《電大【經濟數(shù)學基礎】期末復習考試小抄資料(精編完整版)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《電大【經濟數(shù)學基礎】期末復習考試小抄資料(精編完整版)（23頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、電大【經濟數(shù)學基礎】考試小抄 第一部分　 微分學 一、單項選擇題 1．函數(shù)的定義域是（ 且） 2．若函數(shù)的定義域是[0，1]，則函數(shù)的定義域是( )． 3．下列各函數(shù)對中，（ ，）中的兩個函數(shù)相等． 4．設，則=（ ）． 5．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）． 6．下列函數(shù)中，（不是基本初等函數(shù)． 7．下列結論中，（奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱）是正確的． 8. 當時，下列變量中（ ）是無窮大量． 9. 已知，當（ ）時，為無窮小量. 10．函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = ( 1)． 11. 函數(shù) 在x = 0處（右連續(xù) ）

2、． 12．曲線在點（0, 1）處的切線斜率為（ ）． 13. 曲線在點(0, 0)處的切線方程為（y = x ）． 14．若函數(shù)，則=（ ）． 15．若，則（ ）． 16．下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調增加的是（e x）． 17．下列結論正確的有（x0是f (x)的極值點 ）． 18. 設需求量q對價格p的函數(shù)為，則需求彈性為Ep=（ ）． 二、填空題 1．函數(shù)的定義域是 [-5，2] 2．函數(shù)的定義域是(-5, 2 ) 3．若函數(shù)，則 4．設函數(shù)，，則 5．設，則函數(shù)的圖形關于y軸對稱． 6．已知生產某種產品的成本函數(shù)為C(q) = 80 + 2q，則當產

3、量q = 50時，該產品的平均成本為3.6 7．已知某商品的需求函數(shù)為q = 180 – 4p，其中p為該商品的價格，則該商品的收入函數(shù)R(q) = 45q – 0.25q 2 8. 　　1　　. 9．已知，當 時，為無窮小量． 10. 已知，若在內連續(xù)，則　2 . 11. 函數(shù)的間斷點是 12．函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 ，， 13．曲線在點處的切線斜率是 14．函數(shù)y = x 2 + 1的單調增加區(qū)間為(0, +) 15．已知，則= 0 16．函數(shù)的駐點是 17．需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為 18．已知需求函數(shù)為，其中p為價格，則需求彈性Ep =

4、 三、極限與微分計算題 1．解 = = = 2．解：= = 3．解 = ==22 = 4 4．解 = = = 2 5．解 6．解 = = 7．解：(x)== = 8．解 9．解 因為 所以 10．解 因為 所以

5、 11．解 因為 所以 12．解 因為 所以 13．解 14．解： 15．解 在方程等號兩邊對x求導，得 故 16．解 對方程兩邊同時求導，得 =. 17

6、．解：方程兩邊對x求導，得 當時， 所以， 18．解 在方程等號兩邊對x求導，得 故 四、應用題 1．設生產某種產品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元）, 求：（1）當時的總成本、平均成本和邊際成本； （2）當產量為多少時，平均成本最?。? 1．解（1）因為總成本、

7、平均成本和邊際成本分別為： ， 所以， ， （2）令 ，得（舍去） 因為是其在定義域內唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當20時，平均成本最小. 2．某廠生產一批產品，其固定成本為2000元，每生產一噸產品的成本為60元，對這種產品的市場需求規(guī)律為（為需求量，為價格） 2．解 （1）成本函數(shù)= 60+2000． 因為 ，即， 所以 收入函數(shù)==()=． （2）因為利潤函數(shù)=- =-(60+2000) = 40--2000

8、 且 =(40--2000=40- 0.2 令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定義域內的唯一駐點． 所以，= 200是利潤函數(shù)的最大值點，即當產量為200噸時利潤最大． 3．設某工廠生產某產品的固定成本為50000元，每生產一個單位產品，成本增加100元．又已知需求函數(shù)，其中為價格，為產量，這種產品在市場上是暢銷的，試求：（1）價格為多少時利潤最大？（2）最大利潤是多少？ 3．解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p

9、 R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利潤函數(shù)L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 – 8p = 0 得p =300，該問題確實存在最大值. 所以，當價格為p =300元時，利潤最大. （2）最大利潤 （元）． 4．某廠生產某種產品q件時的總成本函數(shù)為C(q) = 20+4q+0.01q2（元），單位銷售價格為p = 14-0.01q（元/件），試求：（1）產量為多少時可使利潤達到最大？（2）最大利

10、潤是多少？ 4．解 （1）由已知 利潤函數(shù) 則，令，解出唯一駐點. 因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當產量為250件時可使利潤達到最大， （2）最大利潤為 （元） 5．某廠每天生產某種產品件的成本函數(shù)為（元）.為使平均成本最低，每天產量應為多少？此時，每件產品平均成本為多少？ 5. 解 因為 == （） == 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）. =140是在其定義域內的唯一駐點，且該問題確實存在最小值. 所以=140是平均成

11、本函數(shù)的最小值點，即為使平均成本最低，每天產量應為140件. 此時的平均成本為 ==176 （元/件） 6．已知某廠生產件產品的成本為（萬元）．問：要使平均成本最少，應生產多少件產品？ 6．解 （1） 因為 == == 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定義域內的唯一駐點． 所以，=50是的最小值點，即要使平均成本最少，應生產50件產品． 第二部分　 積分學 一、單項選擇題 1．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點

12、（1, 4）的曲線為（y = x2 + 3 ）． 2. 若= 2，則k =（1）． 3．下列等式不成立的是（ ）． 4．若，則=（）. 5. （ ）． 6. 若，則f (x) =（ ）． 7. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是()． 8．下列定積分中積分值為0的是（） 9．下列無窮積分中收斂的是（）． 10．設(q)=100-4q ，若銷售量由10單位減少到5單位，則收入R的改變量是（350 ）． 11．下列微分方程中，（ ）是線性微分方程． 12．微分方程的階是（1）. 二、填空題 1． 2．函數(shù)的

13、原函數(shù)是-cos2x + c (c 是任意常數(shù)) 3．若，則 4．若，則= 5．0 6．0 7．無窮積分是收斂的（判別其斂散性） 8．設邊際收入函數(shù)為(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，則平均收入函數(shù)為2 + ． 9. 是　　2 階微分方程. 10．微分方程的通解是 三、計算題 ⒈ 解 2．解 3．解 4．解 = = 5．解 == = 6．解 7．解 === 8．解 =-== 9．解法一 =

14、 =＝=1 解法二 令，則 = 10．解 因為 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解為 11．解 將方程分離變量： 等式兩端積分得 將初始條件代入，得 ，c = 所以，特解為： 12．解：方程兩端乘以，得 即 兩邊求積分，得 通解為：

15、 由，得 所以，滿足初始條件的特解為： 13．解 將原方程分離變量 兩端積分得 lnlny = lnC sinx 通解為 y = eC sinx 14. 解 將原方程化為：，它是一階線性微分方程， ， 用公式 15．解 在微分方程中， 由通解公式 16．解：因為，，由通解公式得 = =

16、 = 四、應用題 1．投產某產品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產量為多少時，可使平均成本達到最低. 1．解 當產量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為 == 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值. 所以產量為6百臺時可使平均成本達到最小. 2．已知某產品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x

17、，問產量為多少時利潤最大？在最大利潤產量的基礎上再生產50件，利潤將會發(fā)生什么變化？ 2．解 因為邊際利潤 =12-0.02x –2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當產量為500件時，利潤最大. 當產量由500件增加至550件時，利潤改變量為 =500 - 525 = - 25 （元） 即利潤將減少25元. 3．生產某產品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元

18、/百臺），其中x為產量，問產量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤有什么變化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百臺） 又x = 10是L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值點，即當產量為10（百臺）時，利潤最大. 又 即從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤將減少20萬元. 4．已知某產品的邊際成本為(萬元/百臺)，x為產量(百臺)，固定成本為18

19、(萬元)，求最低平均成本. 4．解：因為總成本函數(shù)為 = 當x = 0時，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺) 該題確實存在使平均成本最低的產量. 所以當x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百臺) 5．設生產某產品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產量，單位：百噸．銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時的產量； (2) 在利潤最大時

20、的產量的基礎上再生產1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？ 5．解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 – 2x 令，得x = 7 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當產量為7百噸時利潤最大. (2) 當產量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （萬元） 即利潤將減少1萬元. 第三部分 線性代數(shù) 一、單項選擇題 1．設A為矩陣，B為矩陣，則下列運算中（AB ）可以進行. 2．設為同階可逆矩陣，則下列等式成

21、立的是（ 3．設為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（秩秩秩 ）． 4．設均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（） 5．設是可逆矩陣，且，則（ ）. 6．設，，是單位矩陣，則＝（） 7．設下面矩陣A, B, C能進行乘法運算，那么（AB = AC，A可逆，則B = C ）成立. 8．設是階可逆矩陣，是不為0的常數(shù)，則（）． 9．設，則r(A) =（ 2 ）． 10．設線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ 1 ）． 11．線性方程組 解的情況是（無解）． 12．若線性方程組的增廣矩陣為，則當＝（）時線性方程組無解

22、． 13． 線性方程組只有零解，則（可能無解）. 14．設線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（無解）． 15．設線性方程組有唯一解，則相應的齊次方程組（只有零解）． 二、填空題 1．兩個矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是與是同階矩陣 2．計算矩陣乘積= [4] 3．若矩陣A = ，B = ，則ATB= 4．設為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進行運算，則有關系式 5．設，當0時，是對稱矩陣. 6．當時，矩陣可逆 7．設為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解 8．設為階可逆矩陣，則(A)= 9．若矩陣A =，則r(A) =2

23、 10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b無解 11．若線性方程組有非零解，則-1 12．設齊次線性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于n – r 13．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 (其中是自由未知量) 14．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為 則當時，方程組有無窮多解. 15．若線性方程組有唯一解，則只有0解 三、計算題 1．設矩陣，，求． 2．設矩陣 ，，，計算． 3．設矩陣A =，求． 4．設矩陣A =，求逆矩陣． 5．設矩陣 A

24、=，B =，計算(AB)-1． 6．設矩陣 A =，B =，計算(BA)-1． 7．解矩陣方程． 8．解矩陣方程. 9．設線性方程組 討論當a，b為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解. 10．設線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況. 11．求下列線性方程組的一般解： 12．求下列線性方程組的一般解： 13．設齊次線性方程組 問l取何值時方程組有非零解，并求一般解. 14．當取何值時，線性方程組 有解？并求一般解. 15．

25、已知線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為 問取何值時，方程組有解？當方程組有解時，求方程組的一般解. 三、計算題 1．解 因為 = == 所以 == 2．解：= = = 3．解 因為 (A I )= 所以 A-1 = 4．解 因為(A I ) = 所以 A-1= 5．解 因

26、為AB == (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6．解 因為BA== (BA I )= 所以 (BA)-1= 7．解 因為 即 所以，X == 8．解：因為 即 所以，X === 9．解 因為 所以當且時，方程組無解； 當時，方程組有

27、唯一解； 當且時，方程組有無窮多解. 10．解 因為 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因為r(A) r()，所以方程組無解. 11．解 因為系數(shù)矩陣 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 12．解 因為增廣矩陣 所以一般解為 （其中是自由未知量） 13．解 因為系數(shù)矩陣 A = 所以當l = 5時，方程組有非零解. 且一般解為 （其中是自

28、由未知量） 14．解 因為增廣矩陣 所以當=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知量〕 15．解：當=3時，，方程組有解. 當=3時， 一般解為， 其中, 為自由未知量. 四、證明題 四、證明題 1．試證：設A，B，AB均為n階對稱矩陣，則AB =BA． 1．證 因為AT = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB

29、 = (AB)T = BT AT = BA 2．試證：設是n階矩陣，若= 0，則． 2．證 因為 = == 所以 3．已知矩陣 ，且，試證是可逆矩陣，并求 3. 證 因為，且，即 ， 得，所以是可逆矩陣，且. 4. 設階矩陣滿足，，證明是對稱矩陣. 4. 證 因為 == 所以是對稱矩陣. 5．設A，B均為n階對稱矩陣，則AB＋BA也是對稱矩陣． 5．證 因為 ，且 所以 AB＋BA是

30、對稱矩陣． 一、單項選擇題（每小題3分，共15分） 1．設A為3x2矩陣，B為2x3矩陣，則下列運算中（AB ）可以進行. 2．設AB為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ ） 3設為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（　 ）．4．設AB階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（D ）． 7．設下面矩陣A, B, C能進行乘法運算，那么（AB = AC，A可逆，則B = C 成立. 9．設，則r(A) =（ 1 ）． 10．設線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ 1 ）． 11．線性方程組 解的情況是（

31、無解）． 12．若線性方程組的增廣矩陣為，則當＝( ）時線性方程組無解． 　13． 線性方程組只有零解，則（可能無解）. 14．設線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（無解）． 1、下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（A ）. A. 2、下列函數(shù)在區(qū)間上是單調下降的是（D ）. D. 3、下列定積分計算正確的是（ D ）. D. 4、設A=,則r=（ C ）。 C.3 5、設線性方程組的增廣矩陣為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ B ）. B.2 1、函數(shù)的定義域是（A ） A.

32、（-2，4） 解答： 2、曲線在點（0，1）處的切線斜率為（ A ） A. 解答： 3、若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是（ B ）. B. 解答： 4、設A，B為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ D ）. D. 解答： 5、設線性方程組有唯一解，則相應的齊次方程組（C ）. C. 只有零解 解答： 只有零解 即C 1、各函數(shù)對中的兩個函數(shù)相等的是（C ）. C. 解答： ∵ ∴選 2、已知，當（A?。r為無窮小量。 A. 解答：∵ ∴選 3、下列

33、函數(shù)中，（ B ）是的原函數(shù). B. 解答： ∵ ∴選 4、設為矩陣，為矩陣，且乘積矩陣有意義,則為（B ）矩陣． B． 解答： ∴選 5、若線性方程組的增廣矩陣為，則當=（ B ）時線性方程組無解. B.-3 解答： 當 時 ∴線性方程組無解 ∴選 二、填空題（每小題3分，共15分） 1．兩個矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是與是同階矩陣 2．計算矩陣乘積= [4] ． 3．若矩陣A = ，B = ，則ATB=． 4．設為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進行運

34、算，則有關系式 5．設，當 0　時，A稱矩陣. 6．當a時，矩陣可逆. 7．設AB個已知矩陣，且1-B則方程的解． 8．設為階可逆矩陣，則(A)=n 9．若矩陣A =，則r(A) = 2 ． 10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b 無解． 11．若線性方程組有非零解，則-1． 12．設齊次線性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于n – r． 13．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為. 14．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為則當d-1組AX=b解. 15．若線性方程組有唯一解，則只

35、有0解. 6、 函數(shù)的圖形關于 原點 對稱. 7、.函數(shù)y=(x-2) 的駐點是 x=2 8、 4 . 9、矩陣的秩為 2 。 10、已知齊次線性方程組中的為35矩陣，且該方程組有非0解，則 3 . 6、若函數(shù)，則 解答：令 則 即： 7、曲線在點(4, 2)處的切線方程為 解答： 即 即

36、 8、 0 解答： 是奇函數(shù) 9、設A=，當= 1 時，A是對稱矩陣. 解答：當時，矩陣為對稱矩陣。 10、線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為，則當-5 時，方程組有無窮多解. 解答： 時，有無窮多解。 6、若函數(shù)，則 解答： ∴ = 7、 已知，若在內連續(xù)，則　2　　 . 解答： ∴ 8、若，則= 解答： 9、設矩陣A=，I為單位矩陣，則（I-A）= 解答： ∴ 10、 齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是 m=n=r(A)

37、 . 三、微積分計算題（每小題10分，共20分） 11、設，求. 解： 12、計算積分. 解：原式 11、 已知， 求. 解： 12、計算. 1. 解：原式 11、 設y=， 求 解： 12、計算. 解：原式= 四、代數(shù)計算題（每小題15分，共30分） 1設矩陣，，求 解 因為 = == 所以 == 2設矩陣 ，，計． 解：=

38、 = = 3設矩陣A =，求 解 因為 (A I )= 所以 A-1 = 4設矩陣A =，求逆矩陣 因為(A I ) = 所以 A-1= 5設矩陣 A =，B =，計算(AB)-1 解 因為AB == (AB I ) = 所以 (AB)-1= 7解矩陣方程． 解 因為 即 所以，X == 8解矩陣方程 解：因為 即 所以

39、，X === 10設線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的并. 解 因為 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因為r(A) r()，所以方程組無解. 11求下列線性方程組的一般解： 解因為系數(shù)矩 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 12．求下列線性方程組的一般解： 解 因為增廣矩陣 所以一般解為 （其中是自由未知量） 13設齊次線性方程組 問l取何值時方程組有非零解，并求一般解. 13．解 因為系數(shù)矩陣A = 所以當l = 5時，方

40、程組有非零解. 且一般解為 （其中是自由未知量） 14當取何值時，線性方程組 有解？并求一 解 因為增廣矩陣 所以當=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知量〕 13、已知AX=B,其中A=,B=,求X 解： 14、討論為何值時，齊次線性方程組有非零解，并求其一般解. 解： 13、設矩陣A=，，求 14、 求當取何值時，線性方程組有解，并求一般解. 14.

41、 即 時線性方程組有無窮多解 一般解為 13、設矩陣=，=，求解矩陣方程. 解： ∴ 14、設齊次線性方程組，問取何值時方程組有非0解，并求一般解. 解： 當 即 時 方程組有非零解。 一般解為 （為自由未知量） 五.應用題（本題20分） 15、某廠生產某種產品件時的總成本函數(shù)為（元），單位銷售價格為（元/件），試求：（1）產量為多少時可使利潤達到最大？（2）最大利潤是多少？

42、 解：（1） （2） 最大利潤是1855元。 15、設生產某產品的總成本函數(shù)為（萬元），其中為產量，單位：百噸.銷售百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求：（1）利潤最大時的產量；（2）在利潤最大時的產量的基礎上再生產1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？ 15. 解：（1） 令 即 檢驗知 百噸時利潤最大 （2） 在利潤最大的基礎上再生產1百噸利潤將減少1萬元。 15、投產某產品的固定成本為36（萬元），且邊際成本為（萬元/百臺），試求產量有4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產量為多少時，可使平均成本達到最低。 解： （萬元） 即當產量從4百臺增加至6百臺時，總成本增加140萬元 令 即 （百臺）檢驗知當產量為352百臺時平均成本最小。 23