BD-ED=CE-ED， 即 BE=CD。在 AEB和 ADC中 ，AB=ACAE=ADBE=CD AEB ADC (sss) 牛刀小試如 圖 ， AC=BD， CAB= DBA， 你能 判 斷 BC=AD嗎 ？ 說 明 理 由 。 A BC D證 明 : 在 ABC與 BAD中AC=BD CAB= DBAAB=BA ABC DEF（ SAS） 牛刀小試如 圖 ， 已 知 點(diǎn) D在 AB上 ， 點(diǎn) E在 AC上 ， BE和 CD相交 于 點(diǎn) O， AB = AC， B = C.求 證 ： BD = CE AB CD EO證 明 ：

5、 在 ADC和 AEB中 A= A（ 公 共 角 ）AC=AB（ 已 知 ） C= B（ 已 知 ） ADC AEB（ ASA） AD=AE（ 全 等 三 角 形 的 對 應(yīng) 邊 相 等 ） 又 AB=AC（ 已 知 ） AB-AD=AC-AE即 BD=CE（ 等 式 性 質(zhì) ） 牛刀小試已 知 ， 如 圖 ， 1= 2， C= D求 證 ： AC=AD C A D B 12證 明 ： 在 ABD和 ABC中 1= 2 （ 已 知 ） D= C（ 已 知 ） AB=AB（ 公 共 邊 ） ABD ABC （ AAS） AC=AD （ 全 等 三 角 形 對 應(yīng)邊 相 等 ） 已 知 ： 如 圖

6、 ,在 ABC和 ABD中 ， AC BC, AD BD,垂 足 分 別 為 C,D,AD=BC,求 證 ： BD=AC. A BD C證 明 ： AC BC, AD BD C= D=90 在 Rt ABC和 Rt BAD中 AB BABC AD Rt ABC Rt BAD (HL) BD=AC牛刀小試 三 、 方 法 指 引證 明 兩 個 三 角 形 全 等 的 基 本 思 路 ：（ 1） ： 已 知 兩 邊 - 找 第 三 邊 (SSS)找 夾 角 （ SAS)(2):已 知 一 邊 一 角 - 已 知 一 邊 和 它 的 鄰 角找 是 否 有 直 角 (HL)已 知 一 邊 和 它 的

7、對 角 找 這 邊 的 另 一 個 鄰 角 (ASA)找 這 個 角 的 另 一 個 邊 (SAS)找 這 邊 的 對 角 (AAS)找 一 角 (AAS)已 知 角 是 直 角 ， 找 一 邊 (HL) (3):已 知 兩 角 - 找 兩 角 的 夾 邊 (ASA)找 夾 邊 外 的 任 意 邊 (AAS) 全 等 三 角 形 識 別 思 路 如 圖 ， 已 知 ABC和 DCB中 ， AB=DC， 請 補(bǔ) 充 一個 條 件 _， 使 ABC DCB。思 路 1： 找 夾 角找 第 三 邊找 直 角 已 知 兩 邊 ：AB=DC， BC=CB ABC= DCB （ SAS）AC=DB （ S

8、SS） A= D=90 （ HL）AB CD 如 圖 ， 已 知 C= D， 添 加 一 個 條 件 _，可 得 ABC ABD，思 路 2： 再 找 一 角 已 知 一 邊 一 角 （ 邊 角 相 對 ） C= D， AB=AB （ AAS） CAB= DAB 或 CBA= DBAA CB D 如 圖 ， 已 知 1= 2， 添 加 一 個 條 件_， 可 得 ABC CDA，思 路 3： 已 知 一 邊 一 角 （ 邊 與 角 相 鄰 ） ： 1= 2， AC=CAA B CD 21找 夾 此 角 的 另 一 邊找 夾 此 邊 的 另 一 角找 此 邊 的 對 角 AD=CB ACD= C

9、AB D= B （ SAS）（ ASA）（ AAS） 如 圖 ， 已 知 B= E， 要 識 別 ABC AED，需 要 添 加 的 一 個 條 件 是 _思 路 4：已 知 兩 角 ： B= E， A= A 找 夾 邊找 一 角 的 對 邊AB CD EAB=AE AC=AD或 DE=BC(ASA) (AAS) 一、挖掘“隱含條件”判全等1.如 圖 （ 1） ， AB=CD， AC=BD， 則 ABC DCB嗎 ?說 說 理 由 A DB C圖 （ 1）2.如 圖 （ 2） ， 點(diǎn) D在 AB上 ， 點(diǎn) E在 AC上 ，CD與 BE相 交 于 點(diǎn) O， 且 AD=AE,AB=AC.若 B=2

10、0 ,CD=5cm， 則 C= ,BE= .說 說 理 由 . BC O DE A圖 （ 2）3.如 圖 （ 3） ， 若 OB=OD， A= C， 若AB=3cm， 則 CD= . 說 說 理 由 . A DB CO圖 （ 3）205cm 3cm公 共 邊 ， 公 共 角 ， 對 頂 角學(xué) 習(xí) 提 示 ： 公 共 邊 ， 公 共 角 ，對 頂 角 這 些 都 是 隱 含 的 邊 ， 角 相 等 的 條 件 ！ 二、轉(zhuǎn)化“間接條件”判全等4.如 圖 ， AE=CF， AFD= CEB， DF=BE， AFD與 CEB全 等 嗎 ？ 為 什 么 ？ A DB CF E6.如 圖 （ 6） 是 某

11、 同 學(xué) 自 己 做 的 風(fēng) 箏 ， 他 根 據(jù)AB=AD,BC=DC， 不 用 度 量 ， 就 知 道 ABC= ADC。 請 用 所 學(xué) 的 知 識 給 予 說 明 。5.如 圖 （ 5） CAE= BAD， B= D，AC=AE， ABC與 ADE全 等 嗎 ？為 什 么 ？ ACE B D 4.如 圖 （ 4） AE=CF， AFD= CEB， DF=BE， AFD與 CEB全 等 嗎 ？ 為 什 么 ？解 ： AE=CF(已 知 ) A DB CF E AE FE=CF EF(等 量 減 等 量 ， 差 相 等 )即 AF=CE在 AFD和 CEB中 ， AFD CEB AFD= C

12、EB(已 知 )DF=BE(已 知 )AF=CE(已 證 ) (SAS) 5.如 圖 （ 5） CAE= BAD， B= D，AC=AE， ABC與 ADE全 等 嗎 ？ 為 什 么 ？ACE B D 解 ： CAE= BAD(已 知 ) CAE+ BAE= BAD+ BAE (等 量 減 等 量 ， 差 相 等 )即 BAC= DAE在 ABC和 ADE中 ， ABC ADE BAC= DAE(已 證 )AC=AE(已 知 ) B= D(已 知 ) (AAS) 6.“三 月 三 ， 放 風(fēng) 箏 ” 如 圖 （ 6） 是 小 東 同學(xué) 自 己 做 的 風(fēng) 箏 ， 他 根 據(jù) AB=AD,BC=

13、DC，不 用 度 量 ， 就 知 道 ABC= ADC。 請 用所 學(xué) 的 知 識 給 予 說 明 。 解 : 連 接 AC ADC ABC(SSS) ABC= ADC(全 等 三 角 形 的 對 應(yīng) 角 相 等 )在 ABC和 ADC中 ， BC=DC(已 知 )AC=AC(公 共 邊 )AB=AD(已 知 ) 角 的 內(nèi) 部 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 的 點(diǎn)在 角 的 平 分 線 上 。用 法 ： QD OA， QE OB， QD QE 點(diǎn) Q在 AOB的 平 分 線 上 角 的 平 分 線 上 的 點(diǎn) 到 角 的 兩 邊 的 距 離 相 等 .用 法 ： QD OA,QE

14、OB, 點(diǎn) Q在 AOB的 平 分 線 上 QD QE四 、 角 的 平 分 線 ：1.角 平 分 線 的 性 質(zhì) ：2.角 平 分 線 的 判 定 ： 已 知 : AOB,如 圖 .求 作 :射 線 OC,使 AOC= BOC.作 法 :3、 用 尺 規(guī) 作 角 的 平 分 線 .l1.在 OA和 OB上 分 別 截 取 OD,OE,使 OD=OE.l2.分 別 以 點(diǎn) D和 E為 圓 心 ,以 大 于 DE/2長為 半 徑 作 弧 ,兩 弧 在 AOB內(nèi) 交 于 點(diǎn) C.l3.作 射 線 OC. SSS A BO C則 射 線 OC就 是 AOB的 平 分 線 . ED 1.如 圖 ， A

15、BC DEF，AC DF， D的 對 應(yīng) 角 是（ ） A. F B. DEF C. BAC D. C AB CDE FC2.判 定 兩 個 三 角 形 全 等 必 不 可 少 的 條 件 是 （ ）A.至 少 有 一 邊 對 應(yīng) 相 等B.至 少 有 一 角 對 應(yīng) 相 等C.至 少 有 兩 邊 對 應(yīng) 相 等D.至 少 有 兩 角 對 應(yīng) 相 等 A 3.如 圖 ， AB AC， DE DF，AB DE， BE CF， 則 可 判定 ABC DEF的 根 據(jù) 是（ ） A.SSS B.SAS C.H L D.AAS AB CDE FD4.已 知 ABC DEF， 且 ABC的 周 長 為

16、100 cm， A、 B分 別 與 D、 E相 對 應(yīng) ， 并 且 AB 30 cm， DF 25 cm， 則 BC的 長 等 于 （ ） A. 45 cm B. 55 cm C. 30 cm D. 25 cm A 5.在 Rt ABC中 ， C 90 ， AD平 分 BAC，交 BC于 D， 若 BC 32， 且 BD： CD 9： 7， 則點(diǎn) D到 AB的 距 離 為 （ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12C AB CD9x 7xE7x 6.如 圖 ， 在 ABC中 ， C 90 ， 點(diǎn) O為 ABC的 三 條 角 平 分 線 的 交 點(diǎn) ， OD BC， OE AC，OF

17、 AB， 垂 足 點(diǎn) 分 別 是 D、 E、 F， 且 AB 10，BC 8， AC 6， 則 點(diǎn) O到 三 邊 AB、 AC、 BC的距 離 分 別 等 于 （ ） A. 2、 2、 2 B. 3、 3、 3 C. 4、 4、 4 D. 2、 3、 5 AB COD EFA 7.如 圖 ， ABC中 ， AD是 BAC的 平 分 線 ， E、F分 別 是 AB、 AC上 的 點(diǎn) ， 且 DE DF， 則 EDF BAF . AB CDE F（ 提 示 ： 作 DG AB于 G， DH AC于 H）180 8.如 圖 ， AB CD， A 90 ， AB EC，BC DE， DE、 BC交 于

18、 點(diǎn) O.求 證 ： DE BC. AB CDEO證 明 ： AB CD DCA 180 A 180 90 90 在 Rt ABC和 Rt CED中BC DEAB EC Rt ABC Rt CED（ HL） B DEC又 A 90 ACB B 90 ACB DEC 90 COE 90 DE BC 9.如 圖 ， OC是 AOB的 平 分 線 ， P是 OC上 一 點(diǎn) ， PD OA于 D，PE OB于 E， F是 OC上 的 另 外 一點(diǎn) ， 連 接 DF、 EF. 求 證 ： DF EF.O A B CPD E F（ 提 示 ： 分 兩 步 證 明 ： 證 明 OPD OPE； 證 明 OF

19、D OFE） 9.如 圖 ， OC是 AOB的 平 分 線 ， P是 OC上 一 點(diǎn) ，PD OA于 D， PE OB于 E， F是 OC上 的 另 外 一 點(diǎn) ，連 接 DF、 EF. 求 證 ： DF EF.O A B CPD E F證 明 ： OC是 AOB的 平 分 線 ， PD OA， PE OB PD PB 在 Rt OPD和 Rt OPE中OP OPPD PE Rt OPD Rt OPE（ HL） OD OE又 OC是 AOB的 平 分 線 DOF EOF 在 OFD和 OFE中 OD OE DOF EOFOF OF OFD OFE（ SAS） DF EF 10.如 圖 ， 在

20、ABC中 ， AB 2AC，AD平 分 BAC且 AD BD. 求 證 ： CD AC. AB CDE（ 提 示 ： 過 點(diǎn) D作 DE AB于 E 分 兩 步 證 明 ： ADE BDE； ADE ADC） 10.如 圖 ， 在 ABC中 ， AB 2AC， AD平 分 BAC 且 AD BD. 求 證 ： CD AC. AB CDE證 明 ： 過 點(diǎn) D作 DE AB于 E AED BED 90 在 Rt ADE和 Rt BDE中AD BDDE DE Rt ADE Rt BDE（ HL） AE BE即 AB 2AE又 AB 2AC AE AC AD平 分 BAC EAD CAD 在 ADE

21、和 ADC中AE AC EAD CADAD AD ADE ADC（ SAS） C AED 90 CD AC 課 堂 總 結(jié)學(xué) 習(xí) 全 等 三 角 形 應(yīng) 注 意 以 下 幾 個 問 題 ：（ 1):要 正 確 區(qū) 分 “ 對 應(yīng) 邊 ” 與 “ 對邊 ” ， “ 對 應(yīng) 角 ” 與 “ 對 角 ” 的 不 同含 義 ；（ 2） ： 表 示 兩 個 三 角 形 全 等 時 ， 表 示 對 應(yīng)頂 點(diǎn) 的 字 母 要 寫 在 對 應(yīng) 的 位 置 上 ；（ 3） ： 要 記 住 “ 有 三 個 角 對 應(yīng) 相 等 ”或 “ 有 兩 邊 及 其 中 一 邊 的 對 角 對 應(yīng) 相 等 ”的 兩 個 三 角 形 不 一 定 全 等 ；（ 4） ： 時 刻 注 意 圖 形 中 的 隱 含 條 件 ， 如 “ 公 共 角 ” 、 “ 公 共 邊 ” 、 “ 對 頂 角 ”