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2019年高考數(shù)學一輪復習 第十一單元 空間位置關系 高考達標檢測（三十）平行問題3角度——線線、線面、面面 理 一、選擇題 1．(xx惠州模擬)設直線l，m，平面α，β，則下列條件能推出α∥β的是(　　) A．l?α，m?α，且l∥β，m∥β B．l?α，m?β，且l∥m C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m 解析：選C　借助正方體模型進行判斷．易排除選項A、B、D，故選C. 2.如圖，在長方體ABCDA′B′C′D′中，下列直線與平面AD′C平行的是(　　) A．B′C′　　　　　　　　 B．A′B C．A′B′ D．BB′ 解析：選B　連接A′B，∵A′B∥CD′，CD′?平面AD′C， ∴A′B∥平面AD′C. 3．設α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個充分不必要條件是(　　) A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α 解析：選A　由m∥l1，m?α，l1?β，得l1∥α，同理l2∥α， 又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立， 所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一個充分不必要條件． 4．(xx福州模擬)已知直線a，b異面，給出以下命題： ①一定存在平行于a的平面α使b⊥α； ②一定存在平行于a的平面α使b∥α； ③一定存在平行于a的平面α使b?α； ④一定存在無數(shù)個平行于a的平面α與b交于一定點． 則其中命題正確的是(　　) A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 解析：選D　對于①，若存在平面α使得b⊥α，則有b⊥a，而直線a，b未必垂直，因此①不正確； 對于②，注意到過直線a，b外一點M分別引直線a，b的平行線a1，b1，顯然由直線a1，b1可確定平面α，此時平面α與直線a，b均平行，因此②正確； 對于③，注意到過直線b上的一點B作直線a2與直線a平行，顯然由直線b與a2可確定平面α，此時平面α與直線a平行，且b?α，因此③正確； 對于④，在直線b上取一定點N，過點N作直線c與直線a平行，經(jīng)過直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行，且與直線b相交于一定點N，因此④正確． 綜上所述，②③④正確． 5．如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCDA1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題： ①沒有水的部分始終呈棱柱形； ②水面EFGH所在四邊形的面積為定值； ③棱A1D1始終與水面所在平面平行； ④當容器傾斜如圖所示時，BEBF是定值． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　由題圖，顯然①是正確的，②是錯誤的； 對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG， ∴A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH， ∴A1D1∥平面EFGH(水面)． ∴③是正確的； 對于④，∵水是定量的(定體積V)， ∴S△BEFBC＝V，即BEBFBC＝V. ∴BEBF＝(定值)，即④是正確的，故選C. 6．(xx合肥模擬)在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則對角線AC和平面DEF的位置關系是(　　) A．平行 B．相交 C．在平面內(nèi) D．不能確定 解析：選A　如圖，由＝得AC∥EF. 又因為EF?平面DEF，AC?平面DEF， 所以AC∥平面DEF. 二、填空題 7．有下列四個命題，其中正確命題的序號是________． ①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α； ②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行； ③若平面α與平面β平行，直線l在平面α內(nèi)，則l∥β； ④若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點． 解析：①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α或l與α相交，故①錯誤； ②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行或異面，故②錯誤； ③由面面平行的定義可知，③正確； ④若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點，故④正確． 答案：③④ 8．在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO. 解析：如圖所示，假設Q為CC1的中點， 因為P為DD1的中點，所以QB∥PA. 連接DB，因為P，O分別是DD1，DB的中點， 所以D1B∥PO， 又D1B?平面PAO，QB?平面PAO， 所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO， 又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO. 故Q滿足條件Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO. 答案：Q為CC1的中點 9．如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱VC，VB上的點，且滿足VC＝3EC，AF∥平面BDE，則＝________. 解析：連接AC交BD于點O，連接EO，取VE的中點M，連接AM，MF，由VC＝3EC?VM＝ME＝EC，又AO＝CO?AM∥EO?AM∥平面BDE，又由題意知AF∥平面BDE，且AF∩AM＝A，∴平面AMF∥平面BDE?MF∥平面BDE?MF∥BE?VF＝FB?＝2. 答案：2 三、解答題 10.如圖所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1＝AB＝2. (1)求證：AB1∥平面BC1D； (2)設BC＝3，求四棱錐B AA1C1D的體積． 解：(1)證明：連接B1C，設B1C與BC1相交于點O，連接OD. ∵四邊形BCC1B1是平行四邊形， ∴點O為B1C的中點． ∵D為AC的中點， ∴OD為△AB1C的中位線， ∴OD∥AB1. ∵OD?平面BC1D， AB1?平面BC1D， ∴AB1∥平面BC1D. (2)∵AA1⊥平面ABC，AA1?平面AA1C1C， ∴平面ABC⊥平面AA1C1C. ∵平面ABC∩平面AA1C1C＝AC， 作BE⊥AC，垂足為E， 則BE⊥平面AA1C1C. ∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC， ∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝， ∴BE＝＝， ∴四棱錐B AA1C1D的體積V＝(A1C1＋AD)AA1BE＝2＝3. 11．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC. 若BE＝1，在折疊后的線段AD上是否存在一點P，且＝λ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由． 解：AD上存在一點P，使得CP∥平面ABEF，此時λ＝. 理由如下： 當λ＝時，＝，可知＝， 如圖，過點P作MP∥FD交AF于點M，連接EM，PC， 則有＝＝， 又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3， 又EC＝3，MP∥FD∥EC，所以MP綊EC， 故四邊形MPCE為平行四邊形， 所以CP∥ME，又CP?平面ABEF，ME?平面ABEF， 所以CP∥平面ABEF. 12.如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，E為PA的中點，∠BAD＝60. (1)求證：PC∥平面EBD； (2)求三棱錐PEDC的體積． 解：(1)證明：設AC與BD相交于點O，連接OE.由題意知，底面ABCD是菱形，則O為AC的中點，又E為AP的中點，所以OE∥PC.因為OE?平面EBD，PC?平面EBD，所以PC∥平面EBD. (2)S△PCE＝S△PAC＝22＝.因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以DO⊥平面PAC，即DO是三棱錐DPCE的高，且DO＝1，則VPEDC＝VDPCE＝1＝. 如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，A1D1的中點． (1)求證：DD1⊥平面ABCD； (2)求證：平面A1BE⊥平面ADD1A1； (3)若CF∥平面A1BE，求棱BC的長度． 解：(1)證明：因為側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形， 所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD. 因為AD∩CD＝D， 所以DD1⊥平面ABCD. (2)證明：因為△ABD是正三角形，且E為AD中點， 所以BE⊥AD. 因為DD1⊥平面ABCD， 而BE?平面ABCD， 所以BE⊥DD1. 因為AD∩DD1＝D， 所以BE⊥平面ADD1A1. 因為BE?平面A1BE， 所以平面A1BE⊥平面ADD1A1. (3)因為BC∥AD， 而F為A1D1的中點， 所以BC∥A1F. 所以B，C，F(xiàn)，A1四點共面． 因為CF∥平面A1BE， 而平面BCFA1∩平面A1BE＝A1B， 所以CF∥A1B. 所以四邊形BCFA1為平行四邊形． 所以BC＝A1F＝AD＝1.