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關(guān)于實數(shù)完備性的6個基本定理,1. 確界原理（定理1.1）；,2. 單調(diào)有界定理（定理2.9）；,3. 區(qū)間套定理（定理7.1）；,4. 有限覆蓋定理（定理7.3）,5. 聚點定理（定理7.2）,6. 柯西收斂準(zhǔn)則（定理2.10）；,在實數(shù)系中這六個命題是相互等價的 。,,,第七章,在有理數(shù)系中這六個命題不成立 。,1. 確界原理,在實數(shù)系中，任意非空有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界。,,,2. 單調(diào)有界定理；,在實數(shù)系中，單調(diào)有界數(shù)列必有極限。,即數(shù)列的單調(diào)有界定理在有理數(shù)域不成立。,,,3. 區(qū)間套定理,所以區(qū)間套定理在有理數(shù)系不成立。,反例：,,,4. 有限覆蓋定理,在實數(shù)系中，閉區(qū)間[a, b]的任一開覆蓋H，必可從H中選出有限個開區(qū)間覆蓋[a, b]。,反例：,,,5. 聚點定理,實數(shù)系中的任意有界無限點集至少有一個聚點。,反例：,S是有界的無限有理點集，在實數(shù)域內(nèi)的聚點為e,,因而在有理數(shù)域沒有聚點。,5.1 致密性定理：,在實數(shù)系中，有界數(shù)列必含有收斂子列。,反例：,其極限為無理數(shù)e,從而任一子列均收斂于e。,故{xn}在有理數(shù)域內(nèi)沒有收斂的子列。,,,6. 柯西收斂準(zhǔn)則,反例：,即柯西收斂準(zhǔn)則在有理數(shù)域不成立。,,,幾個概念：,區(qū)間套（閉區(qū)間套），,聚點（3個等價定義及其等價性的證明），,開覆蓋（有限開覆蓋）。,舉例說明閉區(qū)間套定理中將閉區(qū)間換成開區(qū)間結(jié)論不成立。,但不存在屬于所有開區(qū)間的公共點。,舉例說明有限覆蓋定理中將閉區(qū)間換成開區(qū)間結(jié)論不成立。,但不能從中選出有限個開區(qū)間蓋?。?， 1）。,因為右端點始終為1，左端點有限個中必有一個最小者，,構(gòu)成了開區(qū)間（0， 1）的一個開覆蓋 ，,,積分法,,原 函 數(shù),選 擇 u 有 效 方 法,基 本 積 分 表,第一換元法 第二換元法,直接 積分法,分部 積分法,不 定 積 分,,,,,,幾種特殊類型 函數(shù)的積分,,第八章不定積分,一、主要內(nèi)容,1、原函數(shù)與不定積分的概念。,,,2、不定積分: (1)存在性;(2)唯一性;(3)如何求？,3、不定積分運算與微分運算的互逆關(guān)系。,4、積分表。,5、不定積分的計算： （1）基本思想——化歸為積分表中的積分；,（2）常用積分方法：,1）恒等變形（加一項減一項、乘一項除一項、 三角恒等變形）；,,,2）線性運算；,3）換元法： 第一類（湊分法）——不需要變換式可逆； 第二類——變換式必須可逆；,4）分部積分法——?？捎糜趦蓚€不同類型函數(shù)乘積的積分； “對反冪三指，前者設(shè)為u”,5）三種特殊類型函數(shù) “程序化”的積分法。,注：檢驗積分結(jié)果正確與否的基本方法。,（3）求積分比求微分困難—— 1）沒有萬能的積分法； 2）有的初等函數(shù)的積分不是初等函數(shù)，從而“積不出來”，如,,,另外：每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù).,6、基本積分表,是常數(shù)),,,7、湊微分常見類型:,,湊微分時常用到：,湊微分法就是設(shè)法把,一般沒有規(guī)律可循，只有掌握典型例題，多做多總結(jié)。,,,三角代換去掉如下二次根式：,可令,可令,可令,,,8、常用代換:,當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時，可采用令x=tn, （其中n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）,當(dāng)分母的階分子的階時, 可考慮試用倒代換：,一、主要內(nèi)容,1、定積分的定義,,,第九章 定積分,定積分是個數(shù)，與被積函數(shù)在有限個點處的定義無關(guān)；,與積分變量記號的選擇無關(guān)。,（2） 利用牛頓-萊布尼茲公式。,2、定積分的計算,在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方法求出其值：,,,3、定積分的幾何意義,——面積的代數(shù)和。,4、定積分的性質(zhì),線性、,關(guān)于積分區(qū)間的可加性、,估值不等式、,積分第一、第二中值定理。,5、定積分與不定積分的聯(lián)系,（1）變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式；,保號性、,,,（2）牛-萊公式。,,,（3）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。,因為“含有第一類間斷點的函數(shù)”都沒有原函數(shù)，,而“含有有限個第一類間斷點的函數(shù)”都可積。,所以可積函數(shù)不一定有原函數(shù)。,即說明有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。,,,6、可積條件,必要條件 若函數(shù)f在[a,b]上可積，則f在[a,b]上必定有界。,充要條件（1） 函數(shù)f在[a,b]可積當(dāng)且僅當(dāng)：,使得屬于T的所有小區(qū)間中，,充要條件（2） 函數(shù)f在[a,b]可積當(dāng)且僅當(dāng)：,對應(yīng)于振幅 的那些小區(qū)間 的總長,,,7、可積函數(shù)類,1、在[a,b]上連續(xù)的函數(shù)在[a,b]可積。,2、在[a,b]上只有有限個間斷點的有界函數(shù)在 [a,b]上可積。,3、在 [a,b]上單調(diào)的有界函數(shù)在[a,b]上可積。 （允許有無限多個間斷點）,但并非可積函數(shù)只有這3類。如：黎曼函數(shù)不屬于這3類的任何一類，但它是可積的。,在[a,b]上函數(shù)的間斷點形成收斂的數(shù)列，則函數(shù)在[a,b]可積。,,,8、利用不定積分計算定積分,（1）線性；,恒等變形；,換元；,分部積分；,一些特殊類型函數(shù)的積分。,（2）與不定積分法的差別,（3）利用對稱性、周期性及幾何意義。,,,——牛-萊公式,積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)求出后不需回代。,（4） 開偶次方時，要帶絕對值。,9、雜記,（1）定積分可用于計算某類特殊數(shù)列的極限。,（2） 對D(x)和R(x) 的可積問題多一些關(guān)注。,,,1、微元法的理論依據(jù),,第10章,,,2、名稱釋譯,,,,3、所求量的特點,,,,,,4、解題步驟,,,平面圖形的面積,直角坐標(biāo),參數(shù)方程,極坐標(biāo),弧微分,弧長,旋轉(zhuǎn)體體積,旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積,,,,,,,,,,,,?,5、定積分應(yīng)用的常用公式,(1) 平面圖形的面積,,,,直角坐標(biāo)情形,,,,——上曲線減下曲線對x積分。,,,,,,,,,,,A,x=f(y),（圖5）,,x=g(y),——右曲線減左曲線對y積分。,,,,,一般解題步驟：,（1）畫草圖，定結(jié)構(gòu)；,（2）解必要的交點，定積分限；,（3）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。,注意：答案永遠(yuǎn)為正。,如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,曲邊梯形的面積,參數(shù)方程所表示的函數(shù),,,,極坐標(biāo)情形,,,,(2) 體積,,,,,,,,平行截面面積為已知的立體的體積,,,,,,,(3) 平面曲線的弧長,,,弧長,A．曲線弧為,弧長,B．曲線弧為,,,,C．曲線弧為,弧長,(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,,,,,,,(5) 變力所作的功,(6) 液體壓力,,,,(7) 引力,(8) 函數(shù)的平均值,,,,第11章,一、兩類反常積分的概念,a為任意常數(shù),,,,如果a,b都是瑕點，則定義,c為(a,b)內(nèi)任一實數(shù)。,當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個積分都收斂時，才稱左端瑕積分收斂。,二、計算方法——求正常積分+求極限；,,,三、兩類反常積分的判斂方法,1、Cauchy準(zhǔn)則,,,2、比較法則,通常取p-積分為比較對象，且常用極限形式。,3、Dirichelet判別法和Abel判別法,用于判別兩個函數(shù)相乘時的反常積分的斂散性。,,,,四、絕對收斂與條件收斂,定積分：,無窮積分：,瑕積分：,,,,,第12章,數(shù)項級數(shù),,正項級數(shù),交錯級數(shù),一般項級數(shù),,,,,,,,,,收斂級數(shù)的基本性質(zhì)：,3. 級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限項無關(guān)，但收斂的和一般會有影響。,4 . 收斂級數(shù)加括號后仍收斂，且和不變（即有結(jié)合律）；,5. 絕對收斂級數(shù)的任意重排級數(shù)仍絕對收斂，且和不變（即有交換律）。,6. 收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的和必為發(fā)散級數(shù)。,,,正項級數(shù)審斂法,,1、比較法（un為有理表達(dá)式時）；,2、比式法（un含n!時）；,3、根式法（un含n次方時）；,4、積分法 ( ）；,5、拉貝法（ ）；,,,交錯級數(shù)審斂法,,這是Dirichelet判別法的特殊情形。,,,一般項級數(shù)審斂法,,1、Abel判別法，,2、Dirichelet判別法。,用比值或根值判別法判定的非絕對收斂級數(shù)一定發(fā)散。,,,則它們的乘積按任意順序所得的級數(shù)也絕對收斂于AB.,絕對收斂級數(shù)的性質(zhì),條件收斂的級數(shù)，可以適當(dāng)重排，使其按任意預(yù)定的方式收斂或發(fā)散。,,,第13章,等價于下列3條之一：,好用！,典型例題：,,I,的常用判定法：,,等價于下列3條之一：,典型例題：,（1）優(yōu)級數(shù)判別法,（2）Abel判別法,（3）Dirichelet判別法,的常用判定法：,,一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：,（1）,（2）,（3）,一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì),(1),(2),（3）,第14章,一、冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域,說明冪級數(shù)存在收斂半徑。,收斂半徑的求法：,（1）根式法，,（2）比式法，,,,,,這個方法不適合求缺項級數(shù)的收斂半徑。,冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)項級數(shù)的判斂問題。,,,二、冪級數(shù)的性質(zhì),（1）在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，,（2）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，,（3）在收斂區(qū)間可以逐項求導(dǎo)、逐項求積，且所得冪級數(shù)收斂半徑不變。,,,三、冪級數(shù)的求和,通常采用逐項求導(dǎo)、逐項求積，并利用一些已知級數(shù)的和函數(shù)。,注意這個級數(shù)的各種變異。,,,記住下列冪級數(shù)的和函數(shù)：,,,四、函數(shù)展開成冪級數(shù),如果f(x) 能展成冪級數(shù)，則這個冪級數(shù)是唯一的，就是f(x)的泰勒級數(shù)。,,,1.直接法(泰勒級數(shù)法),步驟:,,,2.間接法,根據(jù)唯一性, 利用常見展開式, 通過變量代換, 四則運算, 恒等變形, 逐項求導(dǎo), 逐項積分等方法,求展開式.,記住幾個特殊函數(shù)的展開式：,注意收斂范圍。,,,本章討論了下面三類問題：,1、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。,2、冪級數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。,3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的條件及方法。,請同學(xué)體會求冪級數(shù)和函數(shù)的方法，并注意在逐項求積時，收斂域可能擴(kuò)大，只要冪級數(shù)在端點收斂，而和函數(shù)在相應(yīng)點有定義，那么和函數(shù)成立的區(qū)間就可以包含這個端點。（這是P51.3的結(jié)果）,逐項求導(dǎo)時，一般收斂域會減少。,如,它們的收斂半徑都是1,,但它們的收斂域各是,,,第十五章,傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)：,三角函數(shù)系的正交性,（1）它們的最小公共周期為,（2）任何兩個不同的函數(shù)相乘在 上積分為0，,（3）任何一個函數(shù)的平方在 上積分不為0，,,,本章重點研究函數(shù)展成三角級數(shù)的方法。,如果f(x)能展成一致收斂的三角級數(shù)，則這個三角級數(shù)必是f(x) 的傅里葉級數(shù)。,f(x)的傅里葉系數(shù),f(x)的傅里葉級數(shù),,,f(x)的傅里葉系數(shù),f(x)的傅里葉級數(shù),,,收斂定理,1、,2、,,,,,本章常見題型：,對f(x)作周期延拓，使之成為周期為2 （2l）的函數(shù)。,,,此時答案不唯一。,上述2、3類問題，均不需把延拓結(jié)果寫出。,,,