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7.1.2 三角形的高、中線與角平分線 7.1.3 三角形的穩(wěn)定性 基礎過關作業(yè) 1．以下說法錯誤的是（ ） A．三角形的三條高一定在三角形內部交于一點 B．三角形的三條中線一定在三角形內部交于一點 C．三角形的三條角平分線一定在三角形內部交于一點 D．三角形的三條高可能相交于外部一點 2．如果一個三角形的三條高的交點恰好是這個三角形的一個頂點，那么這個三角形是（ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 3．如圖1，BD=BC，則BC邊上的中線為______，△ABD的面積=_____的面積． (1) (2) (3) 4．如圖2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于點O，則△BOC的三條高分別為線段________． 5．下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（ ） A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形 6．如圖3，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD與△ACD的周長之差． 7．如圖，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足為點D，且BD=CD．可知哪些線段是哪個三角形的角平分線、中線或高？ 綜合創(chuàng)新作業(yè) 8．（綜合題）如圖5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形的周長分為15和6兩部分，求該等腰三角形的腰長及底邊長． 9．有一塊三角形優(yōu)良品種試驗基地，如圖所示，由于引進四個優(yōu)良品種進行對比試驗，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請你制定出兩種以上的劃分方案供選擇（畫圖說明）． 10．（創(chuàng)新題）如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AD的中點，S△ABC=4cm2，求S△ABE． 11．（2004年，陜西）如圖，在銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC上的高，且CD、BE交于一點P，若∠A=50，則∠BPC的度數是（ ） A．150 B．130 C．120 D．100 培優(yōu)作業(yè) 12．（探究題）（1）如圖7-1-2-9，AD是△ABC的角平分線，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于點O．請問：DO是△DEF的角平分線嗎？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由． （2）若將結論與AD是△ABC的角平分線、DE∥AB、DF∥AC中的任一條件交換，所得命題正確嗎？ 13．（開放題）要使四邊形木架（用4根木條釘成）不變形，至少要再釘上幾根木條？五邊形木架和六邊形木架呢？n邊形木架呢？ 14．（趣味題）《三國演義》中有關木牛流馬的敘述： “孔明即手書一紙，付眾觀看，眾將環(huán)繞而視．造木牛之法云：‘方腹曲頭，一腳四足；頭入領中，舌著于腹．載多而行少，獨行者數十里，群行者二十里．曲者為牛頭，雙者為牛腳，橫者為牛領，轉者為牛足，覆者為牛背，方者為牛腹，垂者為牛舌，曲者為牛肋，刻者為牛齒，立者為牛角，細者為牛鞅，攝者為牛軸．牛仰雙轅，人行六尺，牛行四步．’每牛載十人所食一月之糧，人不大勞，牛不飲食．” 你知道木牛流馬中運用了什么數學知識嗎？ 數學世界 探險家的“難極” 有一個探險家，挖空心思想出一個“難極”來． 什么是探險家的“難極”呢？ 一般情況下，如果從某地出發(fā)，先往北走100公里，再往東走100公里，然后往南走100公里，這時，終止地總要在出發(fā)地正東100公里處． 而若從某地出發(fā)，先往北走100公里，再往東走100公里，然后往南走100公里，能正好回到原來的出發(fā)地．這個出發(fā)地被探險家稱其為“難極”． 你知道探險家的“難極”在哪里嗎？ 答案: 1．A 點撥：銳角三角形的三條高在三角形內部交于一點，直角三角形的三條高交于直角頂點，鈍角三角形的三條高在三角形外部交于一點． 2．B 3．AD；△ACD 4．BD，CE，OF 5．C 6．解：∵AD為△ABC的中線， ∴BD=CD， ∴△ABD與△ACD的周長之差為： （AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC=5-3=2（cm）． 7．解：∵∠BAD=∠CAD，∴AD是△ABC的角平分線，DE是△BEC的角平分線． ∵AD⊥BC，垂足為點D，∴AD是△ABC的高，DE是△BEC的高． ∵BD=CD，∴AD是△ABC的中線，DE是△BEC的中線． 點撥：本題是考查三角形的角平分線、中線和高的概念． 8．解：設AB=AC=2x，則AD=CD=x． （1）AB+AD=15，BC+CD=6時， 有2x+x=15，解得x=5． ∴2x=10，BC=6-5=1． （2）當BC+CD=15，AB+AD=6時， 有2x+x=6，解得x=2． ∴2x=4，BC=15-2=13． ∵4+4>13，∴此時構不成三角形． ∴這個等腰三角形的腰長及底邊長分別為10，1． 點撥：要注意檢驗結果是否滿足三角形三邊關系定理． 9．解：方案1：如答圖1，在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，連接AE、ED、AF． (1) (2) (3) 方案2：如答圖2，分別取AB、BC、CA的中點D、E、F，連接DE、EF、DF． 方案3：如答圖3，分別取BC的中點D，CD的中點E，AB的中點F，連接AD、AE、DF．同學們，你還有別的方法嗎？試試看． 點撥：三角形面積計算公式為底高，因此解題的關鍵是找出底、高分別相等的四個三角形． 10．解：∵AD是△ABC的邊BC上的中線， ∴S△ABD=S△ABC=4=2（cm2）． ∵BE是△ABD的邊AD上的中線， ∴S△ABE=S△ABD=2=1（cm2）． 點撥：三角形的任一中線將三角形分為面積相等的兩個小三角形． 11．B 點撥：∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高， ∴∠AEB=∠CDB=90， ∵∠A=50，∴∠ABE=40， ∴∠BPD=180-∠CDB-∠ABE=180-90-40=50， ∴∠BPC=180-∠BPD=180-50=130． 12．解：（1）DO是△DEF的角平分線． 證明：∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠EAD=∠FAD． ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠EDA=∠FAD，∠FDA=∠EAD（兩直線平行，內錯角相等）． ∴∠EDA=∠FDA． ∴DO是△DEF的角平分線． （2）所得命題正確． 13．解：要使四邊形木架不變形，至少要再釘上1根木條． 要使五邊形木架不變形，至少要再釘上2根木條． 要使六邊形木架不變形，至少要再釘上3根木條． 要使n邊形木架不變形，至少要再釘上（n-3）根木條． 14．答：用手抬按木牛的雙轅或木馬的頭部，木牛流馬會穩(wěn)穩(wěn)地向前邁進． 用手操作的時候，人和木牛流馬總是呈三角形． 這符合三角形穩(wěn)定性原理，這也是木牛流馬“上山下嶺，各盡其便”的原因． 數學世界答案:探險家的“難極”就是南極點．