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2015-2016學(xué)年河南省漯河市召陵八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（每小題3分，共24分） 1．下面所給的交通標(biāo)志是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．將一副三角板按圖中方式疊放，則∠m的度數(shù)為（　?。? A．30 B．45 C．60 D．75 3．下列說法正確的是（　?。? A．全等三角形的三條邊相等，三個(gè)角也相等 B．判定兩個(gè)三角形全等的條件中至少有一個(gè)是等邊 C．面積相等的兩個(gè)圖形是全等形 D．全等三角形的面積和周長都相等 4．某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，則它的周長為（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 5．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900，則從這個(gè)多邊形的其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引的對角線的條數(shù)為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7 6．如圖，△ABC中，∠ACB=90，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的E處．若∠A=23，則∠BDC等于（　?。? A．46 B．60 C．68 D．77 7．如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB，垂足為E．若PE=3，則兩平行線AD與BC間的距離為（　?。? A．3 B．5 C．6 D．不能確定 8．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且BC=BD，AD=DE= BE，那么∠A的度數(shù)為（　?。? A．36 B．45 C．60 D．75 　 二、填空題（本大題有10小題，每小題3分，共30分） 9．等腰三角形中，如果一個(gè)外角為130，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為　?。? 10．如果點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（﹣3，﹣2），那么點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為　?。? 11．一個(gè)三角形的周長為48cm，最大邊與最小邊的差為14cm，另一邊與最小邊之和為25cm，那么這個(gè)三角形最小邊的長為　?。? 12．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)50得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，則∠BAC=　?。? 13．如圖，已知AC=FE，BC=DE，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是　?。? 14．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　?。? 15．如圖，在△ABC中，E是BC上一點(diǎn)，EC=2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，若S△ABC=15，則S△ADF﹣S△BEF=　?。? 16．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖： ①分別以點(diǎn)A、C為圓心，以大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)； ②作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD， 若∠C=28，AB=BD，則∠B的度數(shù)為　?。? 17．如圖，△ABC中，∠BAC=90，∠B=30，AD⊥BC于D，CE是∠ACB的平分線，且交AD于P點(diǎn)．如果AP=2，則AB的長為　?。? 18．如圖，P為∠AOB的平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA于點(diǎn)C，D為OA上一點(diǎn)，E為OB上一點(diǎn)，∠ODP+∠OEP=180，當(dāng)OC=6.5cm時(shí)，OD+OE=　?。? 　 三、（本大題共7小題，滿分66分） 19．如圖，已知△ABC，請你在這個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)P，使PA=PB，且點(diǎn)P到邊AB、BC的距離也相等（寫出作法，保留作圖痕跡）． 20．如圖，完成下列各題： （1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對稱△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)； （2）寫出△ABC的面積（不要求過程）． 21．如圖，在△ABC中，CD、CE分別是△ABC的高和角平分線． （1）若∠A=30，∠B=50，求∠ECD的度數(shù)； （2）試用含有∠A、∠B的代數(shù)式表示∠ECD（不必證明） 22．如圖，已知AB=CD，∠A=∠D，求證：△ABC≌△DCB． 23．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，連結(jié)BD． （1）求證：BD=EC； （2）BD與CE有何位置關(guān)系？請證你的猜想． 24．如圖，已知△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)F． （1）求證：△ABE≌△CAD； （2）若BP⊥AD于點(diǎn)P，PF=9，EF=3，求AD的長． 25．如圖，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE=AE，AD是∠BAC的角平分線，和BE相交于點(diǎn)P，和BC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ． （1）求證：△BCE≌△APE； （2）求證：BD=AP； （3）判斷△BDQ的形狀，并證明你的結(jié)論． 　  2015-2016學(xué)年河南省漯河市召陵八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共24分） 1．下面所給的交通標(biāo)志是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故正確； B、不是軸對稱圖形，故錯(cuò)誤； C、不是軸對稱圖形，故錯(cuò)誤； D、不是軸對稱圖形，故錯(cuò)誤． 故選A． 　 2．將一副三角板按圖中方式疊放，則∠m的度數(shù)為（　?。? A．30 B．45 C．60 D．75 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)三角板可知：∠CBA=60，∠BCD=45，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180，可以求出∠m的度數(shù)． 【解答】解：∵∠CBA=60，∠BCD=45， ∴∠m=180﹣60﹣45=75， 故選D． 　 3．下列說法正確的是（　?。? A．全等三角形的三條邊相等，三個(gè)角也相等 B．判定兩個(gè)三角形全等的條件中至少有一個(gè)是等邊 C．面積相等的兩個(gè)圖形是全等形 D．全等三角形的面積和周長都相等 【考點(diǎn)】全等圖形． 【分析】根據(jù)全等形的概念和性質(zhì)進(jìn)行解答，注意全等中的對應(yīng)不能忽略． 【解答】解：全等三角形的三條對應(yīng)邊相等，三個(gè)對應(yīng)角也相等，A不正確； 判定兩個(gè)三角形全等的條件中至少有一個(gè)是等邊，B正確； 面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等形，C不正確； 全等三角形的面積和周長都相等，D正確， 故選：B、D． 　 4．某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，則它的周長為（　?。? A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】題中沒有指明哪個(gè)是底哪個(gè)是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析，從而得到答案． 【解答】解：（1）當(dāng)3cm為腰時(shí)，因?yàn)?+3=6cm，不能構(gòu)成三角形，故舍去； （2）當(dāng)6cm為腰時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系，所以其周長=6+6+3=15cm． 故選C． 　 5．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900，則從這個(gè)多邊形的其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引的對角線的條數(shù)為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；多邊形的對角線． 【分析】根據(jù)題意和多邊形內(nèi)角和公式求出多邊形的邊數(shù)，根據(jù)多邊形的對角線的條數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可． 【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n， 則（n﹣2）180=900， 解得，n=7， 從七邊形的其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引的對角線的條數(shù)：7﹣3=4， 故選：A． 　 6．如圖，△ABC中，∠ACB=90，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的E處．若∠A=23，則∠BDC等于（　?。? A．46 B．60 C．68 D．77 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【分析】在△ABC中，先求得∠B=67，由翻折的性質(zhì)可知∠DEC=67，由∠A+∠ADE=∠DEC可求得∠ADE=44，然后根據(jù)∠BDC=求解即可． 【解答】解：∵∠A+∠B=90， ∴∠B=90﹣23=67． 由翻折的性質(zhì)可知：∠B=∠DEC=67，∠BDC=∠EDC． ∵∠A+∠ADE=∠DEC， ∴∠EDA=67﹣23=44． ∴∠BDC===68． 故選：C． 　 7．如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB，垂足為E．若PE=3，則兩平行線AD與BC間的距離為（　?。? A．3 B．5 C．6 D．不能確定 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行線之間的距離． 【分析】作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PF=PE=3，PG=PE=3，根據(jù)平行線間的距離的求法計(jì)算即可． 【解答】解：作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G， ∵AP是∠BAD的角平分線，PF⊥AD，PE⊥AB， ∴PF=PE=3， ∵BP是∠ABC的角平分線，PE⊥AB，PG⊥BC， ∴PG=PE=3， ∵AD∥BC， ∴兩平行線AD與BC間的距離為PF+PG=6， 故選：C． 　 8．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且BC=BD，AD=DE= BE，那么∠A的度數(shù)為（　?。? A．36 B．45 C．60 D．75 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)DE=BE，得到∠EBD=∠EDB=α，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠AED=∠EBD+∠EDB=2α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠AED=2α，于是得到∠BDC=∠A+∠ABD=3α，由于∠ABC=∠C=∠BDC=3α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論． 【解答】解：∵DE=BE， ∴∠EBD=∠EDB， 設(shè)∠EBD=∠EDB=α， ∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2α， ∵AD=DE， ∴∠A=∠AED=2α， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=3α， ∵BD=BC，AB=AB， ∴∠ABC=∠C=∠BDC=3α， ∴3α+3α+2α=180， ∴α=22.5， ∴∠A=45． 故選：B． 　 二、填空題（本大題有10小題，每小題3分，共30分） 9．等腰三角形中，如果一個(gè)外角為130，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為　50或80?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】等腰三角形的一個(gè)外角等于130，則等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50，但已知沒有明確此角是頂角還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分類討論． 【解答】解：∵一個(gè)外角為130， ∴三角形的一個(gè)內(nèi)角為50， 當(dāng)50為頂角時(shí)，其他兩角都為65、65， 當(dāng)50為底角時(shí)，其他兩角為50、80， 所以等腰三角形的頂角為50或80． 故答案為：50或80． 　 10．如果點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（﹣3，﹣2），那么點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為?。?，2）?。? 【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】分別利用關(guān)于x，y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)即可． 【解答】解：∵點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（﹣3，﹣2）， ∴P（﹣3，2）， ∴點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3，2）． 故答案為：（3，2）． 　 11．一個(gè)三角形的周長為48cm，最大邊與最小邊的差為14cm，另一邊與最小邊之和為25cm，那么這個(gè)三角形最小邊的長為　9cm　． 【考點(diǎn)】三元一次方程組的應(yīng)用；三角形三邊關(guān)系． 【分析】設(shè)三角形的最長邊為a，最小邊為b，另一邊為c，根據(jù)三角形的周長為48cm，得出a+b+c=48，再根據(jù)最大邊與最小邊的差為14cm，得出a﹣b=14， 最后根據(jù)另一邊與最小邊之和為25cm，得出c+b=25，然后組成方程組求解即可． 【解答】解：設(shè)三角形的最長邊為a，最小邊為b，另一邊為c，根據(jù)題意得： ， ②+③得：a+c=39④， 把④代入①得：b=9， 則這個(gè)三角形最小邊的長為9cm； 故答案為：9cm． 　 12．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)50得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，則∠BAC=　40?。? 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ACA′=50，∠A=∠A′，則根據(jù)AC⊥A′B′，利用互余可計(jì)算出∠A′=40，從而得到∠BAC的度數(shù)． 【解答】解：∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)50得到△A′CB′， ∴∠ACA′=50，∠A=∠A′， ∵AC⊥A′B′， ∴∠A′=90﹣50=40， ∴∠BAC=40． 故答案為40． 　 13．如圖，已知AC=FE，BC=DE，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是　∠C=∠E（答案不惟一，也可以是AB=FD或AD=FB）?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，BC=DE，具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添加∠C=∠E，利用SAS可證全等．（也可添加其它條件）． 【解答】解：增加一個(gè)條件：∠C=∠E， 顯然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可證三角形全等．（答案不唯一）． 故填：∠C=∠E． 　 14．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　15?。? 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】過D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=3，根據(jù)三角形的面積求出即可． 【解答】解：過D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90， ∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC， ∴AD=DE=3， ∴△BDC的面積是DEBC=103=15， 故答案為：15． 　 15．如圖，在△ABC中，E是BC上一點(diǎn)，EC=2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，若S△ABC=15，則S△ADF﹣S△BEF=　2.5?。? 【考點(diǎn)】三角形的面積． 【分析】根據(jù)題意先分別求出S△ABD，S△ABE，再根據(jù)S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE即可求出結(jié)果． 【解答】解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)， ∴AD=AC， ∵S△ABC=15， ∴S△ABD=S△ABC=15=7.5． ∵EC=2BE，S△ABC=15， ∴S△ABE=S△ABC=15=5， ∵S△ABD﹣S△ABE=（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）=S△ADF﹣S△BEF， 即S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=7.5﹣5=2.5． 故答案為：2.5． 　 16．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖： ①分別以點(diǎn)A、C為圓心，以大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)； ②作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD， 若∠C=28，AB=BD，則∠B的度數(shù)為　68?。? 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=DC，再利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案． 【解答】解：由題意可得：MN是AC的垂直平分線， 則AD=DC，故∠C=∠DAC， ∵∠C=28， ∴∠DAC=28， ∴∠ADB=56， ∵AB=BD， ∴∠BAD=∠BDA=56， ∴∠B=180﹣56﹣56=68． 故答案為：68． 　 17．如圖，△ABC中，∠BAC=90，∠B=30，AD⊥BC于D，CE是∠ACB的平分線，且交AD于P點(diǎn)．如果AP=2，則AB的長為　6?。? 【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；角平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】易得△AEP的等邊三角形，則AE=AP=2，在直角△AEC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)來求EC的長度，然后在等腰△BEC中得到BE的長度，則易求AB的長度． 【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90，∠B=30， ∴∠ACB=60． 又∵CE是∠ACB的平分線， ∴∠ECB=30， ∴∠AEC=∠B+∠ECB=60，∠B=∠ECB ∴∠AEP=60，BE=EC． 又AD⊥BC， ∴∠BAD=∠EAP=60， 則∠AEP=∠EAP=60， ∴△AEP的等邊三角形，則AE=AP=2， 在直角△AEC中，∠ACE=30，則EC=2AE=4， ∴BE=EC=4， ∴AB=BE+AE=6． 故答案是：6． 　 18．如圖，P為∠AOB的平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA于點(diǎn)C，D為OA上一點(diǎn)，E為OB上一點(diǎn)，∠ODP+∠OEP=180，當(dāng)OC=6.5cm時(shí)，OD+OE=　13cm?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)． 【分析】作PF⊥OB于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)就可以得出PC=PF，根據(jù)HL可以判斷Rt△PCO≌Rt△PFO，從而可得OC=OF，然后根據(jù)AAS就可以得出△CDP≌△EFP，從而得到CD=EF，進(jìn)而得出DO+E0=13cm． 【解答】證明：過P作PF⊥OB于F， ∴∠PFO=90， ∵P為∠AOB的平分線OP上一點(diǎn)，PC⊥OA， ∴PC=PF，∠PCA=90， ∴∠PCA=∠PFO， 在Rt△PCO和RtPFO中， ， ∴Rt△PCO≌Rt△PFO（HL）， ∴OC=OF． ∵∠ODP+∠OEP=180，且∠OEP+∠PEB=180， ∴∠ODP=∠FEP， 在△CDP和△EFP中， ， ∴△CDP≌△EFP（AAS）， ∴CD=EF， ∵DO+EO=DC+CO+EO， ∴DO+EO=EF+EO+CO， ∴DO+EO=FO+CO， ∴DO+EO=2CO， ∵CO=6.5cm， ∴DO+E0=13cm． 故答案為：13cm． 　 三、（本大題共7小題，滿分66分） 19．如圖，已知△ABC，請你在這個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)P，使PA=PB，且點(diǎn)P到邊AB、BC的距離也相等（寫出作法，保留作圖痕跡）． 【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】作AB的垂直平分線和∠ABC的角平分線，兩線相交于點(diǎn)P，則根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理有PA=PB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到點(diǎn)P到邊AB、BC的距離相等，所以點(diǎn)P為滿足條件的點(diǎn)． 【解答】解：如圖， 　 20．如圖，完成下列各題： （1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對稱△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)； （2）寫出△ABC的面積（不要求過程）． 【考點(diǎn)】作圖﹣軸對稱變換． 【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，然后順次連接，并寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)； （2）用三角形ABC所在的矩形的面積減去三個(gè)小三角形的面積即可求解． 【解答】解：（1）所作圖形如圖所示： A1（﹣1，﹣1）、B1（﹣2，2）、C1（2，3）； （3）S△ABC=44﹣13﹣14﹣34 =6.5． 　 21．如圖，在△ABC中，CD、CE分別是△ABC的高和角平分線． （1）若∠A=30，∠B=50，求∠ECD的度數(shù)； （2）試用含有∠A、∠B的代數(shù)式表示∠ECD（不必證明） 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)． 【分析】（1）利用高的定義和互余得到∠BCD=90﹣∠B，再根據(jù)角平分線定義得到∠BCE=∠ACB，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB=180﹣∠A﹣∠B，于是得到∠BCE=90﹣（∠A+∠B），然后計(jì)算∠BCE﹣∠BCD得到∠ECD=（∠B﹣∠A），再把∠A=30，∠B=50代入計(jì)算即可； （2）直接由（1）得到結(jié)論． 【解答】解：（1）∵CD為高， ∴∠CDB=90， ∴∠BCD=90﹣∠B， ∵CE為角平分線， ∴∠BCE=∠ACB， 而∠ACB=180﹣∠A﹣∠B， ∴∠BCE==90﹣（∠A+∠B）， ∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD =90﹣（∠A+∠B）﹣（90﹣∠B） =（∠B﹣∠A）， 當(dāng)∠A=30，∠B=50時(shí)，∠ECD=（50﹣30）=10； （2）由（1）得∠ECD=（∠B﹣∠A）． 　 22．如圖，已知AB=CD，∠A=∠D，求證：△ABC≌△DCB． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【分析】先證明△ABE≌△DCE可得出AE=DE，BE=CE，根據(jù)等式的性質(zhì)可得AE+CE=DE+BE 即BD=CA，再加上公共邊BC=BC，可證明△ABC≌△DCB． 【解答】證明：∵在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE（AAS）， ∴AE=ED，BE=CE， ∴AC=DB， 在△ABC和△DCB中，， ∴△ABC≌△DCB（SSS）． 　 23．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，連結(jié)BD． （1）求證：BD=EC； （2）BD與CE有何位置關(guān)系？請證你的猜想． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）求出∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS推出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BDA=∠E，根據(jù)∠E+∠ADE=90求出∠BDA+∠ADE=90即可． 【解答】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=EC； （2）BD⊥CE， 證明：∵△ABD≌△ACE， ∴∠BDA=∠E， 又∵∠E+∠ADE=90， ∴∠BDA+∠ADE=90，即∠BDE=90， ∴BD⊥DE． 　 24．如圖，已知△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)F． （1）求證：△ABE≌△CAD； （2）若BP⊥AD于點(diǎn)P，PF=9，EF=3，求AD的長． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB=CA，每一個(gè)角都是60可得，∠BAE=∠ACD=60，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等． （2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BFP=60，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠FBP=30，然后根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BF=2FP，再根據(jù)AD=BE=BF+FE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解． 【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAE=∠ACD， 又∵AE=CD， 在△ABE與△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）． （2）解：∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD，AD=BE， 又∵∠BFP=∠BAD+∠ABE， ∴∠BFP=∠BAD+∠CAD， 又∵∠BAD+∠CAD=60， ∴∠BFP=60， 又∵BP⊥AD， ∴∠BPF=90， ∴∠FBP=30， ∴BF=2PF=18， ∴BE=18+3=21， ∴AD=21． 　 25．如圖，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE=AE，AD是∠BAC的角平分線，和BE相交于點(diǎn)P，和BC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ． （1）求證：△BCE≌△APE； （2）求證：BD=AP； （3）判斷△BDQ的形狀，并證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】（1）求出∠AEP=∠BEC=90，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EBC=∠EAP，根據(jù)ASA推出△BCE≌△APE即可； （2）根據(jù)全等得出BC=AP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=BC，即可求出答案； （3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AQ=BQ，求出∠BAE=45，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD=∠ABQ=22.5，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠BQD=45，即可得出答案． 【解答】證明：（1）如圖： ∵AD是∠BAC的角平分線，AB=AC， ∴∠BDP=90，BD=CD， ∵BE⊥AC， ∴∠AEP=∠BEC=90， ∵在△BPD和△APE中，∠AEP=∠BDP=90，∠BPD=∠APE，∠PAE+∠PEA+∠APE=180，∠BDP+∠BPD+∠EBC=180， ∴∠EBC=∠EAP， 在△BCE和△APE中， ， ∴△BCE≌△APE； （2）∵△BCE≌△APE， ∴BC=AP， ∵BD=CD， ∴BD=BC， ∴BD=AP； （3）△BDQ是等腰直角三角形， 證明：∵BE=AE，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)， ∴EF是線段AB的垂直平分線， ∴AQ=BQ， ∴∠BAQ=∠ABQ， ∵BE=AE，∠BEA=90， ∴∠BAE=45， ∵AD是∠BAC的角平分線， ∴∠BAD=∠CAD=22.5， ∵∠BAD=∠ABQ， ∴∠BAD=∠ABQ=22.5， ∴∠BQD=22.52=45， ∵∠ADB=90， ∴△BDQ是等腰直角三角形． 　  2017年3月2日 第28頁（共28頁）