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42 不定積分的基本公式與運(yùn)算法 則、直接積分法,案例研究,1,案例4.2 列車的制動(dòng)點(diǎn)：,列車快進(jìn)站時(shí)必須制動(dòng)減,速．若列車制動(dòng)后的速度為,,（kg/min），問列,車應(yīng)該在離站臺(tái)?？奎c(diǎn)多遠(yuǎn)的地方開始制動(dòng)？,xx xx,2,分析 令,,得,,即 3 分鐘后列,車停下來(lái). 設(shè)列車從制動(dòng)點(diǎn)開始計(jì)算所運(yùn)行的路程為s，,則,,若我們能求出上述不定積分，則可得運(yùn)動(dòng)方程,,于是，將,,代入該方程，可求得制動(dòng)點(diǎn)的距離為,,因此，我們的重點(diǎn)是研究不定積分的計(jì)算問題.,xx xx,3,抽象歸納,,,不定積分的基本公式,,,類似地，可以推導(dǎo)出其他基本積分公式：,xx xx,4,,,,,,,xx xx,5,,,,,,,,,xx xx,6,問 下述公式右邊的對(duì)數(shù)中為什么要加絕對(duì)值？,,討論 當(dāng),,時(shí)，有,,當(dāng),,時(shí)，也有,,所以,,是,,的原函數(shù).,xx xx,7,,例1 求下列不定積分：,（1）,（2）,（3）,解 （1）,（2）,,（3）,,xx xx,8,,,不定積分的基本運(yùn)算法則,法則１ 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各個(gè)函數(shù),的不定積分的代數(shù)和，即,,法則2 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積,分符號(hào)外面，即,,xx xx,9,例2 求,解,,,,,問：最后的結(jié)果為什么只寫一個(gè)任意常數(shù)？,xx xx,10,,直接積分法,定義 直接用積分基本公式與運(yùn)算性質(zhì)求不定積,分，或者對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危òù鷶?shù)變,形與三角變形），再利用積分的基本公式與運(yùn)算法則求不,定積分的方法叫做直接積分法．,例3 求,,解,,,xx xx,11,例4 求,,解,,,,xx xx,12,例5 求,解 利用降冪公式化簡(jiǎn).,,,,xx xx,13,案例4.2的解 求積分，得,,依題意，當(dāng),,時(shí)，,,代入上式，得,,于是，,得,,將,,代入上式，得,,即列車在離站臺(tái)1.5公里處開始制動(dòng).,xx xx,14,例6 已知某種商品的最大需求量為A（即價(jià)格為0時(shí)的需求量），有關(guān)部門給出這種商品的需求量Q的變化,率模型為,（也稱邊際需求），其中p,表示商品的價(jià)格，求這種商品的需求函數(shù).,解,,,,xx xx,15,,將,,代入上式，得,,所以這種商品的,需求函數(shù)為,,,xx xx,16,小結(jié)：,1．不定積分的基本公式：10個(gè)公式，要熟記；,2．不定積分的基本運(yùn)算法則：,（1）,,（2）,,3．直接積分法。,xx xx,17,