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新人教A版高中數(shù)學(xué)必修四《簡單的三角恒等變換》學(xué)案

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1、 湖南省隆回縣萬和實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中數(shù)學(xué)《簡單的三角恒等變換》學(xué)案 新人教A版必修4 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、通過二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式,體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想,提高推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并會利用公式進(jìn)行簡單的恒等變形,體會三角恒等變形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。 3、通過例題的解答,學(xué)會對變換對象目標(biāo)進(jìn)行對比、分析,形成對解題過程中如何選擇公式,如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形,以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識,從而加深理解變換思想,提高自己的推理能力. 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】以已有的十一個(gè)公式為依據(jù),以推導(dǎo)積化和

2、差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)為基本訓(xùn)練,學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法,在與代數(shù)變換相比較中,體會三角變換的特點(diǎn),提高推理、運(yùn)算能力. 【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】認(rèn)識三角變換的特點(diǎn),并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì),不斷提高從整體上把握變換過程的能力. 【自主學(xué)習(xí)】(一)課前回顧 ①三角函數(shù)的和角公式:sin(α+β)= Cos(α+β) = tan(α+β)= ②三角函數(shù)的差角公式:sin(α-β)= Cos(α-β) = ta

3、n(α-β)= ③三角函數(shù)的倍角公式:sin2= Cos2 = tan2= (二)新課引入 三角函數(shù)的化簡、求值、證明,都離不開三角恒等變換.學(xué)習(xí)了和角公式,差角公式,倍角公式以后,我們就有了進(jìn)行三角變換的新工具,從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活,同時(shí)也為培養(yǎng)和提高我們的推理、運(yùn)算、實(shí)踐能力提供了廣闊的空間和發(fā)展的平臺.對于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會有所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此

4、三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn).本節(jié)課我們來探討一下簡單的三角恒等變換。 (三)新課講授【自主質(zhì)疑和合作探究】 【目標(biāo)一】降次公式與半角公式的得出,體現(xiàn)三角變換的靈活性。 1、思考:有什么樣的關(guān)系? 2、試一試:以表示 。 自我總結(jié):通過變換發(fā)現(xiàn)兩組公式(不要求記憶): A:降次公式: B,半角公式:自己完成如下: C,自我應(yīng)用:已知,且在第三象限,求的值 探究1 :公式成立的條件是什么?半角公式前的符號怎么確定? 探究2:代數(shù)式變換與三角變換有什么不

5、同? 【目標(biāo)二】積化和差與和差化積公式(不要求記憶),體會三角變換的特點(diǎn)和方程思想。 1、自己試一試:求證:(提示:先觀察兩邊的結(jié)構(gòu)及角的特點(diǎn)) (1)、; (2)、 探究1(2)的證明還有其他方法嗎? 探究2在以上證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想? 探究3(1)式是積化和差的形式(2)式是和差化積的形式,你還能得出類似的公式嗎? 2、自我總結(jié)一下:(1)積化和差公式: (2)和差化積公式: (3)數(shù)學(xué)思想方法: 【目標(biāo)三】函數(shù)y=asinx+bcosx的變形與應(yīng)用,學(xué)會把此類形式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)從而解決求一類三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)性等問題。 1、 試一試:求函

6、數(shù)周期、最大值和最小值。 2、 探究1:能否把a(bǔ)sinx+bcosx化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式? 3、 探究2:得到公式如下: asinx+bcosx=(sinxcosφ+cosxsinφ)=sin(x+φ) 這個(gè)公式中的φ角怎么確定?說說你的看法? 4,變式訓(xùn)練:1)、把下列各式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù):(1)sinx+cosx (2) 2), 3),已知函數(shù) 求的最小正周期,(2)當(dāng)時(shí),求的最小值及取得最小值時(shí)的集合 【目標(biāo)四】建立函數(shù)模型利用三角恒等變換解決實(shí)際問題,培養(yǎng)、觀察、分析、解決問題的能力。 1、如圖,已知OPQ是半徑為1,圓心角為的扇形,C是

7、扇形弧上的動點(diǎn),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記∠COP=a,求當(dāng)角a取何值時(shí),矩形ABCD的面積最大?并求出這個(gè)最大面積. 2、探究:結(jié)合本題,你能指出建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步嗎? 4、 變式訓(xùn)練1:把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料,怎樣鋸法能使橫截面的面積最大?(分別設(shè)邊與角為自變量) 5、 變式訓(xùn)練2:已知半徑為1的半圓,PQRS是半圓的內(nèi)接矩形如圖,問P點(diǎn)在什么位置時(shí),矩形的面積最大,并求最大面積時(shí)的值. 【課堂練習(xí)】第142頁練習(xí)1,2,3,4 【知識梳理】 1、要對變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識,學(xué)

8、會靈活運(yùn)用; 2、學(xué)會三角變形技巧和代數(shù)變形技巧,常見的三角變形技巧有 ①切化弦; ②“1”的變用;③統(tǒng)一角度,統(tǒng)一函數(shù),統(tǒng)一形式等等; 3、建立函數(shù)模型利用三角恒等變換解決實(shí)際問題. 【總結(jié)反思】 【鞏固拓展訓(xùn)練】1. 下列等式成立的是( ) 2.函數(shù)是( ) A.周期為的奇函數(shù) B.周期為的偶函數(shù) C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的偶函數(shù) 3. 某物體受到恒力是,產(chǎn)生的位移為,則恒力物體所做的最大功是( ) A. B. C. D. 4. 若-2π

9、

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