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專題六三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 測試卷（A卷） （測試時間：120分鐘 滿分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．如圖為一半徑為3米的水輪，水輪圓心O距水面2米，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點P到水面距離y（米）與時間x（秒）滿足關(guān)系式y(tǒng)=Asin(ωx+?)+2，則有 （ ） A. ω=5π12,A=5 B. ω=2π15,A=3 C. ω=5π12,A=3 D. ω=152π,A=5 【答案】C 【解析】∵水輪的半徑為3，水輪圓心O距離水面2米，A=3，又水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，故轉(zhuǎn)一圈需要15秒，∴T=15=2πω，∴ω=2π15，故選C. 2．電流強度I(安)隨時間t(秒)變化的函數(shù)I＝Asin(A>0，ω>0，0<φ<)的圖象如圖所示，則t＝秒時，電流強度I＝(　　) A．－5安 　　　　B．5安 C．5安 　　　　D．10安 【答案】A 3．某商品一年內(nèi)每件出廠價在5千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<) 的模型波動(x為月份)，已知3月份達到最高價7千元，7月份達到最低價3千元，根據(jù)以上條件可以確定f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*) C．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*) 【答案】D 【解析】根據(jù)題意，T＝ 2(7－3)＝8，ω＝＝，由 得 當x＝3時，2sin＋5＝7，得φ＝－.∴f(x)＝2sin＋5.故選D. 4．一個大風車的半徑為8，12旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點，離地面2，風車翼片的一個端點從開始按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則點離地面距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 5．為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標系，設(shè)秒針尖指向位置P(x，y)．若初始位置為P0，秒針從P0(注：此時t＝0)開始沿順時針方向走動，則點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關(guān)系為(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 【答案】C 【解析】由題意，函數(shù)的周期為T＝60，∴ω＝＝.設(shè)函數(shù)解析式為y＝sin(秒針是順時針走動)．∵初始位置為P0，∴t＝0時，y＝.∴sinφ＝，φ可取.∴函數(shù)解析式為y＝sin.故選C. 6．如圖，質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0(，－)，角速度為1，那么點P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為(　　) 【答案】C 7.已知某人的血壓滿足函數(shù)解析式f(t)＝24sin160πt＋110.其中f(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】C 【解析】由題意可得f＝＝＝80.所以此人每分鐘心跳的次數(shù)為80.故選C. 8.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】由圖知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，ymax＝3＋5＝8.故選C. 9. 【2017屆福建省泉州市模擬三】海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生潮漲潮落，船只一般漲潮時進港卸貨，落潮時出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為米，安全間隙（船底與海底距離）為米，該船在開始卸貨，吃水深度以米/小時的速度減少，該港口某季節(jié)每天幾個時刻的水深如下表所示，若選擇（）擬合該港口水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則該船必須停止卸貨駛離港口的時間大概控制在（要考慮船只駛出港口需要一定時間） A. 至 B. 至 C. 至 D. 至 【答案】C 10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，則正確的選項是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函數(shù)的圖象可知，即，因為，所以，因為 ，所以，所以，解得，故選A． 11．已知函數(shù)向左平移個單位后，得到函數(shù)，下列關(guān)于的說法正確的是（ ） A．圖象關(guān)于點中心對稱 B．圖象關(guān)于軸對稱 C．在區(qū)間單調(diào)遞增 D．在單調(diào)遞減 【答案】C 【解析】函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為．對于A，當時，．圖象不關(guān)于點中心對稱，∴A不正確；對于B，當時，，圖象不關(guān)于軸對稱，∴B不正確；對于C，的周期是．當時，函數(shù)取得最大值，時，函數(shù)取得最小值，∵，∴在區(qū)間單調(diào)遞增，∴C正確；對于D，的周期是．當時，函數(shù)取得最大值，∴在單調(diào)遞減不正確，∴D不正確；故選：C． 12. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位，得到的圖象.若，且，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13.某時鐘的秒針端點A到中心O的距離為5 cm，秒針均勻地繞點O旋轉(zhuǎn)，當時間t＝0時，點A與鐘面上標12的點B重合，將A，B兩點間的距離d表示成t 的函數(shù)，則d＝_____________，其中t∈. 【答案】10sint. 【解析】如圖所示， OA＝OB＝5，秒針由B均勻地旋轉(zhuǎn)到A的時間為t，則∠AOB＝t，取AB中點為C，則OC⊥AB，從而∠AOC＝∠AOB＝t. 在Rt△AOC中，AC＝OAsin∠AOC＝5sint，∴d＝AB＝10sint，t∈. 故填10sint. 14．某實驗室一天的溫度（單位： ）隨時間（單位： ）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系： ， ，該實驗室這一天的最大溫差為__________． 【答案】4 【解析】 因為，所以， 當時，即時，函數(shù)取得最大值為， 當時，即時，函數(shù)取得最小值為， 所以一天的最大溫差為． 15.已知某種交流電電流I(A)隨時間t(s)的變化規(guī)律可以擬合為函數(shù)I＝5sin，t∈[0，＋∞)，則這種交流電在0.5 s內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)為________次． 【答案】25. 【解析】∵f＝＝＝＝50， ∴0.5 s內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)為0.550＝25.故填25. 16.某市的緯度是北緯2134′，小王想在某住宅小區(qū)買房，該小區(qū)的樓高7層，每層3 m，樓與樓之間相距15 m，要使所買樓房在一年四季正午的太陽不被前面的樓房遮擋，最低應(yīng)該選擇第______層的房(地球上赤道南北各2326′處的緯線分別叫南北回歸線．冬季我國白天最短的一天冬至日太陽直射在南回歸線上)． 【答案】3. 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17．畫出函數(shù)y＝|cosx|的圖象并觀察其周期． 【答案】見解析. 【解析】函數(shù)圖象如圖所示． 從圖中可以看出，函數(shù)y＝|cosx|是以π為周期的波浪形曲線． 我們也可以這樣進行驗證：|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|， 所以，函數(shù)y＝|cosx|是以π為周期的函數(shù)． 18.如圖，某大風車的半徑為2 m，每12 s旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點O離地面0.5 m．風車圓周上一點A從最低點O開始，運動t(s)后與地面的距離為h(m)． (1)求函數(shù)h＝f(t)的關(guān)系式； (2)畫出函數(shù)h＝f(t)的圖象． 【答案】（1）y＝－2cos＋2，h＝f(t)＝－2cos＋2.5.（2）見解析. 【解析】(1)如圖，以O(shè)為原點，過點O的圓O1的切線為x軸，建立直角坐標系，設(shè)點A的坐標為(x，y)，則h＝y(tǒng)＋0.5. 設(shè)∠OO1A＝θ，則cosθ＝， y＝－2cosθ＋2. 又θ＝t＝， 所以y＝－2cos＋2，h＝f(t)＝－2cos＋2.5. (2)列表： t 0 3 6 9 12 h 0.5 2.5 4.5 2.5 0.5 描點連線，即得函數(shù)h＝－2cost＋2.5的圖象如圖所示： 19. 以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的，已知3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元，而該商品在商店的銷售價格是在8元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價最高為10元，9月份銷售價最低為6元，假設(shè)某商店每月購進這種商品m件，且當月售完，請估計哪個月盈利最大？并說明理由． 【答案】6月份盈利最大. 【解析】 由已知條件可得，出廠價格函數(shù)關(guān)系式為 y1＝2sin＋6，銷售價格函數(shù)關(guān)系式為 y2＝2sin＋8，則利潤函數(shù)關(guān)系式為 y＝m(y2－y1) ＝m[2sin＋8－2sin－6] ＝－2msinx＋2m. 當x＝6時，y＝2m＋2m＝(2＋2)m， 即6月份盈利最大． 20. 設(shè)函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線． （1）求并用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像； （2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； 【答案】（1），圖象見解析；（2）． 【解析】（1）的圖像的對稱軸， 由 0 x 0 y －1 0 1 0 故函數(shù) （2）由題意得 得： 所以函數(shù) 21. 已知電流I與時間t的關(guān)系式為I=Asin(ωt+φ). (1)如圖是I=Asin(ωt+φ) 在一個周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求解析式; (2)如果t在任意一段秒的時間內(nèi),電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整數(shù)值是多少? 【答案】（1）I=300sin；（2）943. 【解析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)的圖象，我們可以分析出函數(shù)的最大值，最小值，周期及特殊點坐標，根據(jù)函數(shù)的解析式中參數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，易得到函數(shù)的解析式． （2）由已知中如果t在任意一段秒內(nèi)I能取到最大值和最小值, I=Asin(ωt+φ)的周期T≤即可求解. (2)∵t在任一段秒內(nèi)I能取到最大值和最小值, ∴I=Asin(ωt+φ)的周期T≤, 即,ω≥300π≈943. ∴ω的最小正整數(shù)值是943. 22. 彈簧掛著的小球作上下振動，時間t(s)與小球相對平衡位置(即靜止時的位置)的高度h(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式是h＝2sin(2t－)， t∈[0，＋∞)． (1)以t為橫坐標，h為縱坐標，畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖； (2)小球開始振動的位置在哪里？ (3)小球最高點、最低點的位置及各自距平衡位置的距離分別是多少？ (4)小球經(jīng)過多長時間往復(fù)振動一次？ (5)小球1s能振動多少次？ 【答案】（1）見解析；(2) 小球開始振動時的位置為(0，－)(平衡位置的下方cm處)． （3）2cm；（4）0.318次/s． 【解析】(1)畫出h＝2sin的簡圖(長度為一個周期)． 按五個關(guān)鍵點列表： t 2t－ 0 π 2π 2sin 0 2 0 －2 0 描點并將它們用光滑的曲線連接起來，即得h＝2sin(t≥0)在一個周期的簡圖，如圖所示． (2)t＝0時，h＝2sin＝－，即小球開始振動時的位置為(0，－)(平衡位置的下方cm處)．