《數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 目 錄 摘要……………………………………………………………………………1 Abstract………………………………………………………………………1 1．問題的提出…………………………………………………………………2 2．研究目的和意義………………………………………………………2 2．1研究目的……………………………………………………… 2．2研究意義………………………………………………… 2．2．1理論意義…………………………………………… 2．2．2實踐意義…………………………………………… 3．研究的思想和主要方法……………………………

2、……………………………… 3．1研究思路………………………………………………… 3．2研究方法……………………………………………… 4．排列組合的主要內容…………………………………………………………… 4．1理解基本概念：分清兩個原理 ……………………………………………… 4．2分清排列和組合…………………………………………… 5．排列組合體現(xiàn)的數(shù)學思想…………………………………………… 5．1特殊化思想…………………………………………… 5．2分類思想…………………………………………… 5．3求補思想…………………………………………… 5．4化歸思想……………

3、……………………………… 5．5轉化思想…………………………………………… 5．5．1從數(shù)量、形式上轉化…………………………………………… 5．5．2從觀念理解上進行轉化…………………………………………… 5．5．3從綜合題的辯析中進行轉化…………………………………………… 6．排列組合的巧妙解法…………………………………………… 7． 結論…………………………………………………………………………… 參考文獻……………………………………………………………………… 致謝…………………………………………………………………………… 高中數(shù)學新課改背景下組合與排列教學研究

4、 數(shù)學與信息學院 數(shù)學與應用數(shù)學 指導老師 摘要：在新課標改革背景下，為了找出更加適合學生和教師對排列組合內容的學習和教學方法，采用文獻資料法、調查法、個案分析法、比較分析法等，從高中生學習排列組合的特點著手，介紹了排列組合的基本概念、基本思想，通過一些例子具體的證明了概念和思想在解題中的重要性，還介紹了排列組合的一些特殊解法，并一一舉例說明。由此得出要采用適當?shù)姆椒?，了解其中包含的思想，才能正確解答有關排列組合的難題。 關鍵字：排列組合；數(shù)學教學；數(shù)學學習 High School Mathematics Curriculum and arrangemen

5、t of teaching and research portfolio QIU Ju College of Mathematics and information, mathematics and applied mathematics Grade 2007， Instructor： TANG Shan-gang Abstract：Under the New Curriculum Reform in order to find a more suitable combinations of students and teachers on the content of the

6、 learning and teaching methods, this paper, literature, investigation, case analysis, comparative analysis, etc． from the combinations of high school students learning feature set, introduces the basic concepts of permutations and combinations, basic idea, through some specific examples of proof of

7、concept and the importance of thinking in solving problems, but also introduced some special combinations of solution, and eleven example, let we can clearly understand the permutations and combinations in the teaching and learning should be noted that a number of issues, so that it can better learn

8、 and teach this chapter．The resulting appropriate method to be used to understand the thoughts contained in order to correctly answer questions about permutation and combination problems. Key words： high school 刪除劃線 permutations and combinations；maths learning；maths teaching 1． 問題的提出 在高中階段的數(shù)學

9、教學內容中，排列與組合一直是教學中的一個難點。 這種以計數(shù)問題為特征的內容在中學數(shù)學中是較為特殊的，由于其思想方法比較獨特靈活，因而它也是發(fā)展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材，可用于訓練學生在計數(shù)、猜想、一般化和系統(tǒng)思維等方面得能力，有助于發(fā)展如等價和順序關系等概念。概率的計算和組合概念的發(fā)展是相互聯(lián)系的，因而排列組合是為學習概率統(tǒng)計儲備知識［1］。 文獻［1］給出了目前國內外對該論題的研究現(xiàn)狀、水平及發(fā)展趨勢。研究此論題的理論意義、實踐意義。給出了排列組合的的等價定義，定義中包含的內容，組合排列的性質，還有排列組合中所體現(xiàn)的數(shù)學思想。 高中生應重視排列組合的學習，不但從中體會數(shù)學思想

10、方法，提高數(shù)學能力，而且還可以和其他知識領域結合。然而，經過文獻查閱發(fā)現(xiàn)排列組合教學方面的資料比較少，學生在學習這章知識普遍感到困難．排列組合相對于其他章節(jié)的數(shù)學內容來說比較獨立，涉及的都是正整數(shù)，對學生來說不存在以前所學數(shù)學基礎好壞的問題。那么學生在學習過程中哪些知識點上感到困難？造成困難的因素是什么？是什么原因引起的？作為排列組合教學的現(xiàn)狀是怎樣？存在哪些問題？如有，應該怎樣改?要解決這些問題需要進一步的研究。 2．研究目的和意義 2．1研究目的 本研究試圖在排列組合教學研究文獻的分析、教學現(xiàn)狀調研基礎上，探索提高教學質量的途徑和方法。 2．2研究意義 2．2．1理論意義 本研

11、究可豐富排列組合教學研究的文獻，為教師在排列組合教學做進一步研究提供參考、幫助；為提高高中生排列組合學習效率提供理論依據(jù)。 2.2.2實踐意義 本研究對教師在排列組合的教學有所幫助促進，為實際教學提供了參考依據(jù)，教師可通過本研究找到教學中不足，從而改進教學方法、教學策略；學生可通過本研究了解自身學習中存在的問題及原因，從而改進學習方式。 3．研究的思路和主要方法 3.1研究思路 本課題主要研究高中生學習排列組合的必要性、可行性及教師現(xiàn)階段如何教學，今后如何改進等方面內容。 3.2研究方法 本研究主要采用的研究方法主要包括：文獻法、調查法、個案分析法、比較分析法。 4．排列組合的

12、主要內容 4.1理解基本概念：分清兩個原理 學好分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是學習本章的基礎，起應用貫穿于本章始終。分清這兩個原理的關鍵在于明確完成一個事件是需要“分類”還是“分步”完成?！白鲆患?，完成它可以有n類方法”，這里是對完成這件事件的所有方法的一個分類，每一輛尅方法都能單獨完成這件事。分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適當?shù)姆诸悩藴?，然后在這個標準下進行分類；其次，分類時要注意滿足一條基本要求：每一種方法必須屬于而且只能屬于某一類。只有滿足這一點，才可以用分類計數(shù)原理?！白鲆皇录?，完成它需要分成n個步驟”，這里指完成這件事的任何一種方法，都要經過n個步驟才能完成這一件事。分步時

13、，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個分步的可行標準，然后再這個確定的標準下進行分步，其次要注意分步時需要滿足一個基本要求：完成這件事必須完成這n個步驟后才算圓滿完成。只有滿足這些條件，才能用分步計數(shù)原理。［2］ 文獻［2］給出了怎樣理解排列組合的基本概念，怎樣區(qū)分排列、組合問題，必須要分清兩個原理：分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，并列舉了實際怎樣區(qū)分這兩個原理。 例4.1　某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語各一人，有多少種不同的選法？ 分析“完成一件事”指從9人中選出會英語和日語各一人，由題意可知，9人中既會英語又會日語只有1人，因此可

14、根據(jù)此人是否當選將所有選法分為三類：（1）此人不當選；（2）此人按英語當選；（3）此人按日語當選。 解：既會英語又會日語的有7+3-9=1人，僅會英語的有6人，僅會日語的有2人，先分類，后分步，先從僅會英語、日語的人中各選一人，有62種選法，從僅僅會英語和英語、日語都會的人中各選一人，有61種選法，從僅僅會日語與英語、日語都會的人中各選1人，有21種選法，根據(jù)加法原理，一共有62+61+21=20種不同的選法。 分類討論解決的問題，必須思維清晰，保證分類標準的唯一性，這樣才能保證分類不重復，不遺漏。 4.2分清排列與組合 排列：從知識體系來看，處于一個承上啟下的地位。它既在推導排列數(shù)公

15、式的過程中使分步計數(shù)原理獲得了重要應用，又使排列數(shù)公式成為推導組合數(shù)公式的主要依據(jù)。排列的定義包含兩個基本內容：一是“取出元素”；一是“按照一定順序排列”?！耙欢樞颉本褪桥c位置有關。 排列數(shù)公式的導出需要強調一段話“每一種填法就得到一個排列；反過來，任意一個排列總可以由這樣的一種天罰得到”。這說明“一個排列”與“一種填法”是一一對應的，因此通過分步計數(shù)原理得到的所有不同的填法總數(shù)就是所要的排列數(shù)。 組合和排列所研究的問題完全平行，并且組合數(shù)公式的推導要依據(jù)排列數(shù)公式。 組合的定義包含一個基本內容：就是“按照一定的方法取出元素”。相同排列：①元素個數(shù)相同；②所含元素相同；③各個元素排列的

16、先后順序相同。相同組合：①元素個數(shù)相同；②所含元素相同。 組合數(shù)公式的推導，從最簡單的情況入手，在具體例子的基礎上歸納出來的。推導的思路是依據(jù)分步計數(shù)原理，從個不同的元素任取個的排列數(shù)分成先“求組合數(shù)”，后求“全排列數(shù)”兩步完成。這樣更清楚地揭示出組合與排列的對應關系，從而利用這種對應關系和已知的排列數(shù)公式得到組合數(shù)公式。 組合數(shù)性質：性質1：Cnm=Cnn-m是解釋從n個元素中取m個與從n個元素中取n一m個的一一對應關系為主線，由特殊延伸到一般得到結論。并利用組合數(shù)公式對性質1證明，以提高學生對組合式子的變形能力。性質2：Cn+1m=Cnm+Cnm-1也是從具體例題中發(fā)現(xiàn)并解釋，再推廣到

17、一般情況。 分清一個具體問題是排列問題還是組合問題，關鍵在于看從n個不同元素取出m（m小于等于n）個元素是否與順序有關，有序的是排列問題，無序則屬于組合問題。 排列組合問題的共同點是“從n個不同元素中，任取m個元素”，取出的元素均為不同元素，排列與m個元素的順序有關，組合與m個元素的順序無關。以此來區(qū)分是排列問題還是組合問題。例如：從1、2、3這3個數(shù)中每次出2個數(shù)相乘，有多少不同的積，就與位置無關，是組合問題；問2個數(shù)相除有多少個不同的商，就與位置有關，是排列問題。 5．排列組合體現(xiàn)的數(shù)學思想 數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，我們在解決任何數(shù)學問題無不在某種數(shù)學思想的指導下進行的，同時，數(shù)學思

18、想 又是對數(shù)學知識的融會貫通的理解和升華，是一個更深層次的內容，數(shù)學中只有從講授某些具體教學內容的表層知識時去挖掘深層的數(shù)學思想，數(shù)學知識才有了核心，學生頭腦中才會形成完整的知識體系。因此，在教學過程中，應注意數(shù)學思想的滲透。 排列和組合是數(shù)學基礎知識的重要組成部分之一，它在解決實際問題以及科學技術的研究中都有廣泛的應用;并且是今后學習概率統(tǒng)計等知識的基礎，邏輯推理更是進一步學習數(shù)學的基礎，同時也是發(fā)展學生邏輯推理能力的良好素材。在排列組合問題中充分體現(xiàn)了對稱、分類、等價轉化、整體、方程、類比、集合、映射、化歸的數(shù)學思想。［3］它應用性強，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復雜，問題交錯

19、，易出現(xiàn)重復和遺漏以及不易發(fā)現(xiàn)錯誤等特征。讓學生通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，初步感受數(shù)學思想方法的奇妙與作用，受到數(shù)學思維的訓練，逐步形成有順序地、全面地思考問題的意識，同時培養(yǎng)他們探索數(shù)學問題的興趣與欲望，發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學美的意識，進而達到《標準》第一學段的要求：使學生“在解決問題的過程中，能進行簡單的、有條理的思考”。［4］ 5.1特殊化思想 特殊化思想是利用問題中的特殊因素，采取特殊方法解決問題的思維過程。對于有條件限制的排列組合應用問題，應抓住其中的特殊元素和特殊位置，對它們優(yōu)先考慮或采取特殊的手段處理。［5］ 文獻［5］結合排列組合一章的教學內容概括了數(shù)學思想的

20、滲透問題。 例5.1　7人排成一排，分別滿足下列條件的排法有多少種？［6］ （1）甲乙2人在兩端，丙不在正中間。 （2）甲乙丙互不相鄰。 （3）甲乙丙必須相鄰。 分析：（1）把7人排成一排看作有7個位置．7個元素，先安排甲、乙、丙這3個“特殊元素”，再排其余4人，排法共有(種)。 （2）先除去甲、乙、丙這三個“特殊元素”，考慮其他4人排隊，然后在4人之間的5個空隙（包括頭尾）中插入甲、乙、丙．排法共有（種）。 （3）先將甲、乙、丙3人看作一體，認為是一個“特殊元素”，與其他人排隊共有種排法，再考慮甲、乙、丙之間又有順序，故排法共有（種）。 例5.1的某些拓展： 若有個人排成一

21、列，其中有個人互不相鄰的排法數(shù)？ 分析：先除去這個“特殊元素”，考慮其他個人排隊，然后在人之間的個空隙（包括頭尾）中插入這人。還有要先從人中選出人的方法有，然后再進行排列。故滿足條件的排法共有（種）。 5.2分類思想 當所遇到的問題情境復雜、層次多、視角廣時，可以按照一定的標準，分成一系列不同層次或不同的側面，從而把原問題變成了幾個小問題逐一加以解決。這就是分類思想。把復雜的簡單化，非常有利于問題的解決。［7］ 5.3求補思想 解決某些排列組合問題時，可以先考慮沒有限制時的排列（或組合）的總數(shù)，再從中減去其中所以不滿足條件的排列（或組合）的個數(shù)，就得所求滿足條件的總數(shù)。 例5.3　

22、以正方體的8個頂點為頂點的直角三角形共有多少個？ 解：以正方體的8個頂點為頂點的三角形的個數(shù)為，其中非直角三角形的個數(shù)為8，故以正方體的8個頂點為頂點的直角三角形共有（個）。 5.4化歸思想 化歸思想的實質是化繁為簡，化難為易，化未知為已知。某些排列組合問題的解決過程，就是應用化歸思想的過程。 例5.4.1 馬路上有編號為1、2、3……8、9、10的十只路燈，為節(jié)約用電，可把其中的三只路燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或者三只，也不能關掉兩端的路燈，則滿足條件的關燈方法共有多少種？ 分析：用“*”表示被關的燈，用“O”表示不被關的燈．例如：“O*OO*O*OOO”表示第2、5、7

23、號燈被關掉，由此可見，問題可轉化為：求7個“O”形成的6個“空”（不包括首尾）中選出3個的組合數(shù)。答案應為=20（種）。 例5.4.2 把20個相同的小球放入編號為1、2、3的3個盒子中，使得每個盒子中的球數(shù)不少于它的編號，那么不同的放法共有多少種？ 分析1：先分別放入2號、3號盒子中1個、2個球，則問題轉化為：求把剩余的17個球放入3個盒子中，使得每個盒子中至少放入1個球的放法，而此問題又等價于：求不定方程x+y+z=17的正整數(shù)解的個數(shù)，也就是求用兩條豎線將排在一排的17個“1”分成三組的方法數(shù)，最終將問題轉化歸結為：求由17個“1”形成的16個“空”（不包括首尾）中選出2個的組合數(shù)

24、。答案應為種。 分析2：先分別放入1號、2號、3號盒子中1個、2個、3個球，則問題轉化為：求剩余的14個球任意放入3個盒子中的放法。按各個盒中放球的個數(shù)分類可求得：共有不同放法（種）。 5.5轉化思想 5.5.1從數(shù)量、形式上進行轉化［8］ 文獻［10］給出了從3個方面介紹了排列組合中“轉化思想”的應用。 例5.5.1 ①教育局組織12人的考察團，名額分給9所學校，每校至少1個名額，共有多少種方案 ？ 解析：12個名額是相同的元素，分給 9個不同的對象，每個對象至少有一個元素，有C118=165種方法。 注： 這是隔板法的老題，同學們一般都答對，而新高考以考察能力為重點，同

25、樣的知識點， 可以用不同形式來考察。 請看下例。 ②　教育局組織30人的考察團，名額分給9所學校，每校至少3個名額， 共有多少種方案？ 解析： 直接做比較困難，且本題不屬于我們常記的題型， 但可以轉化為我們常見的題型， 如下： 方案的同否只與名額的個數(shù)有關，因此每個學校先給兩個名額，并不影響總的方法數(shù)，由此本題可轉化為 12個名額分給 9 所學校， 每校至少1個名額。 答案有C118=165 種方法。 注： 我們稱這種轉化為“減量法”。 ③　教育局組織3人的考察團， 名額分給9所學校， 共有多少種方案 ？ 解析：3個名額分給 9 所學校，顯然有學校分不到，若一一列舉，太煩瑣。怎么辦

26、？(可以分三類： C91+A92+C93) 我們發(fā)現(xiàn)若額外的每個學校給一個名額,方法數(shù)不變，(設3個名額分給9所學校共有x 種案，根據(jù)分步原理：額外的每個學校給一個名額，再將3個名額分給9所學校。共有 1x = x 種方法。如此本題轉化為上述題型，有 種方法。 注：我們稱這種轉化為“增量法”。 5.5.2從觀念理解上進行轉化 例5.5.2［9］ 求 x + y + z + m = 24 共有多少組正整數(shù)解？ 解析：此題分類不易解決。若用窮舉法，未知數(shù)太多，不宜入手。若尋找解多元方程的思想，更不可取。不妨轉化一下觀念：因為求的是正整數(shù)解，可看作 24個同色小球放入 4個相同盒子，每

27、個盒子至少一球的方法數(shù)。 即 種方法。 5.5.3從綜合題的辨析中進行轉化 例5.5.3 把體育組 9個相同的足球放入編號為 1、2、3 的三個箱子里，要求每個箱子放球的個數(shù)不少于其編號數(shù)，則不同的方法有多少種 ？ 解析：設 x + y + z =9，且 x ≥1， y ≥2， z≥3， x、y、z ∈N*。 令 y′= y – 1， z′= z – 2，則本題轉化為x′+ y′+ z′= 6 共有多少正整數(shù)解？易知C52=10 種。實際上，我們可以解釋為先放入2號箱 1 球，放入 3 號 箱 2 球共 1 種放法（因為是相同的足球) 為第一步， 再將剩下的6 球放入三個箱子， 每

28、箱至少一球為第二步，根據(jù)分步原理，得共種方法。 數(shù)學思想的滲透是在具體教學問題的分析和教學過程中實現(xiàn)的。堅持在課堂教學中滲透數(shù)學思想是提高課堂教學效果，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的一種非常有效的作法。［10］ 6．排列組合的巧妙解法 排列組合應用題應用廣泛，題型多變，條件隱晦，思維抽象，得數(shù)頗大，不易驗證，因而在解這類問題時，要做到：排列組合分清，加、乘辨明，避免重、漏。在教學過程中非常有必要把書本知識進行活化，在課堂上運用數(shù)學思維的滲透引導學生通過觀察、比較、聯(lián)想、分析、綜合、抽象、概括等思維過程去理解知識、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結方法?？偟膩碚f，可以概括為［11］“八字方針”，即“加、減、乘、除

29、、捆、插、隔、化”。 文獻［11］給出了在解排列組合問題的思想過程中提煉的思想方法，簡稱“八字方針”。 6.1加 “加”就是分類計數(shù)原理在解題中的運用。完成一件事，有n類方法，在第一類方法中有種不同的方法，在第二類方法中有類不同的方法，，在第n類方法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。［12］ 6.2減 “減”是分類計數(shù)原理中逆方向解題中的運用。完成一件事，當正面解決分類較困難，而不完成這件事的情況卻容易分類時，則只需在完成這件事與否的方法總數(shù)中，減去不完成這件事的方法總數(shù)即可。 6.3乘 “乘”就是 分步計數(shù)原理中在解題的運用。完成一件事，需要分成個步驟，這個步

30、驟是連續(xù)的，只有完成每一步事情才算完成，即是說步與步之間存在著“相互串聯(lián)”的物理意義。 6.4除 “除”是針對問題中具有“對稱”關系而采用的一種方法。如果完成一件事中存在著一些特殊的元素，將這些元素相互對換以后，并不會影響完成這件事的方法總數(shù)，我們就稱這些元素具有“對稱”關系。 例6.4　10個人坐成一排，其中甲在乙的左邊，甲乙不一定相鄰的坐法共有多少種？ 分析：問題中的甲乙是兩個特殊元素，把題中的條件“甲在乙的左邊”對換成“乙在甲的左邊”，其方法總數(shù)是一樣的，所以甲與乙具有“對稱”關系?！凹自谝业淖筮叀焙汀耙以诩椎淖筮叀钡淖?，應各占坐法總數(shù)的一半。 解：10個人坐成一排的坐法總數(shù)

31、有種，因此甲在乙的左邊的坐法總數(shù)為2。 例6.4的拓展 ：上述問題可以拓展為更一般的“定序”問題。將n個不同的元素排成一列，其中在的左邊，在的左邊，……，在的左邊（不一定相鄰），總共有種排法。 另外 ，在平均分組問題中，由于各組內的元素個數(shù)相同 ，所以組內的元素進行整體對換后分組總數(shù)不受影響，即組與組是“對稱”的。因而 ，平均分組問題同樣可運用“除”法解決。 6.5捆 “捆”是對元素進行整體處理的形象化描述。我們只要把必須相鄰的元素“捆”成一個整體，就能保證這些元素相鄰而不散亂。 例6.5 把 4 封信投入三個信箱的兩個中 ，有多少種不同投法 ？ 分析：4 封信的投法分為兩類，第

32、一類是一個信箱 3 封，一個信箱 1 封；第二類是兩個信箱各 2 封?？紤]第一類的方法種數(shù)時，為了保證 3 封信同一個信箱,需要將其中的 3 封信“捆”一個單元素處理；同理 ，在考慮第二類方法總數(shù)時 ，需要將其中的每個 2 封信各“捆”成一個單元素處理。 解　當一個信箱 3 封 ，一個信箱 1 封時，有種投法；當兩個信箱各投 2 封 時 ，先將 4 封“捆”成兩堆(平均分組) ，有 種 ，再投入三個信箱有種 ，此類中共有種方法。因此，4 封信投入三個信箱中的其中兩個，共有+=42種方法。 點擊“折射”：特殊元素被“捆”之后 ,其整體處理的方式可折射成多個方向，既可作為單元素排列，也可作為

33、單元素組合，還可作為單元素平移等等。例如：是等差數(shù)列，從，，，，中任取 3 個不同的數(shù)，使這三個數(shù)仍成等差數(shù)列 ，則這樣不同的等差數(shù)列最多有(18 + 16 + 14 + …+ 2) 2 = 180 個。究其方法 ，就是將元素“捆”后平移。 上例的拓展：將n個蘋果分成任意的3堆，分法數(shù)共有多少？如果任意兩堆蘋果的和大于第三堆，那么分法數(shù)又有多少？ 分析：①要分成3堆，必須每一堆都有1個（包含1個）以上的蘋果，共有Cn-12 種。 ②此問題留在以后教學中解決。 6.6插 “插”是保證某些特殊元素互不相鄰的常用手段，如例4中關燈的方法。在具體操作時，是先將普通元素排列，然后將這些特

34、殊元素“插入”普通元素的間隙之間，從而保證它們互不相鄰的要求。 6.7隔 “隔”的思想方法適用于整數(shù)分解型排列與組合問題。其思路是先把整數(shù)分解成單位數(shù)1的和，然后把這個和式分隔成若干段，使每種分隔都和完成事情的一種方法相對應。 例6.7.1　方程++++=99（Xi∈，i=1,2,3,4，5），有多少組解？ 分析：99=1+1+1+……+1，完成事情的要求是把99個1分配到5個位置上，完成事情的每種方法都對應著右邊和式分隔成5段得一種方法，分割點顯然就是98個“+”號。 解：由99=1+1+1+……+1知，右邊的和式分隔成5段有種方法，也就是得知方程有組解。 例6．7．2　某學校從

35、高中三個年級中選 20人組成校田徑隊 ，要求高一至少 4 人，高二至少 5 人，高三至少 6 人 ，共有幾種選法 ? 解　先確定高一選 3 人 ，高二選 4 人，高三選 5 人，再在三個年級中選 8 人。對這 8 人的選擇條件應該是高一、高二、高三都至少選1 人，具備“隔”法前提。所以田徑隊員的選法共C73=35 種。 點擊“難點”：從“隔”法中不難發(fā)現(xiàn) ，采用“隔”需要具有一定的前提：分隔段至少要有一個單位數(shù) 1。否則 ，將失去方法與分隔段之間的一一對應“隔 ”，就無法保證結果的正確性。因此 ，構建“隔”的前提是“隔”法中的難點。 6.8化 即是化歸思想?！盎本褪峭ㄟ^一一對應的關系

36、 ，尋求由此及彼、由近及遠、由易及難的解題途徑。 例 6.8 　若凸八邊形的對角線兩兩相交且除頂點外再無三線共點，試問這些交點有多少個在其內部 ? 分析　凸八邊形共有條對角線 ，這些對角線共有 個交點，要從這 118個交點中找出有多少個在其內部 ，難度可想而知。但我們只要注意到內部的交點與以凸八邊形的頂點為頂點的四邊形成一一對應 ，問題變得十分簡單了。 解　以凸八邊形的頂點為頂點的四邊形共有個，即對角線的交點有70個在凸八邊形的內部。 7．實際應用中常見錯誤 在運用數(shù)學思想和“八字方針”解決排列組合問題時，往往由于輕視，覺得基本原理和基本公式都十分簡單，在解題是就容易出現(xiàn)錯誤，常見

37、的錯誤如下： 文獻［13］歸納了再解答排列組合問題時學生常常犯的一些錯誤，一般都是對概念理解不夠深入，并給出了大量例子來指導，避免再次犯這種常見錯誤。 7.1錯誤理解分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理 例7.1　有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法有＿＿＿＿＿。［13］ 錯誤解法：++=60種。 解法的錯誤在于：把、、當作完成任務的方法，我們應該注意：方法與步驟的區(qū)別在于：方法可以完成任務的全部，而步驟僅僅解決任務的一部分，所以在這里、、是解決任務的步驟。 正確解答：=2520種。 7.2錯誤地選擇分析對象 例7.2　已知

38、10位同學參加三項田徑比賽，決出前三名（不允許并列名次）。有多少種情況？ 錯誤解答：第一名同學有9種選擇；第二名同學有8種選擇；以此類推…… 分析：第一名同學不僅僅有9種選擇，還有可能沒有名次，如果進行分類討論，由于每位同學都可能有名次，也可能沒名次，所以情況非常復雜。 解：以名次為分析對象 第一項比賽：第一名有10種可能，第二名有9種可能，第三名有8種可能； 第二項比賽：第一名有10種可能，第二名有9種可能，第三名有8種可能； 第三項比賽：第一名有10種可能，第二名有9種可能，第三名有8種可能。 故有：種。 7.3重復計數(shù) 這一點相比于其他的常見錯誤相對簡單一些，如果我們學

39、會采用合理的方法進行解題，可以做到減少此類問題發(fā)生。 7.4忽略特殊情況 7.5無法有效轉換 例7．5．1　圓周上有個等分點（，），以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為＿＿＿＿＿。 在解此題時許多人覺得無法動筆，我們對直角三角形可以理解，一邊為直徑，故所求直角三角形有即個。 例7.5.2 有甲、乙、丙、丁等10個人一起吃飯，他們選擇了一張圓木桌，其中甲、乙不能相鄰，甲、丙不能相鄰，乙、丙不能相鄰，請問他們的坐法共有多少種？ 分析：這是一個圓排列問題，與直線排列有差別，在此問題中我們將甲、乙、丙三人看作特殊元素，考慮先將其他7人先安排好，7人的排列方法有種，再將他們三人排

40、列有3！種方法。所以此題的解決方法共有種。 再將此問題拓展為“有個人圍著圓桌而坐，其中有個人互不相鄰的的坐法數(shù)，其中 ．” 改過來 分析：此題中互不相鄰的個人并不是指定的，且。 首先我們從中選擇個人的方法有種，然后將這個人除開，將剩下的個人圍著圓桌排列，共有種，再將選出的這r個人進行排列，共有r！種方法。故按照分步原理，他們的坐法總共有（種）。 為避免一些常見錯誤的發(fā)生，我們一方面要注意日常學習過程中解題錯誤的更正和總結，另一方面在學習中應注意基本概念的學習和理解。教學過程中處理好抓關鍵，抓路子，抓分析這幾個環(huán)節(jié)，可以分散難點，使得學生易于學習排列組合。 通過上述的調

41、查研究方法，相信能夠給老師和學生在教學過程中找到適當?shù)倪m合自己的方法將排列組合內容教好、學好。 8．結論 通過該論文的研究我了解到排列組合問題在日常生活中應用的廣泛，排列組合問題當中滲透的各類數(shù)學思想，其中排列組合中的“八字方針”和巧妙解法讓我深深領悟到很多數(shù)學問題都可以轉化為不同的方式去解決，但是由于自身理論水平和實踐的限制條件，此文章還存在很多不足。這些問題表現(xiàn)在：由于本人的理論和實踐水平有限，研究能力不夠，排列組合教學的研究還不成熟；在小學階段的教學中已出現(xiàn)排列組合知識，它是高中繼續(xù)深入學習排列組合知識的基礎。如何更好地將已有知識遷移到高中的教學中，還需繼續(xù)研究。

42、 參考文獻： 1許娟.高中排列組合的教學研究與實踐［D］.西北師范大學. 2006：7-12. 2姚金喜．淺談排列、組合和概率的教與學［J］．高中教學教與學，2004，5:3-4． 3王仲春等.數(shù)學思維與數(shù)學方法論[J］.高等教育出版社，1989，(l). 4鄭毓信.數(shù)學方法論［M］.桂林:廣西教育出版社，1991. 5侯鳳云.排列組合教學中數(shù)學思想的滲透［N］.張家口師專學報(自然科學版),1997,1:49-51. 6蔡上鶴,饒漢昌,賈云山．高級數(shù)學課本（代數(shù)）［M］．北京：人民教育出版

43、社，1995． 7米山國藏． 數(shù)學的精神,思想和方法［M］．成都：四川教育出版社，1986． 8李顯權 ．與外周界中點三角形有關的不等式［J］．中等數(shù)學,2001,10：38. 9李顯權,辛榮靜．涉及外周界中點三角形的不等式［J］．河北理科教學研究,2003,3：54. 10李顯權.例談排列組合中的轉化思想［J］.河北理科教學研究,2005,3:61-62. 11陳繼武.加、減、乘、除、捆、插、隔、化—解排列組合的“八字方針”［J］.數(shù)學通訊，2005,23:19-22. 12人民教育出版社中學數(shù)學室.數(shù)學第二冊(下A)教師用書［M］．北京：人民教育出版社 ,2001． 13郭松.排列組合中的常見錯誤.數(shù)學大世界高中版［J］，2005，6:24-25. 致謝 本論文寫作是在唐善剛老師的悉心指導和嚴格要求下完成的，在論文的寫作過程中老師和師兄給我提出了很多寶貴的意見，論文的規(guī)范性使我對論文的寫作有了更為清晰的認識。論文的寫作對我今后的學習和工作都有著重要的作用，在這大四即將結束之際通過論文的寫作不僅使我學會了怎樣寫作數(shù)學論文，同時也使我學會了如何同指導師之間進行意見交流，學會了如何同指導同老師一起合作完成論文的寫作。在此我謹以誠摯之心表示我對老師的由衷感謝之情，謝謝唐老師！ 17