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試卷類型：A 2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二） 數(shù) 學(xué)（文科） 2010．4 本試卷共4頁，21小題，滿分150分.考試用時120分鐘. 注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”. 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上. 3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效. 4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題組號對應(yīng)的信息點，再作答.漏涂、錯涂、多涂的，答案無效. 5．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回. 一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 設(shè)全集，集合，，則= 開始 輸入 輸出 結(jié)束 是 否 A. B. C. D. 2. 已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)i為實數(shù)，則實數(shù)的值為 A． B． C． D．或 3. 在長為3m的線段上任取一點, 則點與線段兩 端點、的距離都大于1m的概率是 A. B. C. D. 4. 如圖1的算法流程圖, 若, 則的值為 (注:框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“” 或“：=”) A. B. C. D. 圖1 5. 命題“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是 A．若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù) B．若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù) C．若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù) D．若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù) 6. 設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 A. B. C. D. 7. 若且, 則下列不等式成立的是 A. B. C. D. 8. 函數(shù)是 A. 最小正周期為的偶函數(shù) B. 最小正周期為的偶函數(shù) C. 最小正周期為的奇函數(shù) D. 最小正周期為的奇函數(shù) 9. 高m和m的兩根旗桿筆直地豎在水平地面上, 且相距m , 則地面上觀察兩旗桿頂端 仰角相等的點的軌跡為 A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線 10. 已知函數(shù),若且,則下列不等式中 正確的是 A. B. C. D. 二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分． （一）必做題（11～13題） 11．已知向量,滿足,=2, , 則與的夾角大小是 . 12. 已知雙曲線:的離心率, 且它的 一個頂點到相應(yīng)焦點的距離為, 則雙曲線的方程為 . 13.圖2是一個有層的六邊形點陣.它的中心是一個點,算作第一層, 第2層每邊有2個點,第3層每邊有3個點 ,…,第層每邊有個點, 則這個點陣的點數(shù)共有 個. 圖2 （二）選做題（14~ 15題，考生只能從中選做一題） 14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線的參數(shù)方程為(參數(shù)R), 圓的參數(shù)方程為(參數(shù)), 則直線被圓所截得的弦長為 . 15.(幾何證明選講選做題)如圖3, 半徑為5的圓的兩條弦 和相交于點, 為的中點, , 則弦的長度為 . 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟， 16. （本小題滿分12分） 已知. (1) 求的值; (2) 求的值. 17. （本小題滿分12分） 某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系，隨機抽取高二年級20名學(xué)生某次考試成績（滿分100分）如下表所示： 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 數(shù)學(xué)成績 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83 物理成績 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 86 若單科成績85分以上（含85分），則該科成績?yōu)閮?yōu)秀． （1）根據(jù)上表完成下面的22列聯(lián)表(單位:人)： 數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀 數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀 合 計 物理成績優(yōu)秀 物理成績不優(yōu)秀 合 計 20 （2）根據(jù)題（1）中表格的數(shù)據(jù)計算，有多大的把握，認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有 關(guān)系？ （3）若從這20個人中抽出1人來了解有關(guān)情況，求抽到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績至少有一門 不優(yōu)秀的概率. 參考數(shù)據(jù): ① 假設(shè)有兩個分類變量和,它們的值域分別為和,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱 合計 合計 為列聯(lián)表)為: 則隨機變量,其中為樣本容量； ②獨立檢驗隨機變量的臨界值參考表： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. （本小題滿分14分） 在長方體中, , 點是的中點,點是的中點. (1) 求證: 平面; (2) 過三點的平面把長方體截成 兩部分幾何體, 求所截成的兩部分幾何體的體積的比值. 19. （本小題滿分14分） 我國是水資源比較貧乏的國家之一,各地采用價格調(diào)控等手段以達(dá)到節(jié)約用水的目的. 某市用水收費標(biāo)準(zhǔn)是：水費基本費超額費定額損耗費,且有如下三條規(guī)定： ① 若每月用水量不超過最低限量立方米時，只付基本費9元和每戶每月定額損耗費元； ② 若每月用水量超過立方米時，除了付基本費和定額損耗費外，超過部分每立方米付元的超額費； ③ 每戶每月的定額損耗費不超過5元. (1) 求每戶每月水費（元）與月用水量（立方米）的函數(shù)關(guān)系； (2) 該市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的費用如下表所示： 月份 用水量（立方米） 水費（元） 一 4 17 二 5 23 三 2.5 11 試分析該家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求的值. 20. （本小題滿分14分） 已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合， 橢圓與拋物線在第一象限的交點為，.圓的圓心是拋物線上的動點, 圓與軸交于兩點，且. （1）求橢圓的方程； （2）證明:無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點. 21. （本小題滿分14分） 已知數(shù)列和滿足,且對任意N都有, . (1) 判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列, 并說明理由; (2) 證明: . 2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二） 數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如 果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)． 2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容 和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半； 如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分． 一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分． 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B C C B D A C 二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分， 滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題． 11． 12. 13. 14. 15. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16．（本小題滿分12分） (本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的正切等知識, 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法 和運算求解能力) (1) 解:∵ ∴ . …2分 ∴. …4分 (2)解法1:∵, ∴ …6分 . …8分 ∴ …10分 . …12分 解法2: ∵, ∴ …6分 . …8分 ∴ …10分 . …12分 17．（本小題滿分12分） (本小題主要考查獨立性檢驗的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用和概率等知識, 考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法， 以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應(yīng)用意識) （1）解：22列聯(lián)表為(單位:人): 數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀 數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀 合 計 物理成績優(yōu)秀 5 2 7 物理成績不優(yōu)秀 1 12 13 合 計 6 14 20 …4分 （2）解：提出假設(shè)：學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績之間沒有關(guān)系. 根據(jù)列聯(lián)表可以求得. …6分 當(dāng)成立時，. 所以我們有的把握認(rèn)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系. …8分 （3）解：由(1)可知數(shù)學(xué)成績與物理成績都優(yōu)秀的學(xué)生的人數(shù)為5人， 則數(shù)學(xué)成績與物理成績至少有一門不優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為15人. …10分 故從20名學(xué)生中抽出1名,抽到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績至少有一門不優(yōu)秀的概率為. …12分 18. （本小題滿分14分） (本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法， 以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力) （1）證法1：設(shè)點為的中點，連接. ∵ 點是的中點, ∴ . ∵ 平面,平面, ∴ 平面. …2分 ∵ 點是的中點, ∴ . ∵ 平面,平面, ∴ 平面. …4分 ∵ ,平面,平面, ∴ 平面平面. ∵ 平面, ∴平面. …6分 證法2: 連接并延長與的延長線交于點, 連接, ∵ 點是的中點, ∴ . ∵ , , ∴ RtRt. …2分 ∴ . ∵ 點是的中點, ∴ . …4分 ∵ 平面,平面, ∴ 平面. …6分 (2) 解: 取的中點, 連接,, ∵ 點是的中點, ∴ . ∵ , ∴ . ∴ 過三點的平面把長方體截成兩部分幾何體, 其中一部分幾何體為直三棱柱, 另一部分幾何體為直四棱柱. …8分 ∴ , ∴ 直三棱柱的體積, …10分 ∵ 長方體的體積, ∴直四棱柱體積. …12分 ∴ . ∴ 所截成的兩部分幾何體的體積的比值為. …14分 (說明: 也給分) 19．（本小題滿分14分） (本小題主要考查函數(shù)和方程、分段函數(shù)等知識, 考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象 概括能力、推理論證能力、運算求解能力和應(yīng)用意識) （1）解：依題意，得 其中. …2分 （2）解：∵， ∴. 由于該家庭今年一、二月份的水費均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于 最低限量立方米. …4分 將和分別代入， 得 …6分 兩式相減, 得. 代入得. …8分 又三月份用水量為2.5立方米， 若，將代入，得， 這與矛盾. …10分 ∴，即該家庭三月份用水量2.5立方米沒有超最低限量. 將代入，得， 由 解得 …13分 答：該家庭今年一、二月份用水超過最低限量，三月份用水沒有超過最低限量， 且. …14分 20．（本小題滿分14分） (本小題主要考查直線、圓、拋物線、橢圓等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、函數(shù) 與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識) （1）解法1：∵拋物線的焦點坐標(biāo)為， …1分 ∴點的坐標(biāo)為. ∴橢圓的左焦點的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為. 設(shè)點的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知, ∵, ∴，解得. 由，且,得. ∴點的坐標(biāo)為. …3分 在橢圓:中，. . ∴. ∴橢圓的方程為. …6分 解法2：∵拋物線的焦點坐標(biāo)為， …1分 ∴點的坐標(biāo)為. ∴ 拋物線的準(zhǔn)線方程為. 設(shè)點的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知, ∵, ∴，解得. 由，且得. ∴點的坐標(biāo)為. …3分 在橢圓:中，. 由解得. ∴橢圓的方程為. …6分 （2）證法1: 設(shè)點的坐標(biāo)為,圓的半徑為， ∵ 圓與軸交于兩點，且, ∴ . ∴. ∴圓的方程為. …8分 ∵ 點是拋物線上的動點, ∴ (). ∴. 把代入 消去整理得:. …10分 方程對任意實數(shù)恒成立， ∴ 解得 …12分 ∵點在橢圓:上, ∴無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點. …14分 證法2: 設(shè)點的坐標(biāo)為,圓的半徑為， ∵ 點是拋物線上的動點, ∴ (). …7分 ∵ 圓與軸交于兩點，且, ∴ . ∴ . ∴ 圓的方程為. …9分 令,則,得. 此時圓的方程為. …10分 由解得 ∴圓:與橢圓的兩個交點為、. …12分 分別把點、代入方程進行檢驗， 可知點恒符合方程，點不恒符合方程. ∴無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點. …14分 21．（本小題滿分14分） (本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、數(shù)列、不等式等知識, 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括 能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識) (1) 解: 數(shù)列為等差數(shù)列. …1分 理由如下: ∵對任意N都有,, ∴. ∴,即. …3分 ∴數(shù)列是首項為,公差為1的等差數(shù)列. …4分 (2) 證明: ∵, 且, ∴. 由(1)知. ∴ , . …6分 所證不等式,即, 也即證明. 令, 則. 再令, 則. …8分 當(dāng)時, , ∴函數(shù)在上單調(diào)遞減. ∴當(dāng)時,,即. ∴當(dāng)時, . ∴函數(shù)在上單調(diào)遞減. …10分 ∵, ∴. ∴. …12分 ∴. ∴. ∴成立. …14分