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第5章 不定積分,5.1 原函數(shù)與不定積分的概念 一、原函數(shù)與不定積分 通過(guò)對(duì)求導(dǎo)和微分的學(xué)習(xí)，我們可以從一個(gè)函數(shù) y＝f(x)出發(fā)，去求它的導(dǎo)數(shù)f(x) 那么，我們能不能從一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f’(x)出發(fā)， 反過(guò)來(lái)去求它是哪一個(gè)函數(shù)(原函數(shù))的導(dǎo)數(shù)呢? [定義] 已知f(x)是定義在某區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間上的任何一點(diǎn)x處都有F(x)＝f(x)，那么稱(chēng)函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。,1,例1 求下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)： ⑴ f(x)＝2x ⑵ f(x)＝cosx 解：⑴∵(x2)＝2x ∴x2是函數(shù)2x的一個(gè)原函數(shù) ⑵∵(sinx)＝cosx ∴sinx是函數(shù)cosx的一個(gè)原函數(shù) 這里為什么要強(qiáng)調(diào)是一個(gè)原函數(shù)呢?因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù) 的原函數(shù)不是唯一的。 例如在上面的⑴中，還有(x2＋1)＝2x， (x2－1)＝2x 所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C為任意常數(shù)) 都是函數(shù)f(x)＝2x的原函數(shù)。,2,[定理5.1] 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)， C是一個(gè)任意常數(shù)，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在該區(qū)間I上的原函數(shù) ⑵ f(x)該在區(qū)間I上的全體原函數(shù)可以表示 為F(x)＋C 證明： ⑴∵[F(X)＋C]＝F(x)＋(C)＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函數(shù) ⑵略,3,這說(shuō)明函數(shù)f(x)如果有一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么它 就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，它們都可以表示為F(x)＋C的 形式。 [定義5.2] 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分， 記作∫f(x)dx， 其中∫叫做積分號(hào)，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積 分變量。 求函數(shù)f(x)的不定積分就是求它的全體原函數(shù)， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C 其中C是任意常數(shù)，叫做積分常數(shù)。,4,例2 求下列不定積分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx 解： ⑴∵ 是x5的一個(gè)原函數(shù) ∴ ⑵∵－cosx是sinx的一個(gè)原函數(shù) ∴,5,二、 不定積分的幾何意義 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則曲線(xiàn)y＝F(x) 稱(chēng)為f(x)的一條積分曲線(xiàn)，曲線(xiàn)y＝F(x)＋C表示把曲 線(xiàn)y＝F(x)上下平移所得到的曲線(xiàn)族。因此，不定積分 的幾何意義是指由f(x)的全體積分曲線(xiàn)組成的積分曲 線(xiàn)族。 例4 求斜率為2x且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)的曲線(xiàn)。 解：設(shè)所求曲線(xiàn)為y＝f(x)，則f’(x)＝2x， 故y＝x2＋C， ∵曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲線(xiàn)為y＝x2－1。,6,三、 基本積分公式 由于積分運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，所以由基本 求導(dǎo)公式反推，可得基本積分公式 ⑴ ∫dx＝x＋C ⑵ ∫xαdx＝ (α≠-1) ⑶ ⑷ ⑸ ∫exdx＝ex＋C ⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C ⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C ⑽ ⑾,7,說(shuō)明：冪函數(shù)的積分結(jié)果可以這樣求，先將被積函數(shù) 的指數(shù)加1，再把指數(shù)的倒數(shù)放在前面做系數(shù)。 [注意] 不能認(rèn)為 arcsinx＝－arccosx，他們之間 的關(guān)系是 arcsinx＝π／2－arccosx,8,四、 不定積分的性質(zhì) ⑴ [∫f(x)dx]＝f(x) 該性質(zhì)表明，如果函數(shù)f(x)先求不定積分再求導(dǎo)， 所得結(jié)果仍為f(x) ⑵ ∫F(x)dx＝F(x)＋C 該性質(zhì)表明，如果函數(shù)F(x)先求導(dǎo)再求不定積分， 所得結(jié)果與F(x)相差一個(gè)常數(shù)C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k為常數(shù)) 該性質(zhì)表明，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以 提到積分號(hào)的前面 ⑷ ∫[f(x)g(x)]dx＝∫f(x)dx∫g(x)dx 該性質(zhì)表明，兩個(gè)函數(shù)的和或差的不定積分等于 這兩個(gè)函數(shù)的不定積分的和或差,9,五、 基本積分公式的應(yīng)用 例7 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx ＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C 例11 求∫3xexdx,10,5.2 不定積分的計(jì)算 一、 直接積分法 對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形后直接用 不定積分的性質(zhì)和基本積分公式即可求出不定 積分的方法稱(chēng)為直接積分法。 運(yùn)用直接積分法可以求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的 不定積分。,11,,12,一、第一換元法(湊微分法) 如果被積函數(shù)的自變量與積分變量不相同， 就不能用直接積分法。 例如求∫cos2xdx，被積函數(shù)的自變量是2x， 積分變量是x。 這時(shí)，我們可以設(shè)被積函數(shù)的自變量為u， 如果能從被積式中分離出一個(gè)因子u’(x)來(lái)， 那么根據(jù)∫f(u)u(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定積分。 這種積分方法叫做湊微分法。,13,[講解例題] 例2 求∫2sin2xdx 解：設(shè)u＝2x，則du＝2dx ∫2sin2xdx＝∫sin2x2dx＝∫sinudu ＝－cosu＋C＝－cos2x＋C 注意：最后結(jié)果中不能有u，一定要還原成x。 解：設(shè)u＝x2＋1，則du＝2xdx,14,解：設(shè)u＝x2，則du＝2xdx 設(shè)u＝cosx，則du＝-sinxdx,15,當(dāng)計(jì)算熟練后，換元的過(guò)程可以省去不寫(xiě)。 例 求∫sin3xcosxdx 解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝ sin4x＋C,16,二、第二換元積分法 例如，求 ，把其中最難處理的部分換 元，令 則原式＝ ，再反解x＝u2＋1， 得dx＝2udu，代入 這就是第二換元積分法。,17,(1)如果被積函數(shù)含有 ，可以用x＝asint換元。 (2)如果被積函數(shù)含有 ，可以用x＝atant換元。,18,19,以下結(jié)果可以作為公式使用： ⑿ ∫tanxdx＝ln|secx|＋C ⒀ ∫cotdx＝－ln|cscx|＋C ⒁ ∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C ⒂ ∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C ⒃ ⒄ ⒅,20,5.3 分部積分法 一、分部積分公式 考察函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則： [u(x)v(x)]＝u(x)v(x)＋u(x)v(x) 兩邊積分得 u(x)v(x)＝∫u(x)v(x)dx＋∫u(x)v(x)dx 于是有 ∫u(x)v(x)dx＝u(x)v(x)－∫u(x)v(x)dx 或表示成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)v(x)－∫v(x)du(x) 這一公式稱(chēng)為分部積分公式。,21,二、講解例題 例1 求∫xexdx 解:令 u(x)＝x，v(x)＝ex 則原式為∫u(x)v(x)dx的形式 ∵(ex)＝ex ∴v(x)＝ex， 由分部積分公式有 ∫xexdx＝xex－∫exdx＝xex－ex＋C 例2 求∫xcos2xdx 解：令 u(x)＝x，v(x)＝cos2x，則v(x)＝ sin2x 于是∫xcos2xdx＝ xsin2x－ ∫sin2xdx ＝ xsin2x＋ cos2x＋C,22,有時(shí)，用分部積分法求不定積分需要連續(xù)使 用幾次分部積分公式才可以求出結(jié)果。 例5：求∫x2e-2xdx 解：令u(x)＝x2，v(x)＝e-2x，則v(x)＝ 于是,23,由此可見(jiàn)：作一次分部積分后，被積函數(shù)中冪函數(shù)的 次數(shù)可以降低一次。如果所得到的積分式還需要用分 部積分法解，那么，可以再用分部積分公式做下去。 為了簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，下面介紹: 三、分部積分法的列表解法 例如：求 ∫x2sinxdx x2 sinx 求導(dǎo)↓ + ↓積分 2x - -cosx,,,∫x2sinxdx ＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx,24,[分部積分法的列表解法] 例如：求 ∫x2sinxdx x2 sinx,求導(dǎo)↓,↓積分,2x,-cosx,∫x2sinxdx ＝-x2cosx＋∫2xcosxdx,＝-x2cosx＋2xsinx -∫2sinxdx,求導(dǎo)↓ ２,↓積分 -sinx,＝-x2cosx＋2xsinx ＋2cosx＋C,求導(dǎo)↓ ０,↓積分 +cosx,,,,,,＋ －,－＋,＋,,25,例4：求∫xlnxdx x lnx 求導(dǎo)↓ ↓積分 1 ? 這說(shuō)明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。 把lnx放在左邊用分部積分法解： lnx x 求導(dǎo)↓ + ↓積分 -,,,26,[一般原則] 對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)應(yīng)放在左邊， 指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)應(yīng)放在右邊。 有些單獨(dú)一個(gè)函數(shù)的不定積分也要用分部 積分法解。 例3：求∫lnxdx lnx 1 求導(dǎo)↓ + ↓積分 - x,,,= xlnx－∫dx = xlnx－x＋C,27,例6 求∫arcsinxdx arcsinx 1 求導(dǎo)↓ + ↓積分 - x 例7 1 求導(dǎo)↓ ↓積分 x,,,28,例8 求∫exsin3xdx 解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx ＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx 移項(xiàng)得 ∫exsin3xdx＝ ex(si3nx－3cos3x)＋C 5.4 有理函數(shù)積分法 一、有理函數(shù)的定義 有理函數(shù)是指分子、分母都是多項(xiàng)式的分 式函數(shù)，形如,29,二、真分式的部分分式分解 設(shè)分子的次數(shù)為n，分母的次數(shù)為m。 當(dāng)n＜m時(shí)，該分式稱(chēng)為真分式； 當(dāng)n≥m時(shí)，該分式稱(chēng)為假分式。 假分式可以寫(xiě)成多項(xiàng)式與真分式的和。 這里主要講解真分式的部分分式分解。 例 分解 成部分分式 解：因?yàn)榉帜负?x－1)的三重因式，所以設(shè),30,等式右邊通分后得 比較等式兩邊分子各項(xiàng)的系數(shù)得 Ａ＋Ｂ＝1 解得： Ａ＝－1 －3Ａ－2Ｂ＋Ｃ＝0 Ｂ＝2 3Ａ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ＝0 Ｃ＝1 －Ａ＝1 Ｄ＝2 這種方法稱(chēng)為待定系數(shù)法,,,31,幾種簡(jiǎn)單分式的積分法 一、,32,二、 1.當(dāng)分子不含一次項(xiàng)時(shí) 因?yàn)榉帜钢衟2-4q＜0，所以分母可以配方成(x-m)2+n2， 再進(jìn)一步，還可以化成,33,,34,2.當(dāng)分子含有一次項(xiàng)時(shí)，可將分子湊成分母的導(dǎo)數(shù)與另一常數(shù)之和再分別積分。,35,三、分母可以因式分解的有理函數(shù) 1.若被積函數(shù)是假分式，先把它分解成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和, 2. 對(duì)于真分式，先將分母因式分解，再用待定系數(shù)法化為部分分式之和, 3. 對(duì)每個(gè)最簡(jiǎn)分式分別求不定積分。,36,,37,再如前面舉過(guò)的例子 求,38,[作業(yè)] P.253 1 ⑵⑹⑻⑿，2 ⑸⑹⑼⑽，4 P.267 2 ⑸⑻⒀⒃⒄(23)(25) P.273 1 ～ 8 P.279 1 ,4 ,9,39,