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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一模試卷 文（含解析） 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．集合A={x|2＜x＜7}，B={x|3≤x＜10}，A∩B=( ) A．（2，10） B．[3，7） C．（2，3] D．（7，10） 考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算． 專題：集合． 分析：由A與B，找出兩集合的交集即可． 解答： 解：∵A=（2，7），B=[3，10）， ∴A∩B=[3，7）， 故選：B． 點(diǎn)評：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵． 2．i是虛數(shù)單位，+i=( ) A． B． C． D． 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出． 解答： 解：∵+i=+i==． 故選：A． 點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題． 3．下列函數(shù)中，奇函數(shù)是( ) A．f（x）=2x B．f（x）=log2x C．f（x）=sinx+1 D．f（x）=sinx+tanx 考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷． 專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可． 解答： 解：A．f（x）=2x為增函數(shù)，非奇非偶函數(shù)， B．f（x）=log2x的定義域?yàn)椋?，+∞），為非奇非偶函數(shù)， C．f（﹣x）=﹣sinx+1，則f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)， D．f（﹣x）=﹣sinx﹣tanx=﹣（sinx+tanx）=﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，滿足條件． 故選：D 點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，比較基礎(chǔ)． 4．已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若?（﹣）=0，則m=( ) A． B．﹣ C．7 D．﹣7 考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用． 分析：由向量模的公式和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量的平方即為模的平方，可得m的方程，解出即可． 解答： 解：向量=（﹣3，4），=（1，m）， 則||==5，=﹣3+4m， 若?（﹣）=0， 則﹣=0， 即為25﹣（﹣3+4m）=0， 解得m=7． 故選C． 點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的平方即為模的平方是解題的關(guān)鍵． 5．如圖所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是AB1、BC1的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的是( ) A．EF⊥BB1 B．EF∥平面ACC1A1 C．EF⊥BD D．EF⊥平面BCC1B1 考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定． 專題：空間位置關(guān)系與距離． 分析：在B中：連接A1B，由平行四邊形的性質(zhì)得EF∥A1C1，由此能推導(dǎo)出EF∥平面ACC1A1；在A中：由正方體的幾何特征得B1B⊥面A1B1C1D1，由A1C1?面A1B1C1D1，得B1B⊥A1C1，由此能求出EF⊥BB1；在C中：由正方形對角線互相垂直可得AC⊥BD，從而得到EF與BD垂直；在D中：由EF⊥BB1，BB1∩BC=B，得EF與BC不垂直，從而EF⊥平面BCC1B1不成立． 解答： 解：在B中：連接A1B，由平行四邊形的性質(zhì)得A1B過E點(diǎn)， 且E為A1B的中點(diǎn)，則EF∥A1C1， 又A1C1?平面ACC1A1，EF?平面ACC1A1，∴EF∥平面ACC1A1，故B正確； 在A中：由正方體的幾何特征可得B1B⊥面A1B1C1D1， 又由A1C1?面A1B1C1D1，可得B1B⊥A1C1， 由EF∥平面ACC1A1可得EF⊥BB1，故A正確； 在C中：由正方形對角線互相垂直可得AC⊥BD， ∵EF∥A1C1，AC∥A1C1，∴EF∥AC，則EF與BD垂直，故C正確； 在D中：∵EF⊥BB1，BB1∩BC=B，∴EF與BC不垂直， ∴EF⊥平面BCC1B1不成立，故D錯(cuò)誤． 故選：D． 點(diǎn)評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力． 6．某人睡午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，則他等待時(shí)間不多于15分鐘的概率為( ) A． B． C． D． 考點(diǎn)：幾何概型． 專題：概率與統(tǒng)計(jì)． 分析：由電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)的時(shí)刻是任意的知這是一個(gè)幾何概型，電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)知事件總數(shù)包含的時(shí)間長度是60，而他等待的時(shí)間不多于15分鐘的事件包含的時(shí)間長度是15，兩值一比即可求出所求． 解答： 解：由題意知這是一個(gè)幾何概型， ∵電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)， ∴事件總數(shù)包含的時(shí)間長度是60， ∵滿足他等待的時(shí)間不多于15分鐘的事件包含的時(shí)間長度是15， 由幾何概型公式得到P== 故選B． 點(diǎn)評：本題主要考查了幾何概型，本題先要判斷該概率模型，對于幾何概型，它的結(jié)果要通過長度、面積或體積之比來得到，屬于中檔題． 7．若變量x、y滿足約束條件，則z=x+y的取值范圍是( ) A．[4，7] B．[﹣1，7] C．[，7] D．[1，7] 考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃． 專題：不等式的解法及應(yīng)用． 分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過平移從而求出z的取值范圍． 解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）． 由z=x+y得y=﹣x+z，即直線的截距最大，z也最大． 平移直線y=﹣x+z，即直線y=﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)C（3，4）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大，為z=3+4=7． 經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距最小， 由，得，即A（﹣3，4），此時(shí)z最小，為z=﹣3+4=1． ∴1≤z≤7， 故z的取值范圍是[1，7]． 故選：D． 點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法． 8．將函數(shù)f（x）=sin（x+）的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位長度，得到的曲線經(jīng)過原點(diǎn)，則φ的最小值為( ) A． B． C． D． 考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析：根據(jù)三角函數(shù)的平移關(guān)系，以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解． 解答： 解：將函數(shù)f（x）=sin（x+）的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位長度得到f（x）=sin（x+﹣φ）， 若到的曲線經(jīng)過原點(diǎn)，則此時(shí)為奇函數(shù)， 則﹣φ=kπ，k∈Z， 即φ=﹣kπ，k∈Z， 則當(dāng)k=0時(shí)，φ取得最小值， 故選：D 點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象之間的關(guān)系，利用三角函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵． 9．下列命題中，錯(cuò)誤的是( ) A．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要條件 B．在銳角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立 C．在△ABC中，若acosA=bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B=60，b2=ac，則△ABC必是等邊三角形 考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用． 專題：簡易邏輯． 分析：A．在△ABC中，由正弦定理可得，可得sinA＞sinB?a＞b?A＞B，即可判斷出正誤； B．在銳角△ABC中，由＞＞0，可得=cosB，即可判斷出正誤； C．在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A=2π﹣2B即可判斷出正誤； D．在△ABC中，利用余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入已知可得a=c，又B=60，即可得到△ABC的形狀，即可判斷出正誤． 解答： 解：A．在△ABC中，由正弦定理可得，∴sinA＞sinB?a＞b?A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要條件，正確； B．在銳角△ABC中，，∵，∴＞＞0，∴=cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正確； C．在△ABC中，∵acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A=2π﹣2B，∴A=B或，因此 △ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題； D．在△ABC中，若B=60，b2=ac，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴ac=a2+c2﹣ac，即（a﹣c）2=0，解得a=c，又B=60， ∴△ABC必是等邊三角形，正確． 綜上可得：C是假命題． 故選：C． 點(diǎn)評：本題考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角函數(shù)的單調(diào)性、誘導(dǎo)公式、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 10．設(shè)f（x）、g（x）都是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)（f?g）（x），?x∈R，（f?g）（x）=f（g（x）），若f（x）=，g（x）=，則( ) A．（f?f）（x）=f（x） B．（f?g）（x）=f（x） C．（g?f）（x）=g（x） D．（g?g）（x）=g（x） 考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法． 專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析：根據(jù)題目給的定義函數(shù)分別求出（f?f）（x）等，然后判斷即可，注意分段函數(shù)的定義域?qū)馕鍪降挠绊懀? 解答： 解：對于A，因?yàn)閒（x）=，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f（f（x））=f（x）=x；當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x2≥0，特別的，x=0時(shí)x=x2，此時(shí)f（x2）=x2， 所以（f?f）（x）==f（x），故A正確； 對于B，由已知得（f?g）（x）=f（g（x））=，顯然不等于f（x），故B錯(cuò)誤； 對于C，由已知得（g?f）（x）=g（f（x））=，顯然不等于g（x），故C錯(cuò)誤； 對于D，由已知得（g?g）（x）=，顯然不等于g（x），故D錯(cuò)誤． 故選A． 點(diǎn)評：本題考查了“新定義問題”的解題思路，要注重對概念的理解，同時(shí)本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題． 二、填空題：本大題共3小題，考生只作答4小題，每小題5分，滿分15分（一）必做題（11-13題） 11．命題“若a、b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆命題是若a+b是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù)． 考點(diǎn)：四種命題． 專題：簡易邏輯． 分析：命題“若p，則q”的逆命題是“若q，則p”． 解答： 解：“若a、b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆命題是：“若a+b是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù)” 故答案為：若a+b是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù) 點(diǎn)評：本題考查四種命題間的逆否關(guān)系，解題時(shí)要注意四種命題間的相互轉(zhuǎn)化． 12．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=2，?n∈N*，an+1=，則axx=﹣1． 考點(diǎn)：數(shù)列遞推式． 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析：由已知條件根據(jù)遞推公式，利用遞推思想依次求出數(shù)列的前4項(xiàng)，從而得到數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，又xx=6713+2，由此能求出axx． 解答： 解：∵數(shù)列{an}滿足a1=2，?n∈N*，an+1=， ∴=﹣1， =， =2， … ∴數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列， 又xx=6713+2， ∴axx=a2=﹣1． 故答案為：﹣1． 點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的第xx項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意遞推思想的合理運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列． 13．某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以來的5次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，則乙同學(xué)這5次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是82，已知兩位同學(xué)這5次成績的平均數(shù)都是84，成績比較穩(wěn)定的是甲（第二個(gè)空填“甲”或“乙”）． 考點(diǎn)：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；莖葉圖． 專題：概率與統(tǒng)計(jì)． 分析：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合中位數(shù)的概念，得出乙的中位數(shù)是多少，再分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，得出甲的成績較穩(wěn)定些． 解答： 解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，乙的5次數(shù)學(xué)成績按照大小順序排列后，第3個(gè)數(shù)據(jù)是82，∴中位數(shù)是82； 觀察甲乙兩位同學(xué)的5次數(shù)學(xué)成績，甲的成績分布在81～90之間，集中在平均數(shù)84左右，相對集中些； 乙的成績分布在79～91之間，也集中在平均數(shù)84左右，但相對分散些； ∴甲的方差相對小些，成績較穩(wěn)定些． 故答案為：82，甲． 點(diǎn)評：本題考查了中位數(shù)與方差的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目． （二）選做題（14、15兩題，考生只能從中任選一題）【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】 14．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程是x2+2y2=5，C2的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是． 考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程． 專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 分析：首先把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步建立方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后通過取值范圍求出結(jié)果． 解答： 解：C2的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x2=3y2 則： 解得： 由于C2的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），滿足 所以交點(diǎn)為： 即交點(diǎn)坐標(biāo)為：（，﹣1） 故答案為：（，﹣1） 點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，解方程組問題的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型． 【幾何證明選講選做題】 15．如圖所示，⊙O的兩條割線與⊙O交于A、B、C、D，圓心O在PAB上，若PC=6，CD=7，PO=12，則AB=16． 考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段． 專題：直線與圓． 分析：由切割線定理得PC?PD=PA?PB，設(shè)圓半徑為r，則6（6+）=（12﹣r）（12+r），由此能求出AB的長． 解答： 解：設(shè)圓半徑為r， ∵⊙O的兩條割線與⊙O交于A、B、C、D，圓心O在PAB上， ∴PC?PD=PA?PB， ∵PC=6，CD=7，PO=12， ∴6（6+）=（12﹣r）（12+r）， 解得r=8， ∴AB=2r=16． 故答案為：16． 點(diǎn)評：本題考查圓的直徑的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運(yùn)用． 三、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿分80分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟 16．已知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期為π，x∈R，ω＞0是常數(shù)． （1）求ω的值； （2）若f（+）=，θ∈（0，），求sin2θ． 考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象． 專題：三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析：（1）由兩角和的正弦公式化簡解析式可得f（x）=2sin（ωx+），由已知及周期公式即可求ω的值． （2）由已知及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得f（+）=2cosθ=，可得cosθ，由θ∈（0，），可得sinθ，sin2θ的值． 解答： 解：（1）∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）， ∵函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期為π， ∴T=，解得：ω=2． （2）∵f（+）=2sin[2（+）+]=2sin（θ+）=2cosθ=， ∴cosθ=， ∵θ∈（0，）， ∴sin=， ∴sin2θ=2sinθcosθ=2=． 點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性，屬于基本知識(shí)的考查． 17．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取20件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量得到如圖所示的頻率分布直方圖1，從左到右各組的頻數(shù)依次記為A1、A2、A3、A4，A5． （1）求圖1中a的值； （2）圖2是統(tǒng)計(jì)圖1中各組頻數(shù)的一個(gè)算法流程圖，求輸出的結(jié)果S； （3）從質(zhì)量指標(biāo)值分布在[80，90）、[110，120）的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求所抽取兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10的概率． 考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；程序框圖． 專題：圖表型；概率與統(tǒng)計(jì)；算法和程序框圖． 分析：解：（1）依題意，利用頻率之和為1，直接求解a的值． （2）由頻率分布直方圖可求A1，A2，A3，A4，A5的值，由程序框圖可得S=A2+A3+A4，代入即可求值． （3）記質(zhì)量指標(biāo)在[110，120）的4件產(chǎn)品為x1，x2，x3，x4，質(zhì)量指標(biāo)在[80，90）的1件產(chǎn)品為y1，可得從5件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品的結(jié)果共10種，記“兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10”為事件A，可求事件A中包含的基本事件共4種，從而可求得P（A）． 解答： 解：（1）依題意，（2a+0.02+0.03+0.04）10=1 解得：a=0.005 （2）A1=0.0051020=1，A2=0.0401020=8，A3=0.0301020=6，A4=0. 0201020=4，A5=0.0051020=1 故輸出的S=A2+A3+A4=18 （3）記質(zhì)量指標(biāo)在[110，120）的4件產(chǎn)品為x1，x2，x3，x4，質(zhì)量指標(biāo)在[80，90）的1件產(chǎn)品為y1， 則從5件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品的結(jié)果為：（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x1，y1），（x2，x3）， （x2，x4），（x2，y1），（x3，x4），（x3，y1），（x4，y1）共10種， 記“兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10”為事件A， 則事件A中包含的基本事件為：（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x4，y1）共4種 所以可得：P（A）==． 即從質(zhì)量指標(biāo)值分布在[80，90）、[110，120）的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，所抽取兩件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)之差大于10的概率為 點(diǎn)評：本題考查讀頻率分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力，利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題，屬于中檔題． 18．如圖1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90，AB∥CD，AD=CD=AB=2，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，將△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直（如圖2），在圖2所示的幾何體D﹣ABC中． （1）求證：BC⊥平面ACD； （2）點(diǎn)F在棱CD上，且滿足AD∥平面BEF，求幾何體F﹣BCE的體積． 考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定． 專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角． 分析：（1）由題意知，AC=BC=2，從而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中點(diǎn)E，連接DE，則DE⊥AC，從而ED⊥平面ABC，由此能證明BC⊥平面ACD． （2）取DC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，則EF∥AD，三棱錐F﹣BCE的高h(yuǎn)=BC，S△BCE=S△ACD，由此能求出三棱錐F﹣BCE的體積． 解答： （1）證明：在圖1中，由題意知，AC=BC=2， ∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC 取AC中點(diǎn)E，連接DE，則DE⊥AC， 又平面ADC⊥平面ABC， 且平面ADC∩平面ABC=AC，DE?平面ACD， 從而ED⊥平面ABC， ∴ED⊥BC 又AC⊥BC，AC∩ED=E， ∴BC⊥平面ACD． （2）解：取DC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF， ∵E是AC中點(diǎn)，∴EF∥AD， 又EF?平面BEF，AD?平面BEF，∴AD∥平面BEF， 由（1）知，BC為三棱錐B﹣ACD的高， ∵三棱錐F﹣BCE的高h(yuǎn)=BC=2=， S△BCE=S△ACD=22=1， 所以三棱錐F﹣BCE的體積為： VF﹣BCE==1=． 點(diǎn)評：本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)． 19．已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，?n∈N*，an與an+1的等差中項(xiàng)為n． （1）求a1與d的值； （2）設(shè)bn=2n?an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn． 考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析：（1）在等差數(shù)列{an}中，由an與an+1的等差中項(xiàng)為n，得an+an+1=2n，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后由系數(shù)相等求得首項(xiàng)和公差； （2）由（1）求出{an}的通項(xiàng)，代入bn=2n?an，分組后利用錯(cuò)位相減法求和． 解答： 解：（1）在等差數(shù)列{an}中，由an與an+1的等差中項(xiàng)為n，得an+an+1=2n， 即2a1+（2n﹣1）d=2n，（2a1﹣d）+2nd=2n， ∴，解得． （2）由（1）知，． bn=2n?an=． ∴ = = =（1?21+2?22+…+n?2n）+2n﹣1． 令， 則， 兩式作差得：=（1﹣n）?2n+1﹣2． ∴． ∴． 點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的分組求和，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題． 20．設(shè)A是圓x2+y2=4上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足=，當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C． （1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)曲線C的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，經(jīng)過F2的直線m與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|2=|F1P|2+|F1Q|2，求直線m的方程． 考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用． 專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析：（1）點(diǎn)A在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，引起點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，我們可以由=得到點(diǎn)A和點(diǎn)M坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點(diǎn)M坐標(biāo)所滿足的方程； （2）根據(jù)|PQ|2=|F1P|2+|F1Q|2，得F1P⊥F1Q，即，聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，運(yùn)用設(shè)而不求的思想建立關(guān)系，求解即可． 解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x0，y0）， 則點(diǎn)D坐標(biāo)為（x0，0）， 由=可知，x=x0，y=y0， ∵點(diǎn)A在圓x2+y2=4上， ∴． 把代入圓的方程，得 ，即 ． ∴曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ． （2）由（1）可知F2坐標(biāo)為（1，0）， 設(shè)P，Q坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2）． 當(dāng)直線m斜率不存在時(shí)易求|PQ|=3，， 不符合題意； 當(dāng)直線m斜率存在時(shí)，可設(shè)方程為y=k（x﹣1）． 代入方程 ，得 （3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， ∴，…* ∵|PQ|2=|F1P|2+|F1Q|2， ∴F1P⊥F1Q，即 ∴， 即k2（x1﹣1）（x2﹣1）+（x1+1）（x2+1）=0， 展開并將*式代入化簡得，7k2=9， 解得或k=﹣， ∴直線m的方程為y=（x﹣1），或y=﹣（x﹣1）． 點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于難題． 21．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+4（a∈R是常數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為5． （1）求a的值； （2）k≤0，討論直線y=kx與曲線y=f（x）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷． 專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再求出f（1），由直線方程的點(diǎn)斜式求得曲線 y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，求出直線在y軸上的截距，由截距為5求得a的值； （2）把（1）中求出的a值代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)得到函數(shù)的極值點(diǎn)與極值，根據(jù)x=0為極大值點(diǎn)，且極大值大于0，x=2為極小值點(diǎn)，且極小值等于0，可得k≤0時(shí)，直線y=kx與曲線y=f（x）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)． 解答： 解：（1）∵f（x）=x3+ax2+4，∴f′（x）=3x2+2ax，則f′（1）=3+2a， 又f（1）=5+a， ∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣5﹣a=（3+2a）（x﹣1）， 取x=0得：y=2﹣a， 由2﹣a=5，得a=﹣3； （2）f（x）=x3﹣3x2+4，f′（x）=3x2﹣6x， 當(dāng)x∈（﹣∞，0），（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0， 當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0． ∴當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)f（x）取得極大值為f（0）=4；當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)f（x）取得極小值為f（2）=0． 由當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞． ∴k≤0，直線y=kx與曲線y=f（x）只有1個(gè)公共點(diǎn)． 點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，是中高檔題．