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圖4.2 方波信號的傅里葉級數(shù),例4―1 試將圖4.2所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。,方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù),解 我們將信號按式(4―6)分解成傅里葉級數(shù),并按式(4 ― 7)、(4―8)、(4―9)分別計算an, bn及c。,例 3.3-1,試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。,解 f(t)為周期信號，題中所給的f(t)表達(dá)式可視為f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。據(jù),可知，其基波頻率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分別為二、 三、六次諧波頻率。且有,振幅譜和相位譜例題,其余,圖 3.3-1 例 3.3-1 信號的頻譜 振幅譜； (b) 相位譜,圖 3.3-2 例 3.3-1 信號的雙邊頻譜 (a) 振幅譜； (b) 相位譜,例 3.4-2 求指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。,圖 3.4-2 單邊指數(shù)函數(shù)e-αt及其頻譜 (a) 單邊指數(shù)函數(shù)e-αt; (b) e-αt的幅度譜,單邊指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù),其振幅頻譜及相位頻譜分別為,解,(4―41),(4―40),單邊指數(shù)信號的頻譜,例4―4 求單邊指數(shù)信號的頻譜。 解 單邊指數(shù)信號是指,圖4.7 單邊指數(shù)信號及其頻譜,例 3.4-3 求圖 3.4-3(a)所示雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)。,偶對稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù),圖 3.4-3 雙邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜 (a) 雙邊指數(shù)函數(shù)； (b) 頻譜,(4―42),從頻譜函數(shù)的定義式出發(fā),(4―43),例4―5 求雙邊指數(shù)信號的頻譜。 解 雙邊指數(shù)信號是指,偶對稱雙邊指數(shù)信號的頻譜,圖4.8 雙邊指數(shù)信號及其頻譜,例 3.4-4 求圖 3.4-4(a)所示信號f(t)的頻譜函數(shù)。,圖 3.4-4 例 3.4-4 圖 (a) 信號f(t); (b) 頻譜,奇對稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù),(a0),解 圖示信號f(t)可表示為,例 3.4-1 圖 3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數(shù)。其寬度為τ， 高度為1，通常用符號gτ(t)來表示。試求其頻譜函數(shù)。,解 門函數(shù)gτ(t)可表示為,門函數(shù)的頻譜函數(shù),圖 3.4-1 門函數(shù)及其頻譜 (a) 門函數(shù)； (b) 門函數(shù)的頻譜； (c) 幅度譜； (d) 相位譜,圖4.6 矩形脈沖信號及其頻譜,矩形脈沖信號gτ(t)的頻譜,例4―3 求矩形脈沖信號gτ(t)的頻譜。,(4―36),gτ(t)的傅里葉變換為,(4―37),(4―38),(4―39),解 矩形脈沖信號gτ(t)是一個如圖4.6（a）所示的門函數(shù)。其定義為,例 3.4-5 求單位沖激函數(shù)δ(t)的頻譜函數(shù)。,圖 3.4-5 信號δ(t)及其頻譜 (a) 單位沖激信號δ(t); (b) δ(t)的頻譜,δ(t)的頻譜函數(shù),解,可見，沖激函數(shù)δ(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說，δ(t)中包含了所有的頻率分量， 而各頻率分量的頻譜密度都相等。 顯然， 信號δ(t)實際上是無法實現(xiàn)的。,根據(jù)分配函數(shù)關(guān)于δ(t)的定義， 有,(4―34),(4―35),沖激信號δ(t)的頻譜,例4―2求沖激信號δ(t)的頻譜。 解 由頻譜函數(shù)的定義式有,圖4.5 沖激信號及其頻譜,(4―75),移位沖激函數(shù)δ(t-t0)的頻譜函數(shù),例4―12求移位沖激函數(shù)δ(t-t0)的頻譜函數(shù)。 解 由于已知沖激函數(shù)δ(t)的頻譜函數(shù)為1,求移位沖激函數(shù)δ(t-t0)的頻譜函數(shù)，此時可利用傅里葉變換的時移特性式(4―74)。,例 3.4-6 求直流信號1的頻譜函數(shù)。,圖 3.4-6 直流信號f(t)及其頻譜 (a) 直流信號f(t); (b) 頻譜,直流信號1的頻譜函數(shù),解 直流信號1可表示為,(4―45),(4―46),例4―6 求單位直流信號的頻譜。 解 幅度為1的單位直流信號可表示為 f(t)=1,-∞t∞ (4―44) 它可以看作是雙邊指數(shù)信號在α取極限趨近0時的一個特例,即,單位直流信號的頻譜,(4―47),(4―48),(4―49),圖4.9 單位直流信號及其頻譜,例 3.4-7 求符號函數(shù)Sgn(t)的頻譜函數(shù)。,考察例 3.4-4 所示信號f(t),符號函數(shù)Sgn(t)的頻譜函數(shù),當(dāng)α→0時，其極限為符號函數(shù)Sgn(t)。因而可以用求f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)當(dāng)α→0的極限的方法來求得Sgn(t)的頻譜函數(shù)。 例 3.4-4 所示信號的頻譜函數(shù)為 ，從而有,圖 3.4-7 符號函數(shù)Sgn(t)及其頻譜 (a)Sgn(t)的波形； (b) 頻譜,(4―50),符號函數(shù)的頻譜,例4―7求符號函數(shù)的頻譜。 解 符號函數(shù)簡記為sgn(t),它的定義為,圖4.10 符號函數(shù)及其頻譜,(其中α0),(4-51),符號函數(shù)sgn(t)也可看作是下述函數(shù)在α取極限趨近0時的一個特例:,例 3.4-8 求階躍函數(shù)ε(t)的頻譜函數(shù)。,由階躍函數(shù)ε(t)的波形容易得到,解,從而就可更為方便地求出ε(t)的頻譜函數(shù)， 即,階躍函數(shù)ε(t)的頻譜函數(shù),圖 3.4-8 階躍函數(shù)及其頻譜 (a) ε(t)的波形； (b) 頻譜,例 3.5-1 求圖 3.5-1(a)所示信號的頻譜函數(shù)。,圖 3.5-1 例 3.5-1 的圖 (a) f(t)的波形； (b) 相位譜,門(平移后)信號的頻譜函數(shù),解,例4―11 已知 求gτ(2t)的頻譜函數(shù) 解 根據(jù)傅里葉變換的尺度變換性質(zhì),gτ(2t)的頻譜函數(shù)為,尺度變換求頻譜,圖4.13 尺度變換,圖4.11 單邊指數(shù)信號及其頻譜,例4―9利用奇偶虛實性求圖4.11單邊指數(shù)信號f(t)=2e-αt u(t)的頻譜。,利用奇偶虛實性求頻譜,解 從波形圖（a）上可見,單邊指數(shù)信號f(t)是非偶非奇函數(shù),但可分解為如圖（b）,（c）所示的偶函數(shù)和奇函數(shù)兩部分,見下式。 f(t)=2e-αt u(t)=fe(t)+fo(t) 其中,例 3.5-2 求高頻脈沖信號f(t)(圖 3.5-2(a))的頻譜。,圖 3.5-2 高頻脈沖信號及其頻譜 (a) f(t)的波形； (b) 頻譜,高頻脈沖信號f(t) 的頻譜,解 圖3.5-2(a)所示高頻脈沖信號f(t)可以表述為門函數(shù)gτ(t)與cos ω0t相乘，即,例4―13 求高頻脈沖信號 p(t)=gτ(t)cosω0t 的頻譜函數(shù) 解 由于,高頻脈沖信號的頻譜函數(shù),故有,根據(jù)頻移特性有,圖4.14 頻移特性,例 3.5-4 求圖 3.5-5(a)所示梯形信號f(t)的頻譜函數(shù)。 解 若直接按定義求圖示信號的頻譜，會遇到形如te-jωt的繁復(fù)積分求解問題。而利用時域積分性質(zhì)，則很容易求解。 將f(t)求導(dǎo)，得到圖 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，將f1(t)再求導(dǎo)， 得到圖 3.5-5(c)所示的f2(t)， 顯然有,梯形信號f(t)的頻譜函數(shù),圖 3.5-5 梯形信號及其求導(dǎo)的波形,據(jù)時移性質(zhì)有,圖 3.5-6 另一種梯形信號,圖4.15 梯形脈沖的傅里葉變換,梯形脈沖的傅里葉變換,例4―14 求圖4.15所示梯形脈沖的傅里葉變換。,解 梯形脈沖可看作是兩個不同寬度的矩形脈沖 f1(t)與f2(t)的卷積，如圖4.15所示。 f(t)=f1(t)*f2(t) 而矩形脈沖的傅里葉變換已在例4―3中求出,具體來說,圖4.16 半波正弦脈沖,圖4.17 三角形脈沖及其一、二街導(dǎo)的波形,例 3.6-1 求圖 3.6-1(a)所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)。,圖 3.6-1 周期矩形脈沖信號及其頻譜 (a) f(t)的波形； (b) 復(fù)振幅Fn; (c) 頻譜函數(shù)F(jω),周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù),解 周期矩形脈沖f(t)的復(fù)振幅Fn為,例 3.6-2 圖3.6-2(a)為周期沖激函數(shù)序列δT(t)，其周期為T，δT(t)可表示為,m為整數(shù),圖 3.6-2 周期沖激序列及其頻譜,周期沖激函數(shù)序列δT(t)的頻譜,解 先求δT(t)的復(fù)振幅Fn：,,設(shè)一周期信號fT(t)，其周期為T，fT(t)中位于第一個周期的信號若為fa(t)，則不難得到,已經(jīng)知道,例 3.8-1 已知激勵信號f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，試求圖 3.8-1 所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uCf(t)。,圖 3.8-1 例 3.8-1 的圖,用頻域分析法求響應(yīng),,注意到δ(ω)的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得UCf(jω)的逆變換，將UCf(jω)按如下形式整理:,圖 4.19,例4―20如圖4.19所示,試分析單位階躍信號u(t)通過RC高通網(wǎng)絡(luò)傳輸后的波形。,用頻域法求響應(yīng),則按H(ω)的定義有,對于單位階躍信號u(t)而言,此時,解 顯然,當(dāng)輸入信號uS(t)為復(fù)指數(shù)信號e jωt時,如圖有,最后一步考慮了沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)。因此,例 3.8-2 如圖 3.8-2(a)所示系統(tǒng)，已知乘法器的輸入,s(t)的波形如圖 3.8-2(b)所示，系統(tǒng)函數(shù),用頻域分析法求響應(yīng),圖 3.8-2 例 3.8-2 圖 (a) 系統(tǒng)組成； (b) s(t)的波形,先求f(t)的傅里葉變換F(jω)，由于,再求s(t)的傅里葉變換S(jω)。由于s(t)為周期信號，T=1ms，則 , 因而有,圖 3.8-3 y(t)的求解,例 3.8-3 已知系統(tǒng)函數(shù)H(jω)如圖3.8-4(a)所示，試求在f(t)(圖3.8-4(b))作用下系統(tǒng)的輸出y(t)。,解 周期信號f(t)可以表示為傅里葉級數(shù)：,由T=4s可知， 。 考慮到H(jω)的低通特性，當(dāng)|nΩ|≥π時H(jnΩ)=0，即|n|≥2 時H(jnΩ)=0，則,用頻域分析法求響應(yīng),圖 3.8-4 例 3.8-3 圖,