電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核手冊答案小抄【精編打印版】
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1、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)1答案 第1章 函數(shù) 第2章 極限與連續(xù) (一) 單項選擇題 ⒈下列各函數(shù)對中,(C)中的兩個函數(shù)相等. A. , B. , C. , D. , ⒉設(shè)函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的圖形關(guān)于(C)對稱. A. 坐標(biāo)原點 B. 軸 C. 軸 D. ⒊下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B). A. B. C. D. ⒋下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C). A.
2、 B. C. D. ⒌下列極限存計算不正確的是(D). A. B. C. D. ⒍當(dāng)時,變量(C)是無窮小量. A. B. C. D. ⒎若函數(shù)在點滿足(A),則在點連續(xù)。 A. B. 在點的某個鄰域內(nèi)有定義 C. D. (二)填空題 ⒈函數(shù)的定義域是. ⒉已知函數(shù),則
3、 x2-x . ⒊. ⒋若函數(shù),在處連續(xù),則 e . ⒌函數(shù)的間斷點是. ⒍若,則當(dāng)時,稱為。 (三)計算題 ⒈設(shè)函數(shù) 求:. 解:,, ⒉求函數(shù)的定義域. 解:有意義,要求解得 則定義域為 ⒊在半徑為的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形,梯形的一個底邊與半圓的直徑重合,另一底邊的兩個端點在半圓上,試將梯形的面積表示成其高的函數(shù). 解: A R O h E
4、 B C 設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形,設(shè)高為h,即OE=h,下底CD=2R 直角三角形AOE中,利用勾股定理得 則上底= 故 ⒋求. 解:= ⒌求. 解: ⒍求. 解: ⒎求. 解: ⒏求. 解: ⒐求. 解: ⒑設(shè)函數(shù) 討論的連續(xù)性。 解:分別對分段點處討論連續(xù)性 (1) 所以,即在處不連續(xù) (2) 所以即在處連續(xù) 由(1)(2)得在除點外均連續(xù) 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)2答案: 第3章 導(dǎo)數(shù)與微分 (一)單項選擇題
5、 ⒈設(shè)且極限存在,則(C). A. B. C. D. cvx ⒉設(shè)在可導(dǎo),則(D). A. B. C. D. ⒊設(shè),則(A). A. B. C. D. ⒋設(shè),則(D). A. B. C. D. ⒌下列結(jié)論中正確的是(C). A. 若在點有極限,則在點可導(dǎo). B. 若在點連續(xù),則在點可
6、導(dǎo). C. 若在點可導(dǎo),則在點有極限. D. 若在點有極限,則在點連續(xù). (二)填空題 ⒈設(shè)函數(shù),則 0 . ⒉設(shè),則。 ⒊曲線在處的切線斜率是。 ⒋曲線在處的切線方程是。 ⒌設(shè),則 ⒍設(shè),則。 (三)計算題 ⒈求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ⑴ 解: ⑵ 解: ⑶ 解: ⑷ 解: ⑸ 解: ⑹ 解: ⑺ 解: ⑻ 解: ⒉求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ⑴ 解: ⑵ 解: ⑶ 解: ⑷ 解: ⑸
7、 解: ⑹ 解: ⑺ 解: ⑻ 解: ⑼ 解: ⒊在下列方程中,是由方程確定的函數(shù),求: ⑴ 解: ⑵ 解: ⑶ 解: ⑷ 解: ⑸ 解: ⑹ 解: ⑺ 解: ⑻ 解: ⒋求下列函數(shù)的微分:(注:) ⑴ 解: ⑵ 解: ⑶ 解: ⑹ 解: ⒌求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù): ⑴ 解: ⑵ 解: ⑶ 解: ⑷ 解: (四)證明題 設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù),試證是偶函數(shù). 證:因為f(
8、x)是奇函數(shù) 所以 兩邊導(dǎo)數(shù)得: 所以是偶函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)3答案: 第4章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (一)單項選擇題 ⒈若函數(shù)滿足條件(D),則存在,使得. A. 在內(nèi)連續(xù) B. 在內(nèi)可導(dǎo) C. 在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo) D. 在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo) ⒉函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(D?。? A. B. C. D. ⒊函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足(A?。? A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B. 單調(diào)下降 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降
9、 D. 單調(diào)上升 ⒋函數(shù)滿足的點,一定是的(C ). A. 間斷點 B. 極值點 C. 駐點 D. 拐點 ⒌設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),,若滿足( C ),則在取到極小值. A. B. C. D. ⒍設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且,則在此區(qū)間內(nèi)是( A ). A. 單調(diào)減少且是凸的 B. 單調(diào)減少且是凹的 C. 單調(diào)增加且是凸的 D. 單調(diào)增加且是凹的 (二)填空題
10、 ⒈設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),,且當(dāng)時,當(dāng)時,則是的 極小值 點. ⒉若函數(shù)在點可導(dǎo),且是的極值點,則 0 . ⒊函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是. ⒋函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 ⒌若函數(shù)在內(nèi)恒有,則在上的最大值是. ⒍函數(shù)的拐點是 (三)計算題 ⒈求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值. 解:令 X 1 (1,5) 5 + 0 — 0 + y 上升 極大值32 下降 極小值0 上升 列表: 極大值: 極小值: ⒉求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點,并求最大值和最小值. 解:令:,列表: (0,1) 1
11、(1,3) + 0 — 上升 極大值2 下降 3.求曲線上的點,使其到點的距離最短. 解:,d為p到A點的距離,則: 。 4.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為,問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時,圓柱體的體積最大? 解:設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積 5.一體積為V的圓柱體,問底半徑與高各為多少時表面積最小? 解:設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積 答:當(dāng) 時表面積最大。 6.欲做一個底為正方形,容積為62.5立方米的長方體開口容器,怎樣做法用料最?。? 解:設(shè)底長為x,高為h。則: 側(cè)面積為:
12、 令 答:當(dāng)?shù)走B長為5米,高為2.5米時用料最省。 (四)證明題 ⒈當(dāng)時,證明不等式. 證:在區(qū)間 其中,于是由上式可得 ⒉當(dāng)時,證明不等式. 證: 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)4答案: 第5章 不定積分 第6章 定積分及其應(yīng)用 (一)單項選擇題 ⒈若的一個原函數(shù)是,則(D). A. B. C. D. ⒉下列等式成立的是(D). A B. C. D. ⒊若,則(B). A. B.
13、 C. D. ⒋(B). A. B. C. D. ⒌若,則(B). A. B. C. D. ⒍下列無窮限積分收斂的是(D). A. B. C. D. (二)填空題 ⒈函數(shù)的不定積分是。 ⒉若函數(shù)與是同一函數(shù)的原函數(shù),則與之間有關(guān)系式。 ⒊。 ⒋。 ⒌若,則。
14、 ⒍3 ⒎若無窮積分收斂,則。 (三)計算題 ⒈ ⒉ ⒊ ⒋ ⒌ ⒍ ⒎ ⒏ (四)證明題 ⒈證明:若在上可積并為奇函數(shù),則. 證: 證畢 ⒉證明:若在上可積并為偶函數(shù),則. 證: 高等數(shù)學(xué)(1)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(一) 第一章 函數(shù) ⒈理解函數(shù)的概念;掌握函數(shù)中符號f ( )的含義;了解函數(shù)的兩要素;會求
15、函數(shù)的定義域及函數(shù)值;會判斷兩個函數(shù)是否相等。 兩個函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì),即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。 若對任意,有,則稱為偶函數(shù),偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱。 若對任意,有,則稱為奇函數(shù),奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。 掌握奇偶函數(shù)的判別方法。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點。 ⒊熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 基本初等函數(shù)是指以下幾種類型: ① 常數(shù)函數(shù): ② 冪函數(shù): ③ 指數(shù)函數(shù): ④ 對數(shù)函數(shù): ⑤ 三角函數(shù): ⑥ 反三角函數(shù): ⒋了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念,會把
16、一個復(fù)合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。 如函數(shù) 可以分解,,,。分解后的函數(shù)前三個都是基本初等函數(shù),而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。 ⒌會列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。 例題選解 一、填空題 ⒈設(shè),則 。 解:設(shè),則,得 故。 ⒉函數(shù)的定義域是 。 解:對函數(shù)的第一項,要求且,即且;對函數(shù)的第二項,要求,即。取公共部分,得函數(shù)定義域為。 ⒊函數(shù)的定義域為,則的定義域是 。 解:要使有意義,必須使,由此得定義域為。 ⒋函數(shù)的定義域為 。 解:要使有意義,必須滿足且,即成立,解不等式方程組,得出,故得出函數(shù)的定義域為
17、。 ⒌設(shè),則函數(shù)的圖形關(guān)于 對稱。 解:的定義域為 ,且有 即是偶函數(shù),故圖形關(guān)于軸對稱。 二、單項選擇題 ?、毕铝懈鲗瘮?shù)中,(?。┦窍嗤摹? A.; B.; C.; D. 解:A中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同, , B, D三個選項中的每對函數(shù)的定義域都不同,所以A B, D都不是正確的選項;而選項C中的函數(shù)定義域相等,且對應(yīng)關(guān)系相同,故選項C正確。 ?、苍O(shè)函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的圖形關(guān)于(?。ΨQ。 A.y=x; B.x軸; C.y軸; D.坐標(biāo)原點 解:設(shè),則對任意有 即是奇函數(shù),故圖形關(guān)于原點對稱。選項D正確。
18、 3.設(shè)函數(shù)的定義域是全體實數(shù),則函數(shù)是(?。? A.單調(diào)減函數(shù); B.有界函數(shù); C.偶函數(shù); D.周期函數(shù) 解:A, B, D三個選項都不一定滿足。 設(shè),則對任意有 即是偶函數(shù),故選項C正確。 ⒋函數(shù)( ) A.是奇函數(shù); B. 是偶函數(shù); C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù); D.是非奇非偶函數(shù)。 解:利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。 所以B正確。 ⒌若函數(shù),則( ) A.; B. ; C.; D. 。 解:因為 所以
19、則,故選項B正確。 第二章 極限與連續(xù) ⒈知道數(shù)列極限的“”定義;了解函數(shù)極限的描述性定義。 ⒉理解無窮小量的概念;了解無窮小量的運算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系;知道無窮小量的比較。 無窮小量的運算性質(zhì)主要有: ① 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量; ② 有限個無窮小量的乘積是無窮小量; ③ 無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。 ⒊熟練掌握極限的計算方法:包括極限的四則運算法則,消去極限式中的不定因子,利用無窮小量的運算性質(zhì),有理化根式,兩個重要極限,函數(shù)的連續(xù)性等方法。 求極限有幾種典型的類型 (1) (2) (3) ⒋熟練掌握兩個重要極限:
20、 (或) 重要極限的一般形式: ?。ɑ颍? 利用兩個重要極限求極限,往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q,將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴展形式,再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運算法則,如 ⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義;會判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性;會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間;了解函數(shù)間斷點的概念;會對函數(shù)的間斷點進行分類。 間斷點的分類: 已知點是的間斷點, 若在點的左、右極限都存在,則稱為的第一類間斷點; 若在點的左、右極限有一個不存在,則稱為的第二類間斷點。 ⒍理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)及復(fù)合仍是
21、連續(xù)函數(shù),初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論,知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個結(jié)論。 典型例題解析 一、填空題 ⒈極限 。 解: 注意:(無窮小量乘以有界變量等于無窮小量) ,其中=1是第一個重要極限。 ⒉函數(shù)的間斷點是 。 解:由是分段函數(shù),是的分段點,考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。 因為 所以函數(shù)在處是間斷的, 又在和都是連續(xù)的,故函數(shù)的間斷點是。 ⒊⒋⒌⒍設(shè),則 。 解:,故 ⒎函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 。 二、單項選擇題 ?、焙瘮?shù)在點處(?。? A.有定義且有極限; B.無定義但有
22、極限; C.有定義但無極限; D.無定義且無極限 解:在點處沒有定義,但 (無窮小量有界變量=無窮小量) 故選項B正確。 ⒉下列函數(shù)在指定的變化過程中,( )是無窮小量。 A.; B.; C. ; D. 解:無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量,所以 而A, C, D三個選項中的極限都不為0,故選項B正確。 三、計算應(yīng)用題 ?、庇嬎阆铝袠O限: ?、拧 ??、? (4) 解:⑴ = ⑵ ⑶ 題目所給極限式分子的最高次項為 分母的最高
23、次項為,由此得 (4)當(dāng)時,分子、分母的極限均為0,所以不能用極限的除法法則。求解時先有理化根式在利用除法法則和第一個重要極限計算。 = 2.設(shè)函數(shù) 問(1)為何值時,在處有極限存在? (2)為何值時,在處連續(xù)? 解:(1)要在處有極限存在,即要成立。 因為 所以,當(dāng)時,有成立,即時,函數(shù)在處有極限存在,又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關(guān),所以此時可以取任意值。 (2)依函數(shù)連續(xù)的定義知,函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是 于是有,即時函數(shù)在
24、處連續(xù)。 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點之一。在學(xué)習(xí)的時候要側(cè)重以下幾點: ⒈理解導(dǎo)數(shù)的概念;了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義;會求曲線的切線和法線;會用定義計算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù);知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 在點處可導(dǎo)是指極限 存在,且該點處的導(dǎo)數(shù)就是這個極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上點處切線的斜率。 曲線在點處的切線方程為 函數(shù)在點可導(dǎo),則在點連續(xù)。反之則不然,函數(shù)在點連續(xù),在點不一定可導(dǎo)。 ⒉了解微分的概念;知道一階微分形式不變性。 ⒊熟記導(dǎo)數(shù)基本公式,熟練掌握下列求導(dǎo)方法 (1)導(dǎo)數(shù)的
25、四則運算法則 (2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 (3)隱函數(shù)求導(dǎo)方法 (4)對數(shù)求導(dǎo)方法 (5)參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法 正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計算,如 一般當(dāng)函數(shù)表達式中有乘除關(guān)系或根式時,求導(dǎo)時采用取對數(shù)求導(dǎo)法, 例如函數(shù),求。 在求導(dǎo)時直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的,但是計算時會麻煩一些,而且容易出錯。如果我們把函數(shù)先進行變形,即 再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計算其導(dǎo)數(shù),于是有 這樣計算不但簡單而且不易出錯。 又例如函數(shù) ,求。 顯然直接求導(dǎo)比較麻煩,可采用取對數(shù)求導(dǎo)法,將上式兩端取對數(shù)得 兩端求
26、導(dǎo)得 整理后便可得 若函數(shù)由參數(shù)方程 的形式給出,則有導(dǎo)數(shù)公式 能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法,取對數(shù)求導(dǎo)法,參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 ⒋熟練掌握微分運算法則 微分四則運算法則與導(dǎo)數(shù)四則運算法則類似 一階微分形式的不變性 微分的計算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計算,但要注意它們之間的不同之處,即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。 ⒍了解高階導(dǎo)數(shù)的概念;會求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。 函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)
27、數(shù)。要求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解 一、填空題 ⒈設(shè)函數(shù)在鄰近有定義,且,則 。 解: 故應(yīng)填1。 ⒉曲線在點(1,1)處切線的斜率是 。 解:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,曲線在處切線的斜率是,即為函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù),于是 故應(yīng)填。 ⒊設(shè),則 。 解:,故 故應(yīng)填 二、單項選擇題 ⒈設(shè)函數(shù),則(?。? A.; B.2; C.4; D不存在 解:因為,且, 所以,即C正確。 ⒉設(shè),則(?。? A.; B. ; C. ; D. 解:
28、先要求出,再求。 因為,由此得,所以 即選項D正確。 3.設(shè)函數(shù),則(?。? A.0; B.1; C.2; D. 解:因為,其中的三項當(dāng)時為0,所以 故選項C正確。 4.曲線在點(?。┨幍那芯€斜率等于0。 A.; B.; C.; D. 解:,令得。而,故選項C正確。 5. ,則(?。?。 A.; B.; C.; D. 解: 故選項C正確。 三、計算應(yīng)用題 ⒈設(shè),求 解:⑴由導(dǎo)數(shù)四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 由此得 ⒉設(shè),其中為可微函數(shù),求。
29、 解 = = = 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成,即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次,然后由外層開始,逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,一層一層求導(dǎo),關(guān)鍵是不要遺漏,最后化簡。 3.設(shè)函數(shù)由方程確定,求。 解:方法一:等式兩端對求導(dǎo)得 整理得 方法二:由一階微分形式不變性和微分法則,原式兩端求微分得 左端 右端 由此得 整理得 4.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定,求。 解:由參數(shù)求導(dǎo)法 5.設(shè),求。 解 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題 一、填空題
30、 1.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 . 解:,當(dāng)時.故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是. 2.極限 . 解:由洛必達法則 3.函數(shù)的極小值點為 。 解:,令,解得駐點,又時,;時,,所以是函數(shù)的極小值點。 二、單選題 1.函數(shù) 在區(qū)間上是( ) A) 單調(diào)增加 B)單調(diào)減少 C)先單調(diào)增加再單調(diào)減少 D)先單調(diào)減少再單調(diào)增加 解:選擇D ,當(dāng)時,;當(dāng)時,;所以在區(qū)間上函數(shù)先單調(diào)減少再單調(diào)增加。 2. 若函數(shù)滿足條件( ),則在內(nèi)至少存在一點,使得 成立。
31、 A)在內(nèi)連續(xù); B)在內(nèi)可導(dǎo); C)在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo); D)在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)。 解:選擇D。 由拉格朗日定理條件,函數(shù)在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),所以選擇D正確。 3. 滿足方程的點是函數(shù)的( )。 A)極值點 B)拐點 C)駐點 D)間斷點 解:選擇C。 依駐點定義,函數(shù)的駐點是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點。 4.設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),,且,則函數(shù)在處( )。 A)取得極大值
32、 B)取得極小值 C)一定有拐點 D)可能有極值,也可能有拐點 解:選擇D 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零,說明可能是函數(shù)的極值點;函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零,說明可能是函數(shù)的拐點,所以選擇D。 三、解答題 1.計算題 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 解:函數(shù)的定義區(qū)間為,由于 令,解得,這樣可以將定義區(qū)間分成和兩個區(qū)間來討論。當(dāng)時,;當(dāng)是,。 由此得出,函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)增加。 2.應(yīng)用題 欲做一個底為正方形,容積為108立方米的長方體開口容器,怎樣做法所用材料最省? 解:設(shè)底邊邊長為,高為,所
33、用材料為 且 令得, 且因為,所以為最小值.此時。 于是以6米為底邊長,3米為高做長方體容器用料最省。 3.證明題:當(dāng)時,證明不等式 證 設(shè)函數(shù),因為在上連續(xù)可導(dǎo),所以在上滿足拉格朗日中值定理條件,有公式可得 其中,即 又
34、由于,有 故有 兩邊同時取以為底的指數(shù),有 即 所以當(dāng)時,有不等式 成立. 第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(2) 典型例題解析 一、填空題 ⒈曲線在任意一點處的切線斜率為,且曲線過點,則曲線方程為 。 解:,即曲線方程為。將點代入得,所求曲線方程為 ⒉已知函數(shù)的一個原函數(shù)是,則 。 解: ⒊已知是的一個原函數(shù),那么 。 解:用湊微分法
35、 二、單項選擇題 ⒈設(shè),則( )。 A. ; B. ; C. ; D. 解:因 故選項A正確. ?、苍O(shè)是的一個原函數(shù),則等式(?。┏闪?。 A.; B.; C.; D. 解:正確的等式關(guān)系是 故選項D正確. ⒊設(shè)是的一個原函數(shù),則(?。?。 A. ; B. ; C. ; D. 解:由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得
36、 故選項C正確. 三、計算題 ?、庇嬎阆铝蟹e分: ?、拧 、啤 ? 解:⑴利用第一換元法 ⑵利用第二換元法,設(shè), ?、灿嬎阆铝蟹e分: ?、拧 、啤 ? 解:⑴利用分部積分法 ⑵利用分部積分法 高等數(shù)學(xué)(1)第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo) 綜合練習(xí)題 (一)單項選擇題 (1).下列式
37、子中,正確的是( )。 A. B. C. D. (2). 下列式子中,正確的是( ) A. B. C. D. (3) 下列廣義積分收斂的是( )。 A .B. C. D. (4) 若是上的連續(xù)
38、偶函數(shù),則 。 A. B. 0 C. D. (5) 若與是上的兩條光滑曲線,則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( ). A. B. C. D. 答案:(1) A;(2)D; (3)D; (4)C; (5)A。 解:(1)根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A正確。 而 B不正確。 在(0,1)區(qū)間內(nèi) C 不正確。
39、根據(jù)定積分定義可知,定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān),而與積分變量的選取無關(guān)。 故D不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 ∴A、C不正確。 由定積分定義知 B不正確。 D正確。 (3) ∴A不正確。 ∴B。不正確。 ∴C。不正確。 D D正確 (4)由課本344頁 (6—4—2)和345頁(6—4—3)知C。正確。 (5)所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) ∴ A正確。 (二) 填空題
40、(1) (2) (3) 在區(qū)間上,曲線和軸所圍圖形的面積為______________。 (4) (5) (a>0 p>0 ) 答案: 解:(1) (2) (2) 所圍圖形的面積S= (3) 由定積分的幾何意義知: 定積分的值等于 (4) y= 所圍圖形的面積∴ (5) p≤1時 無窮積分發(fā)散。 (三) 計算下列定積分 (1) (2) (3) (4) (5)
41、 答案: (1) (2) (3) (4) (5) (四)定積分應(yīng)用 求由曲線,及直線所圍平面圖形的面積 x 解:畫草圖 求交點 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1 y 2 y=2 y=x 0 xy=1 第七章綜合練習(xí)題 (一)單項選擇題 1、若( )成立,則級數(shù)發(fā)散,其中 表示此級數(shù)的部分和。 A、
42、; B、單調(diào)上升; C、 D、不存在 2、當(dāng)條件( )成立時,級數(shù)一定發(fā)散。 A、發(fā)散且收斂; B、發(fā)散; C、發(fā)散; D、和都發(fā)散。 3、若正項級數(shù)收斂,則( )收斂。 A、 B、 C 、 D、 4、若兩個正項級數(shù)、滿足,則結(jié)論( ),是正確的。 A、發(fā)散則發(fā)散; B、收斂則收斂; C、發(fā)散則收斂;
43、 D、收斂則發(fā)散。 5、 若f(x)= , 則 = ( )。 A、 B 、 C D、 答案:1、D 2、A 3、B 4、A 5、C (二)填空題 1、 當(dāng)_________時,幾何級數(shù)收斂。 2、 級數(shù)是___________級數(shù)。 3、 若級數(shù)收斂,則級數(shù)_____________。 4、 指數(shù)函數(shù)f(x)= 展成 x的冪級數(shù)為__________________。 5、 若冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(—9 ,9 ),則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 ___________。 答案:1、<1 2、發(fā)散
44、3、收斂 4、 5、C ( 0 ,6 ) (三)計算題 1、 判斷下列級數(shù)的收斂性 ⑴ ⑵ ⑶ 解:⑴此正項級數(shù)的通項滿足 n=2,3,…. 由于收斂,則由比較判別法可知收斂。 ⑵>1 則由比值判別法可知發(fā)散。 ⑶ 由于是交錯級數(shù),且= 及,由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂。 2、 求下列冪級數(shù)的收斂半徑 ⑴ ⑵ 解:⑴ 因此收斂半徑R=1, ⑵ 令 得冪級數(shù) 可知的收斂半徑為4 ,所以原冪級數(shù)的收斂半徑 第八章綜合練習(xí)題及參考答案 (一)單項選擇題
45、 1、 下列階數(shù)最高的微分方程是 ( )。 A、; B、; C、 D、 2、下列一階微分方程中為可分離變量的微分方程是( )。 A、; B、 C、 D、 3、微分方程的通解為( )。 A、 B、 C 、 D、 4、微分方程的通解為( )。 A、; B、 C、; D、 5、微分方程的特解應(yīng)設(shè)為( )。 A、
46、 B 、 C D、 答案:1、A 2、C 3、C 4、B 5、D (二)填空題 6、 一階線性微分方程的通解公式為_________。 7、 二階線性微分方程的特征根為_________。 8、 二階線性微分方程的通解中含有____________獨立的任意常數(shù)。 9、 二階微分方程的通解為_____________。 10、 若是二階線性非齊次微分方程的一個特解,為其相應(yīng)的齊次微分方程的通解,則非齊次微分方程的通解為_________________。 答案:1、 2、
47、3、兩個 4、 5、 (三)計算題 3、 ⑴求一階微分方程的滿足的特解 ⑵求一階微分方程的滿足的特解 ⑶ 解:⑴微分方程變?yōu)椋瑑蛇叿e分得方程的通解為 由條件得, 故微分方程的的特解 ⑵方法一 由一階線性微分方程的通解公式得 由條件得,故微分方程的的特解 方法二 由微分方程可得,兩邊積分得方程的通解為 由條件得,故微分方程的的特解 2、⑴求微分方程的通解 解:
48、原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 特征根為, 故齊次微分方程的通解(其中為任意常數(shù)) 設(shè)原方程的一個特解應(yīng)為,代入方程得得 故微分方程的通解(其中為任意常數(shù)) ⑵求微分方程的通解 解:原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 得特征根為, 故齊次微分方程的通解(其中為任意常數(shù)) 設(shè)原方程的一個特解應(yīng)為,代入方程得 故微分方程的通解(其中為任意常數(shù)) 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合練習(xí)題解答 一.填空題 1.函數(shù)的定義域為 。 2.函數(shù)
49、的定義域是 。 3.函數(shù)的定義域是 。 4.設(shè),則 。 解:設(shè),則且原式 即= 亦即 4.若函數(shù)在處連續(xù),則= 。 5.曲線在處的切線方程為 。 曲線在點處的切線方程為 解:, , 6. 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為 。 初等函數(shù)在其定義區(qū)間連續(xù)。 且 7.曲線在點處的切線方程為 。 8. 設(shè)函數(shù)可導(dǎo),則 。 解:=== == 9.(判斷
50、單調(diào)性、凹凸性)曲線在區(qū)間內(nèi)是 單調(diào)遞減且凹 。 解: 10.設(shè),則 。 解:,, 11. 0 。 解:是奇函數(shù);是偶函數(shù),由于偶+偶=偶,則是偶函數(shù), 因為奇偶=奇,所以是奇函數(shù),是對稱區(qū)間 奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零 12. 。 解: 是奇函數(shù)(奇偶=奇),故; 而是偶函數(shù),故 13.設(shè),則 。 解: 14.已知,則 。 解: 15.設(shè)為的原函數(shù),那么 。 分析:為的原函數(shù), 解: 16.設(shè)的一個原函數(shù)是, 則 。 解:的一個原函數(shù)為===
51、 17.,那么 。 解: 18._________________。 解: 19.設(shè),則 。 解: 20.= 。 解:=-= 二.選擇題 1. 下列函數(shù)中( B )的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。 A. B. C. D. 規(guī)律:(1)1.奇偶函數(shù)定義: ; (2).常見的偶函數(shù): 常見的奇函數(shù): 常見的非奇非偶函數(shù):; (3).奇偶函數(shù)運算性質(zhì): 奇奇=奇;奇偶=非;偶偶=偶;奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶; (4).奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱;偶
52、函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱。 解:A.非奇非偶; B.奇偶=奇(原點); C.奇奇=偶(軸); D.非奇非偶 2.下列函數(shù)中( B )不是奇函數(shù)。 A.; B.; C.; D. 解:A.奇函數(shù)(定義); B.非奇非偶(定義);C.奇函數(shù)(奇偶);D.奇函數(shù)(定義) 3.下列函數(shù)中,其圖像關(guān)于軸對稱的是( A )。 A. B. C. D. 解:A.偶函數(shù)(軸); B.非奇非偶(定義);C.奇函數(shù)(常見);D.非奇非偶(定義) 4.下列極限正確的是( B )。 A. B. C.
53、 D. 解:A錯?!?,~∴; B正確。分子分母最高次冪前的系數(shù)之比; C錯。∵,即是無窮小,即是有界變量,∴; D錯。第二個重要極限應(yīng)為或,其類型為。 5.當(dāng)時,( D )為無窮小量。 A. B. C. D. 解:A. =; B.,,, 不存在; C.,; D.,。 6. 下列等式中,成立的是( B )。 A. B. C. D. 解:A.錯,正確的應(yīng)為 B。 正確,即 C.錯,正確的應(yīng)為 D.錯,正確的應(yīng)為 7.設(shè)在點可微,且,則下列結(jié)論成立的是( C
54、 )。 A. 是的極小值點 B. 是的極大值點 ; C.是的駐點; D. 是的最大值點; 解:駐點定義:設(shè)在點可微,且,則是的駐點。駐點為可能的極值點。 8..函數(shù),則 ( D )。 A. 3 ; B. ; C. ; D. 解一: 解二: 9.設(shè),則( B )。 A. ; B. ; C. ; D. 不存在 10.曲線在區(qū)間內(nèi)是( A )。 A.下降且凹 B.上升且凹 C.下降且凸 D. 上升且凸 解: 11.曲線在內(nèi)是( B
55、 )。 A. 下降且凹; B.上升且凹; C.下降且凸; D.上升且凸 解: 12.曲線在點處的法線方程為( B )。 A.;B.;C.D. 規(guī)律:曲線在x=處的法線方程為 解:,, 故法線方程為B.; 13.下列結(jié)論中正確的是( C )。 A.函數(shù)的駐點一定是極值點 B.函數(shù)的極值點一定是駐點 C.函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為的點一定是駐點 D.函數(shù)的極值點處導(dǎo)數(shù)必為 解:駐點定義:設(shè)在點可微,且,則是的駐點。駐點為可能的極值點。 14.設(shè)函數(shù),則( A )。 A.; B.; C.; D.
56、 解: 15.當(dāng)函數(shù)不恒為0,為常數(shù)時,下列等式不成立的是( B )。 A. B. C. D. 解: A. 成立,為不定積分的性質(zhì); B. 不成立,常數(shù),而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零; C. 成立,為不定積分的性質(zhì); D. 成立,為牛頓-萊布尼茲公式。 16.設(shè)函數(shù)的原函數(shù)為,則( A )。 A. ; B.; C.; D. 解:函數(shù)的原函數(shù)為, 17.下列無窮積分為收斂的是( B?。? A. B. C. D. 規(guī)律:⑴ ⑵ ⑶、發(fā)散 ⑷
57、 解:A.;B.,收斂; C.,發(fā)散; D. ,發(fā)散 18.下列無窮積分為收斂的是( C?。? A. B. C. D. 解:A. 發(fā)散;B. 發(fā)散;C. 收斂;D. 發(fā)散; 三.計算題 1、求極限 2、求極限 解:∵ 解:∵ ∴原題= ∴原題= 3、求極限解:∵,~,~ ∴原題=== 4、求極限解:∵,~,~ ∴原題== 5、求極限解:∵,~,~ ∴原題== 6、求極限 解:∵,~~,~ ∴原題=
58、= 7、設(shè)函數(shù),求 解: 8、設(shè)函數(shù),求。 解: 9、設(shè)函數(shù),求。 解: 10、設(shè)函數(shù),求。 11、設(shè)函數(shù),求。 解: 12、計算不定積分 2 0 + — + = 13、計算不定積分 解: 1 0 + —
59、 = 四、應(yīng)用題 1、 要做一個有底無蓋的圓柱體容器,已知容器的容積為4立方米,試問如何選取底半徑和高的尺寸,才能使所用材料最省。 解:設(shè)圓柱體底半徑為,高為, 則體積 材料最省即表面積最小 表面積=== =,令=0,得唯一駐點 所以當(dāng)?shù)装霃綖槊祝藭r高為米時表面積最小即材料最省。 2、 要做一個有底無蓋的圓柱體容器,已知容器的容積為16立方米,底面單位面積的造價為10元/平方米,側(cè)面單位面積的造價為20元/平方米,試問如何選取底半徑和高的尺寸,才能使建造費用最省。 解:設(shè)圓柱體底半徑為,高為,
60、 則體積 且造價函數(shù) 令,得唯一駐點 所以當(dāng)?shù)装霃綖槊?,此時高為米時造價最低。 3、要用同一種材料建造一個有底無蓋的容積為108立方米的圓柱體容器,試問如何選取底半徑和高的尺寸,才能使建造費用最省。 解:要使建造費用最省,就是在體積不變的情況下,使圓柱體的表面積最小。 設(shè)圓柱體底半徑為,高為, 則體積 則圓柱體倉庫的表面積為=== =,令=0,得唯一駐點, 所以當(dāng)?shù)装霃綖槊?,此時高為米時表面積最小即建造費用最省。 4、在半徑為8的半圓和直徑圍成的半圓內(nèi)內(nèi)接
61、一個長方形(如圖), 為使長方形的面積最大,該長方形的底長和高各為多少。 解:設(shè)長方形的底邊長為,高為, 則 8 面積 令,得唯一駐點 所以當(dāng)?shù)走呴L為米,此時高為米時面積最大。 5、在半徑為8的圓內(nèi)內(nèi)接一個長方形,為使長方形的面積最大, 該長方形的底長和高各為多少。 解:設(shè)長方形的底邊長為,高為, 則 面積 令,得唯一駐點 所以當(dāng)?shù)走呴L為米,此時高為米時面積最大。 6、求由拋物線與直線所圍的面積。 解: 拋物線與直線的交點為, 面積== == 7、求由拋物線與直線所圍的面積。 解: 拋物線與直線的交點為,, 面積=== 8、求由拋物線與直線所圍的面積。 解: 拋物線與直線的交點為,, 面積=== 9、求由拋物線與直線所圍的面積。 解: 拋物線與直線的交點為, 面積== 10、求由拋物線與直線所圍的面積。 解: 拋物線與直線的交點為,, 面積===-1 -1 36
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