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數(shù)學(xué)建模 足球比賽 論文

上傳人:燈火****19 文檔編號:28864417 上傳時間:2021-09-16 格式:DOC 頁數(shù):11 大?。?75.50KB
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1、 第 十 五 組 足球隊(duì)排名次的方法 摘 要 本文討論了依據(jù)我國12支足球隊(duì)在1988-1989年全國足球甲級隊(duì)聯(lián)賽中的成績,給他們進(jìn)行排列名次的問題。根據(jù)全國足球甲級隊(duì)聯(lián)賽的比賽規(guī)則,符合要求的排名方法是多種多樣的,然而都希望實(shí)現(xiàn)盡量公平、盡量精確的排名策略。我們針對排名的問題,建立了從簡單到復(fù)雜,從粗糙到較為精確的三個模型,分別用了平均積分法、圖論的相關(guān)知識、比分矩陣法以及層次分析法。 模型一:依次計算出各個隊(duì)的總積分,按照國家足球甲級隊(duì)聯(lián)賽的規(guī)則,可知:獲勝加3分,平局各得一分,失敗就得零分,同時統(tǒng)計每一個隊(duì)進(jìn)行的比賽場數(shù),對總積分

2、/比賽的場數(shù)進(jìn)行排序,所得結(jié)果就可以近似的作為各隊(duì)的排名。 模型二:根據(jù)比賽的數(shù)據(jù),建立了一個的數(shù)字矩陣,在合理的假設(shè)條件下,進(jìn)行分析,從而完善矩陣,用C++編程,輸入所得矩陣,求出哈密頓開路的路徑,再結(jié)合模型一的分析,對其排出名次。 模型三:用三分制計算對任意第i隊(duì)與第j隊(duì)(i不等于j)的得分比,其中=1,得到比分矩陣,求出比分矩陣的最大特征值,并求出相應(yīng)的特征向量。比較分向量的大小,即可求出排名。 模型四:用層次分析法,把平均積分、凈球數(shù)和獲勝場數(shù)與參賽場數(shù)的比值作為準(zhǔn)則層的影響因素,根據(jù)它們的比重關(guān)系,構(gòu)造正互反矩陣(逆稱矩陣),通過求最大特征值及其特征向量,從而求出排名。 四個

3、模型的運(yùn)行結(jié)果如下的表所示: 名次 模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 模型一 模型二 模型三 模型四 四個模型都能推廣到任意N個隊(duì)的情況,對于不同的模型,數(shù)據(jù)所要求具備的條件是不一樣的。 關(guān)鍵詞:足球 排名 積分 圖論 比分矩陣 層次分析 一、 問題描述 近幾十年以來,足球這一運(yùn)動項(xiàng)目在我國較為流

4、行,深受許多球迷的喜愛,越來越多的大型的足球比賽在國內(nèi)組織起來,其中全國足球聯(lián)賽就是一個比較正式,比賽要求較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊粋€比賽組織,公平、公正、公開的評分原則顯現(xiàn)的更為重要。題目中給出了1988-1989年全國足球甲級隊(duì)聯(lián)賽的比賽成績列表,根據(jù)列表的數(shù)據(jù),要求設(shè)計一個合理的方案對十二支隊(duì)進(jìn)行排列名次,并給出用該方案排名次的結(jié)果。建立數(shù)學(xué)模型,對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,對十二支分隊(duì)進(jìn)行排名,并要求能夠推廣到N個隊(duì),計算出對于N個隊(duì)的排名情況,對于所設(shè)計出來的數(shù)學(xué)模型說明所要求數(shù)據(jù)具備的條件有哪些。 設(shè)計方案的方法是多種多樣的,可以運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)、圖論、層次分析等等,然而由于能力有限或者題目數(shù)據(jù)的限制,我們僅

5、用其中較為淺顯的理論,進(jìn)行了建立模型。 二、 合理的假設(shè) 1、 參賽各隊(duì)都是按照自己的真實(shí)水平發(fā)揮的,且在短時間內(nèi),真實(shí)水平是不發(fā)生變化的,比賽結(jié)果沒有人為或其它非正常因素的影響。 2、 每場比賽的結(jié)果對排名的估計的重要程度是一樣的,具有相同的可信度。 3、 每一場比賽都是由比賽規(guī)則決定的,沒有棄權(quán)的現(xiàn)象。 三、 模型建立 模型一:平均積分法 1、 合理假設(shè):假設(shè)贏一場比賽得3分,平局得1分,輸一場比賽不得分。這是根據(jù)全國足球聯(lián)賽的規(guī)則中查得的數(shù)據(jù)。 2、 符號說明:——第i支隊(duì)總的比賽場數(shù); ——第i支隊(duì)獲勝的比賽場數(shù); ——第i支隊(duì)平局的比賽場數(shù); ——第i支隊(duì)被打敗

6、的比賽場數(shù); ——第i支隊(duì)總積分; ——第i支隊(duì)的平均積分; 3、 由假設(shè)依次計算出每一隊(duì)的總積分和平均積分: 目標(biāo)函數(shù): 約束條件: 模型二:圖論 1、 建立了一個的數(shù)字矩陣,打敗時,記標(biāo)記;兩者平局或者兩者之間沒有比賽時不做任何標(biāo)記;輸給時,標(biāo)記; 2、 根據(jù)所得的的矩陣,統(tǒng)計出每一行為1的總數(shù),即每一隊(duì)打敗的對手?jǐn)?shù),記作一個向量; 3、 如果向量中有相同的元素,如,則從1到12(即N)分別求出被打敗的所有隊(duì)的的總和,并作為新向量中的值,得到新向量;如果還有相同元素,則根據(jù)抽簽的原則隨機(jī)的讓其中一方為1,另一方為0,最終得到0-1矩陣; 4、 根

7、據(jù)所得矩陣,在編寫好的C++程序中執(zhí)行,得到哈密頓開路的路徑; 5、 每一個哈密頓路徑都是一種排名結(jié)果,但它對矩陣的依賴性太強(qiáng),需要我們進(jìn)一步結(jié)合題目中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析最終得到排名結(jié)果。 模型三:比分矩陣法 1、 對模型一的平均積分法有其不可改變的不合理性:在計算比賽得分時沒有考慮對手的強(qiáng)弱。比如,強(qiáng)隊(duì)勝強(qiáng)隊(duì)得3分,強(qiáng)隊(duì)勝弱隊(duì)同樣得3分。所以采用得分比矩陣同樣是用三分制計算對任意第i隊(duì)與第j隊(duì)(i不等于j)的得分比,其中=1 2、 根據(jù)比分矩陣(其中為i隊(duì)的平均分與j隊(duì)的平均分的比值),求出比分矩陣的最大特征值,進(jìn)而得出相應(yīng)的特征向量。比較分向量的大小,即可求出排名。 模型四:層次

8、分析 在此模型中,我們采取層次分析法。在本題中,我們認(rèn)為影響參賽隊(duì)排名主要有一下三個因素:平均分,凈球數(shù),參賽隊(duì)贏的場數(shù)與該對比賽的場數(shù)之比。 1、我們根據(jù)層次分析法建立如下的層次關(guān)系: 排名 平均分 凈球數(shù) 贏的場數(shù)與比賽的場數(shù)之比 目標(biāo)層 準(zhǔn)則層 各因素,,,相對于目標(biāo)y(其中)的重要性。用下表數(shù)值表示 / 相等 較強(qiáng) 強(qiáng) 很強(qiáng) 絕對強(qiáng) 1 3 5 7 9 若介于上述兩者之間,則取2,4,6,8。 通過三個因素對排名的影響構(gòu)造矩陣C,其中C==,以上的數(shù)據(jù)我們可以寫出矩陣C,然后求出最大特征值和其對應(yīng)的特征向量。將特征向量

9、歸一化,就可以得到,,的值,我們就可以求出排名了。 四、 模型求解 模型一:平均積分法 1、計算結(jié)果如下表所示: 參賽隊(duì) 總積分 比賽的場數(shù) 平均分 T1 34 19 1.7895 T2 21 15 1.4000 T3 27 15 1.8000 T4 9 19 0.4737 T5 8 9 0.8889 T6 6 5 1.2000 T7 39 17 2.2941 T8 22 17 1.2941 T9 23 17 1.3529 T10 24 17 1.4118 T11 5 9 0.5556

10、 T12 10 9 1.1111 2、排名結(jié)果: ——————————— 3、模型推廣:對于任意的N隊(duì),通過比賽所得的數(shù)據(jù),我們都可以按照平均積分進(jìn)行排序,對于平均積分相同的情況下,可以考慮對凈勝球、總的進(jìn)球率等等進(jìn)行排名,如這些因素還是相同的話,只好隨機(jī)抽簽對這些水平相當(dāng)?shù)年?duì)進(jìn)行排序。 模型二:圖論 1、 ,得 2、 第二步: 得 3、 從上述1、2我們還是沒有辦法決定和、和的勝負(fù),由抽簽的原則,我們假設(shè)敗給了,敗給了,最終完善的矩陣: 4、 從題目中的數(shù)據(jù)以及由模型一可得:和隊(duì)實(shí)力最強(qiáng),而和的實(shí)力相對最弱。 5、 從程序的運(yùn)行結(jié)果中選

11、擇以和開頭的哈密頓開路路徑,結(jié)果如下表所示。表格一: 3 7 1 2 9 10 8 6 12 5 11 4 3 7 1 9 10 8 2 6 12 5 11 4 3 7 2 9 10 8 1 6 12 5 11 4 3 7 8 1 2 9 10 6 12 5 11 4 3 7 8 1 9 10 2 6 12 5 11 4 3 7 8 2 9 10 1 6 12 5 11 4 3 7 9 10 8 1 2 6 12 5 11 4

12、 3 7 10 1 2 9 8 6 12 5 11 4 3 7 10 1 9 8 2 6 12 5 11 4 3 7 10 2 9 8 1 6 12 5 11 4 3 7 10 8 1 2 9 6 12 5 11 4 表格二: 7 1 2 9 10 8 3 6 12 5 11 4 7 1 9 10 8 3 2 6 12 5 11 4 7 2 9 10 8 3 1 6 12 5 1

13、1 4 7 8 1 2 9 10 3 6 12 5 11 4 7 8 1 9 10 3 2 6 12 5 11 4 7 8 2 9 10 3 1 6 12 5 11 4 7 8 3 1 2 9 10 6 12 5 11 4 7 8 3 1 9 10 2 6 12 5 11 4 7 8 3 2 9 10 1 6 12 5 11 4 7 8 3 9 10 1 2 6 12 5 11 4 7 9 10 8 3 1 2

14、 6 12 5 11 4 7 10 1 2 9 8 3 6 12 5 11 4 7 10 1 9 8 3 2 6 12 5 11 4 7 10 2 9 8 3 1 6 12 5 11 4 7 10 3 1 2 9 8 6 12 5 11 4 7 10 3 1 9 8 2 6 12 5 11 4 7 10 3 2 9 8 1 6 12 5 11 4 6、對數(shù)據(jù)分析:(1

15、)、從以上兩個表格得出,、、、、一定為最 后五名; (2)、因?yàn)楹完?duì)實(shí)力最強(qiáng),所以我們參照表格一的結(jié)果,同時,之所以表格一中在之前,只是因?yàn)轭}目中的數(shù)據(jù)中,與比賽時,前者獲勝了,而綜合題目中的數(shù)據(jù)及模型一,后者的實(shí)力更強(qiáng)一些,所以后者為冠軍,前者為亞軍。 (3)、對、、、、進(jìn)行排名:結(jié)合向量對他們排名得———— 7、模型二最終排名: ——————————— 模型三:得分矩陣 1、 比分矩陣: 2、 我們用matlab軟件可以求出B的最大

16、特征值及其對應(yīng)的特征向量,可以得到矩陣B的最大特征值為12.0000,其對應(yīng)的特征向量為: 3、所以我們得出各參賽隊(duì)的排名結(jié)果為:——————————— 模型四:層次分析 1、我們根據(jù)題目可以得出各參賽隊(duì)的平均分,凈球數(shù),參賽隊(duì)贏的場數(shù)與該對比賽的場數(shù)之比。 參賽隊(duì) 平均分 凈勝球 贏的場數(shù)與該對比賽的場數(shù)之比 T1 1.7895 8 10/19 T2 1.4000 2 1/3 T3 1.8000 8 8/15 T4 0.4737 -20 1/19 T5 0.8889 -5 2/9 T6 1.2000 -4 2/5 T7 2

17、.2941 25 13/17 T8 1.2941 2 6/17 T9 1.3529 -6 7/17 T10 1.4118 -2 6/17 T11 0.5556 -7 1/9 T12 1.1111 -3 2/9 3、 我們可以寫出矩陣C: 4、 在matlab軟件中,可以求出C的最大特征值為= 3.0092,特征值對應(yīng)的特征向量為,將其歸一化得向量, 5、 我們看出平均分占的比重比較大,所以,當(dāng)我們給參賽隊(duì)進(jìn)行排名的時候,我們首先考慮平均分,當(dāng)平均分差不多的時候,我們再計較贏的場數(shù)與該對比賽的場數(shù)之比。因此,我們得出各參賽隊(duì)的排名為:——————

18、————— 五、 模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析 模型一:優(yōu)點(diǎn):計算簡單,操作方便 缺點(diǎn):有其不可改變的不合理性:在計算比賽得分時沒有考慮對手的強(qiáng)弱。比如,強(qiáng)隊(duì)勝強(qiáng)隊(duì)得3分,強(qiáng)隊(duì)勝弱隊(duì)同樣得3分,顯然有一定的不合理性。 模型二:優(yōu)點(diǎn):從運(yùn)行結(jié)果中,短時間內(nèi)可以分辨出每一隊(duì)大概的實(shí)力范圍,將他們分出層次來; 缺點(diǎn):有程序產(chǎn)生的哈密頓開路路徑比較多,還要一一的對他們分析,造成較大的時間復(fù)雜度,同時也會有很大的不合理性,因?yàn)楣茴D開路單單依賴是否有一場比賽使得一方打敗另一方,而忽略了整體數(shù)據(jù)對結(jié)果的影響。 模型三:優(yōu)點(diǎn):能夠比較綜合全面的比較各個分隊(duì)的實(shí)力水平; 模型

19、四:優(yōu)點(diǎn):考慮了多個因素對結(jié)果的影響; 缺點(diǎn):模型中存在人為的主觀因素 六、 模型檢驗(yàn) 我們采用計算機(jī)模擬的方法來進(jìn)行模型檢驗(yàn)。具體方法如下:設(shè)有n個隊(duì)參加比賽,采用隨機(jī)函數(shù)在[0,1]區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生n個數(shù),分別記為,表示這n個球隊(duì)的總體實(shí)力水平,將這n個數(shù)俺從大到小的順序排列即得到這n各隊(duì)的的排名。根據(jù)產(chǎn)生的n個數(shù)可產(chǎn)生一組比賽數(shù)據(jù),對任意的和,先用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生他們之間的比賽場數(shù)(取值為0,1,2,3中的一個),還有要注意比賽場數(shù)的選取要保證圖的連通性,即對任意都必須至少和其他球隊(duì)有一場比賽。然后,產(chǎn)生比賽數(shù)據(jù),不妨設(shè)強(qiáng)于,我們通過查閱資料得到一場比賽中的結(jié)果的概率經(jīng)驗(yàn)公式

20、: 以上三式概率分別記為、、。 根據(jù)以上概率算式以可將[0,1]區(qū)間按上述概率大小分別分成三段用來計算機(jī)隨機(jī)模擬比賽結(jié)果。最后我們來模擬沒遺產(chǎn)比賽的比分,設(shè)與的第q場比賽的比分為a:b,則 1) ,即隨機(jī)數(shù)X落在[0,]內(nèi)時 , 2) ,即隨機(jī)數(shù)X落在[,]內(nèi)時 , 3) 平局,即隨機(jī)數(shù)X落在[,1]內(nèi)時 模擬完成后,可以的出任意組的數(shù)據(jù),對數(shù)據(jù)進(jìn)行一些簡要的篩選即可選出一些粗?jǐn)?shù)據(jù)對所建立的模型進(jìn)行檢驗(yàn)、分析、評價。 記隨機(jī)產(chǎn)生的名次排序?yàn)?),通過模型產(chǎn)生的名次排序?yàn)?)。我們采取的檢驗(yàn)公式為 顯然E越小表明模型

21、越合理,為了消除隨機(jī)因素對模型檢驗(yàn)的帶來的影響,我們應(yīng)模擬足夠多的數(shù)據(jù)來進(jìn)行檢驗(yàn),且E區(qū)平均水平。 當(dāng)您n=12時,由于數(shù)據(jù)量很大,我們只取了5組數(shù)據(jù)進(jìn)行簡要的檢驗(yàn),檢驗(yàn)結(jié)果如下表。 模型 模型一 模型二 模型三 模型四 E的平均值 4.50 5.43 3.13 4.04 從表中可以看出,模型三E的平均值較小。對于模型的使用條件,我們需要進(jìn)一步考慮方差等。 七、 參考文獻(xiàn) [1] 馮杰 黃力偉 王勤 尹成義,數(shù)學(xué)建模原理與案例,北京:科學(xué)出版社,2007 [2] 王樹禾 數(shù)學(xué)模型選講,北京:科學(xué)出版社,2008 [3] 陳汝棟 于延榮 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模,北京:國防工業(yè)出版社,2006.1 [4] 陳理榮 崔景泉,數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論,北京:北京郵電大學(xué)出版社,1999.2 10

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