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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《橢圓及其標準方程》說課稿2 新人教A版必修1 課題：橢圓及其標準方程 教材：人教版（必修）數(shù)學(xué)第二冊(上)第八章第一節(jié) 授課教師： 一、教學(xué)目標： 1．知識與技能目標： （1）掌握橢圓定義和標準方程. （2）能用橢圓的定義解決一些簡單的問題. 2．過程與方法目標： （1）通過橢圓定義的歸納和標準方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力. （2）在橢圓定義的獲得和其標準方程的推導(dǎo)過程中進一步滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法 3．情感態(tài)度與價值觀目標： （1）通過橢圓定義的獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣. （2）通過標準方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡意識并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡潔美”. （3）通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強學(xué)生團隊協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強主動與他人合作交流的意識. 二、教學(xué)重點、難點： 1．重點：橢圓定義及其標準方程 2．難點：橢圓標準方程的推導(dǎo) 三、教學(xué)過程 （一）認識橢圓，探求規(guī)律: 1．對橢圓的感性認識.通過演示課前老師和學(xué)生共同準備的有關(guān)橢圓的實 物和圖片，讓學(xué)生從感性上認識橢圓. 2．通過動畫設(shè)計，展示橢圓的形成過程，使學(xué)生認識到橢圓是點按一定“規(guī) 律”運動的軌跡. 點是線段AC上一動點，分別以為圓心，與為半徑做圓，觀察兩圓交點的軌跡. 請同學(xué)們思考： （1） 在運動中，哪些量是不變的，哪些量是變化的？ （2） 能不能把不變的量用數(shù)學(xué)表達式表達出來？ （3） 點（橢圓上的點）是以怎樣的規(guī)律進行運動的？ （4） 用這個規(guī)律能不能畫出一個橢圓？ （二）動手實驗，親身體會 用上面所總結(jié)的規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生互相合作（主要在于動手），體驗畫橢圓的過程（課前準備直尺、細繩、釘子、筆、紙板），并以此了解橢圓上的點的特征. 請兩名同學(xué)上臺畫在黑板上. 在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義，而是設(shè)計一個實驗，一來是為了給學(xué)生一個創(chuàng)造實驗的機會，讓學(xué)生體會橢圓上點的運動規(guī)律；二是通過實踐，為進一步上升到理論做準備. （三）歸納定義，完善定義 我們通過動畫演示，實踐操作，對橢圓有了一定的認識，下面由同學(xué)們歸納橢圓的定義（學(xué)生分組討論）. 橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)（大于=2c）的點的軌跡叫做橢圓 在歸納橢圓定義的過程中，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況，不斷引導(dǎo)他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導(dǎo)中突出體現(xiàn)“和”，“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征. 如：總結(jié)動畫演示中兩圓半徑之和（常數(shù)）得到橢圓上點到兩定點距離之和為常數(shù). 通過課件分別演示當兩定點間距離等于線段長度時的軌跡（為一條線段）和當兩定點距離大于線段長度時的軌跡（不存在），由學(xué)生完善橢圓定義中常數(shù)的范圍. 教師指出：兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距. （四）合理建系，推導(dǎo)方程 由學(xué)生自主提出建立坐標系的不同方法，教師根據(jù)學(xué)生提出的“建系”方式，把學(xué)生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導(dǎo)方程，進行比較，從中選擇比較簡潔優(yōu)美的形式確定為標準方程. 已知橢圓的焦距，橢圓上的動點到兩定點,的距離之和為，求橢圓的方程. （1）以兩個定點,所在直線為軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系．設(shè)，點為橢圓上任意一點，則 （稱此式為幾何條件）， 所以得 （實現(xiàn)集合條件代數(shù)化）， 化簡，得 注：這是本節(jié)的難點所在，通過課堂精心設(shè)問來突破難點：①化簡含有根號的式子時，我們通常有什么方法？②對于本式是直接平方好呢還是恰當整理后再平方？學(xué)生通過實踐，發(fā)現(xiàn)對于這個方程，直接平方不利于化簡，而整理后再平方，最后能得到圓滿的結(jié)果. （2）以線段中點為坐標原點，所在直線為y軸建立平面直角坐標系，所得橢圓方程為： 相比之下，其它的建系方式不夠簡潔. 同學(xué)們觀察右圖，當運動到線段AC中點時，兩圓半徑相等，即，因，則，不妨令，那么（1）（2）所得的橢圓方程可化為： ， （1） ， （2） （在這里教師指出：我們剛才只是從“曲線的方程”的角度推導(dǎo)出了符合定義的點的坐標滿足的方程，我們還需要從“方程的曲線”的角度來說明以方程(1)(2)的解為坐標的點都在曲線（橢圓）上，這個問題留給學(xué)生課后完成.） 我們稱（1）（2）為橢圓的標準方程. 對標準方程的理解： 1.所謂橢圓標準方程，一定指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點； 2．在與這兩個標準方程中，都有的要求，也就是說，焦點在哪個軸上，哪個對應(yīng)的分式的分母就較大. （五）應(yīng)用舉例，小結(jié)升華. 例1.用定義判斷下列動點的軌跡是否為橢圓. (1)平面內(nèi)，到的距離之和為6的點的軌跡.（是） (2)平面內(nèi)，到的距離之和為4的點的軌跡.（不是） (3)平面內(nèi)，到的距離之和為3的點的軌跡.（不是） 例2.方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍為： 例3.已知橢圓方程為，則兩焦點坐標為： 小結(jié)： 由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)到的知識和思想方法. 1．知識總結(jié)： 橢圓的定義，標準方程 2．思想方法總結(jié)： 教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當補充、歸納、點評。 （六）、板書設(shè)計（略） 教案的設(shè)計說明： 數(shù)學(xué)教學(xué)是思維過程的教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)過程中來，尤其是在思維上深層次的參與，是促進學(xué)生良好的認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)能力，全面提高素質(zhì)的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究式對培養(yǎng)和提高學(xué)生的自主性、能動性和創(chuàng)造性有著非常重要的意義.本節(jié)借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問題的情境，讓探究式教學(xué)走進課堂，喚醒學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主體能力，讓學(xué)生在參與中學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會合作、學(xué)會創(chuàng)新. 學(xué)生雖然對橢圓圖形有所了解，但只限于感性認識，缺少理性的思考、探索和創(chuàng)新，這與缺乏必要的數(shù)學(xué)思想和方法密切相關(guān).本節(jié)課從實例出發(fā)，設(shè)計了一對動點有規(guī)律的運動作一些理性的探索和研究. 在教材處理上，大膽創(chuàng)新，根據(jù)橢圓定義的特點，結(jié)合學(xué)生的認識能力和思維習(xí)慣在概念的理解上，先突出“和”，在此基礎(chǔ)上再完善“常數(shù)”取值范圍.在標準方程的推導(dǎo)上，并不是直接給出教材中的“建系”方式，而是讓學(xué)生自主地“建系”，通過所得方程的比較，得到標準方程，從中去體會探索的樂趣和數(shù)學(xué)中的對稱美和簡潔美. 在對教材中“令”的處理并不是生硬地過渡，而是通過課件讓學(xué)生觀察在當為橢圓短軸端點時(但這一幾何性質(zhì)并不向?qū)W生交待)，特征三角形所體現(xiàn)出來的幾何關(guān)系，再做變換.