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2016-2017學(xué)年廣東省汕頭市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（本大題10小題，每題3分，共30分） 1．下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么邊AC的長(zhǎng)可能是下列哪個(gè)值（　?。? A．11 B．5 C．2 D．1 3．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540，則這個(gè)多邊形是（　?。? A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 4．如圖，用尺規(guī)作已知角平分線，其根據(jù)是構(gòu)造兩個(gè)三角形全等，它所用到的判別方法是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 5．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B=35，∠ACE=60，則∠A=（　　） A．35 B．95 C．85 D．75 6．如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長(zhǎng)是（　?。? A．8 B．9 C．10 D．11 7．如圖，△ABC≌△DEF，若BC=6cm，BF=8cm，則下列判斷錯(cuò)誤的是（　?。? A．AB=DE B．BE=CF C．AC∥DF D．EC=2 8．若從一多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可引10條對(duì)角線，則它是（　?。? A．十三邊形 B．十二邊形 C．十一邊形 D．十邊形 9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，取AD的中點(diǎn)P，連接BP，CP．若△ABC的面積為4cm2，則△BPC的面積為（　?。? A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2 10．如圖，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分線于M，交AB，AC于F，E，以下結(jié)論：①M(fèi)B⊥BD，②FD=EC，③EC=EF+DG，④CE=，其中一定正確的有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 　 二、填空題（本大題6小題，每小題4分，共24分） 11．已知點(diǎn)A與點(diǎn)B（1，﹣3）關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為　?。? 12．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為x和y，且x和y滿足|x﹣5|+（y﹣2）2=0，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為　?。? 13．如圖，D是AB邊上的中點(diǎn)，將△ABC沿過(guò)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上F處，若∠B=50，則∠BDF=　　度． 14．如圖，△ABC中，∠ABC=90，AB=12，BC=5，AC=13，BD⊥AC于D，則BD=　?。? 15．如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，∠OPD=60，PO=4，則點(diǎn)P到邊OA的距離是　?。? 16．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=，E為AC中點(diǎn)，P為AD上一點(diǎn)，則△PEC周長(zhǎng)的最小值是　?。? 　 三、解答題（共9小題，滿分66分） 17．如圖，B、F、C、E在一條直線上，AB=DE，BF=CE，AC=DF． 求證：AC∥DF． 18．如圖，上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以20海里/時(shí)的速度向正北航行，12時(shí)到達(dá)B處，測(cè)得∠NAC=36，∠ABC=108，求從B處到燈塔C的距離． 19．如圖，已知△ABC，∠C=90，AC＜BC，D為BC上一點(diǎn)，且到A，B兩點(diǎn)的距離相等． （1）用直尺和圓規(guī)，作出點(diǎn)D的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）； （2）連結(jié)AD，若∠B=33，則∠CAD=　　． 20．如圖，在△ABC中，∠BAC=90，∠B=50，AE，CF是角平分線，它們相交于為O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度數(shù)． 21．如圖，AB=3，BC=8，AB⊥BC，l⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AE，交l于D． （1）求證：∠A=∠DEC； （2）當(dāng)BE長(zhǎng)度為多少時(shí)，△ABE≌△ECD？請(qǐng)說(shuō)明理由． 22．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求證：AD平分∠BAC； （2）連接EF，求證：AD垂直平分EF． 23．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在線段AC上，D在AB的延長(zhǎng)線上，連接DE交BC于F，過(guò)E作EG⊥BC于G． （1）下列兩個(gè)關(guān)系式：①DB=EC，②DF=EF，請(qǐng)你選擇一個(gè)做為條件，另一個(gè)做為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)正確的命題，并給予證明． 你選擇的條件是　　，結(jié)論是　?。ㄖ恍杼钚蛱?hào)） （2）在（1）的條件下，求證：FG=BC． 24．如圖，在△ABC中，∠BAC=120，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2，延長(zhǎng)AD到E，使AE=2AD，連接BE． （1）求證：△ABE為等邊三角形； （2）將一塊含60角的直角三角板PMN如圖放置，其中點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，且∠NEM=60，邊NE與AB交于點(diǎn)G，邊ME與AC交于點(diǎn)F．求證：BG=AF； （3）在（2）的條件下，求四邊形AGEF的面積． 25．如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90， （1）請(qǐng)判斷線段AE和BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明； （2）若已知∠AED=135，設(shè)∠AEC=α，當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，求α的度數(shù)． 　  2016-2017學(xué)年廣東省汕頭市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題10小題，每題3分，共30分） 1．下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確； C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選B． 　 2．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么邊AC的長(zhǎng)可能是下列哪個(gè)值（　?。? A．11 B．5 C．2 D．1 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系． 【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出AC的取值范圍，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：AB﹣BC＜AC＜AB+BC， ∵AB=6，BC=4， ∴6﹣4＜AC＜6+4， 即2＜AC＜10， 則邊AC的長(zhǎng)可能是5． 故選：B． 　 3．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540，則這個(gè)多邊形是（　?。? A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180列方程即可求解． 【解答】解：（n﹣2）?180=540，故n=5． 所以這個(gè)多邊形為五邊形． 故選C． 　 4．如圖，用尺規(guī)作已知角平分線，其根據(jù)是構(gòu)造兩個(gè)三角形全等，它所用到的判別方法是（　?。? A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；全等三角形的判定． 【分析】由畫(huà)法得OC=OD，PC=PD，加上公共邊OOP，則可根據(jù)“SSS”可判定△OCP≌△ODP，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判定OP為∠AOB的平分線． 【解答】解：由畫(huà)法得OC=OD，PC=PD， 而OP=OP， 所以△OCP≌△ODP（SSS）， 所以∠COP=∠DOP， 即OP平分∠AOB． 故選D． 　 5．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B=35，∠ACE=60，則∠A=（　?。? A．35 B．95 C．85 D．75 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；角平分線的定義． 【分析】根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)求出∠ACD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠A即可． 【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∠ACE=60， ∴∠ACD=2∠ACE=120， ∵∠ACD=∠B+∠A， ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120﹣35=85， 故選：C． 　 6．如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長(zhǎng)是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】由ED是AB的垂直平分線，可得AD=BD，又由△BDC的周長(zhǎng)=DB+BC+CD，即可得△BDC的周長(zhǎng)=AD+BC+CD=AC+BC． 【解答】解：∵ED是AB的垂直平分線， ∴AD=BD， ∵△BDC的周長(zhǎng)=DB+BC+CD， ∴△BDC的周長(zhǎng)=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10． 故選C． 　 7．如圖，△ABC≌△DEF，若BC=6cm，BF=8cm，則下列判斷錯(cuò)誤的是（　　） A．AB=DE B．BE=CF C．AC∥DF D．EC=2 【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=DE，BC=EF，∠ACB=∠F，求出AC∥DF，BE=CF，即可判斷各個(gè)選項(xiàng)． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，∠ACB=∠F， ∴AC∥DF，BC﹣EC=EF﹣EC， ∴BE=CF， ∵BC=6cm，BF=8cm， ∴CF=BF=2cm， ∴EC=6cm﹣2cm=4cm， 即只有選項(xiàng)D錯(cuò)誤； 故選D． 　 8．若從一多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可引10條對(duì)角線，則它是（　?。? A．十三邊形 B．十二邊形 C．十一邊形 D．十邊形 【考點(diǎn)】多邊形的對(duì)角線． 【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線的定義可知，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n﹣3）條對(duì)角線，由此可得到答案． 【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形． 依題意，得n﹣3=10， ∴n=13． 故這個(gè)多邊形是13邊形． 故選：A． 　 9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，取AD的中點(diǎn)P，連接BP，CP．若△ABC的面積為4cm2，則△BPC的面積為（　?。? A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2 【考點(diǎn)】三角形的面積． 【分析】由點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，可得△ABP的面積=S△ABD，S△CPD=S△ACD，于是得到結(jié)論． 【解答】解：∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)， ∴△ABP的面積=S△ABD，S△CPD=S△ACD， ∴S△BPC=S△ABC=2cm2， 故選C． 　 10．如圖，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分線于M，交AB，AC于F，E，以下結(jié)論：①M(fèi)B⊥BD，②FD=EC，③EC=EF+DG，④CE=，其中一定正確的有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】如圖，由BD分別是∠ABC及其外角的平分線，得到∠MBD=180=90，故①成立；證明BF=CE、BF=DF，得到FD=CE，故②成立；證明BF為直角△BDM的斜邊上的中線，故④成立． 【解答】解：如圖，∵BD分別是∠ABC及其外角的平分線， ∴∠MBD=180=90， 故MB⊥BD，①成立； ∵DM∥BC， ∴，而AB=AC， ∴BF=CE； ∵DF∥BC， ∴∠FDB=∠DBC； ∵∠FBD=∠DBC， ∴∠FBD=∠FDB， ∴FD=BF，F(xiàn)D=EC，②成立； ∵∠DBM=90，MF=DF， ∴BF=DM，而CE=BF， ∴CE=DM，④成立． 故選C． 　 二、填空題（本大題6小題，每小題4分，共24分） 11．已知點(diǎn)A與點(diǎn)B（1，﹣3）關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為　（﹣1，﹣3）?。? 【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案． 【解答】解：點(diǎn)A與點(diǎn)B（1，﹣3）關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）， 故答案為：（﹣1，﹣3）． 　 12．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為x和y，且x和y滿足|x﹣5|+（y﹣2）2=0，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為　12?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；三角形三邊關(guān)系． 【分析】首先依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得x、y的值，然后得到三角形的三邊長(zhǎng)，接下來(lái)，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，最后求得三角形的周長(zhǎng)即可． 【解答】解：∵|x﹣5|+（y﹣2）2=0， ∴x=5，y=2． 當(dāng)腰長(zhǎng)為5時(shí)，三邊長(zhǎng)為5、5、2，周長(zhǎng)=5+5+2=12； 當(dāng)腰長(zhǎng)為2時(shí)，三邊長(zhǎng)為5、2、2，2+2＜5，不能組成三角形． 故答案為：12． 　 13．如圖，D是AB邊上的中點(diǎn)，將△ABC沿過(guò)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上F處，若∠B=50，則∠BDF=　80　度． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）． 【分析】由折疊的性質(zhì)，即可求得AD=DF，又由D是AB邊上的中點(diǎn)，即可得DB=DF，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，即可求得∠DFB=∠B=50，又由三角形的內(nèi)角和定理，即可求得∠BDF的度數(shù)． 【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得：AD=DF， ∵D是AB邊上的中點(diǎn)， 即AD=BD， ∴BD=DF， ∵∠B=50， ∴∠DFB=∠B=50， ∴∠BDF=180﹣∠B﹣∠DFB=80． 故答案為：80． 　 14．如圖，△ABC中，∠ABC=90，AB=12，BC=5，AC=13，BD⊥AC于D，則BD=　　． 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】由直角三角形面積公式即可得出結(jié)果． 【解答】解：∵∠ABC=90，AB=12，BC=5，AC=13， ∴△ABC的面積=AC?BD=AB?BC， ∴BD==， 故答案為：． 　 15．如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，∠OPD=60，PO=4，則點(diǎn)P到邊OA的距離是　2?。? 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】作PE⊥OA于E，利用余弦的定義求出PD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可． 【解答】解：作PE⊥OA于E， ∵∠OPD=60，PO=4， ∴PD=OPcos∠OPD=2， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE=PD=2， 故答案為：2． 　 16．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=，E為AC中點(diǎn)，P為AD上一點(diǎn)，則△PEC周長(zhǎng)的最小值是　+1?。? 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】連接BE，則BE的長(zhǎng)度即為PE與PC和的最小值． 【解答】解：如連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小， ∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC， ∴PC=PB， ∴PE+PC=PB+PE=BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正三角形，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)， ∴∠BEC=90，CE=1cm， ∴BE==， ∴PE+PC的最小值是． ∴△PEC周長(zhǎng)的最小值是+1． 故答案為+1． 　 三、解答題（共9小題，滿分66分） 17．如圖，B、F、C、E在一條直線上，AB=DE，BF=CE，AC=DF． 求證：AC∥DF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】只要證明△ABC≌△DEF即可推出∠ACB=∠DFE，即可推出AC∥DF． 【解答】解：∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠ACB=∠DFE， ∴AC∥DF． 　 18．如圖，上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以20海里/時(shí)的速度向正北航行，12時(shí)到達(dá)B處，測(cè)得∠NAC=36，∠ABC=108，求從B處到燈塔C的距離． 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】求出AB長(zhǎng)，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠A=∠C，推出CB=AB，代入求出即可． 【解答】解：由題意可知：AB=（12﹣9）20=60（海里）， ∵∠NAC=36，∠∠ABC=108， ∴∠C=∠NBC﹣∠NAC=26=∠NAC， ∴BC=AB=60海里， 答：從B處到燈塔C的距離是60海里． 　 19．如圖，已知△ABC，∠C=90，AC＜BC，D為BC上一點(diǎn)，且到A，B兩點(diǎn)的距離相等． （1）用直尺和圓規(guī)，作出點(diǎn)D的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）； （2）連結(jié)AD，若∠B=33，則∠CAD=　24　． 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】（1）作線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求； （2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAD的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)求出∠CAB的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求； （2）∵AD=BD，∠B=33， ∴∠BAD=∠B=33． ∵∠C=90， ∴∠CAB=90﹣33=57， ∴∠CAD=∠CAB﹣∠BAD=57﹣33=24． 故答案為：24． 　 20．如圖，在△ABC中，∠BAC=90，∠B=50，AE，CF是角平分線，它們相交于為O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度數(shù)． 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的角平分線、中線和高． 【分析】先根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，求得∠BAD，再根據(jù)角平分線的定義，求得∠CAE=∠BAC=45，∠ACF=∠ACB=20，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得△AOC中∠AOC的度數(shù)． 【解答】解：∵AD是高，∠B=50， ∴Rt△ABD中，∠BAD=90﹣50=40， ∵∠BAC=90，∠B=50， ∴△ABC中，∠ACB=90﹣50=40， ∵AE，CF是角平分線， ∴∠CAE=∠BAC=45，∠ACF=∠ACB=20， ∴△AOC中，∠AOC=180﹣45﹣20=115． 　 21．如圖，AB=3，BC=8，AB⊥BC，l⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AE，交l于D． （1）求證：∠A=∠DEC； （2）當(dāng)BE長(zhǎng)度為多少時(shí)，△ABE≌△ECD？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠A+∠AEB=90．根據(jù)垂直的定義和平角的定義得出∠AEB+∠DEC=90，再利用同角的余角相等即可證明∠A=∠DEC； （2）當(dāng)BE=5時(shí)，△ABE≌△ECD．理由是：由于BC=8，BE=5，那么EC=AB=3，又∠B=∠ECD=90，∠A=∠DEC，根據(jù)ASA即可得出△ABE≌△ECD． 【解答】（1）證明：∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AEB=90． ∵ED⊥AE， ∴∠AED=90， ∴∠AEB+∠DEC=90， ∴∠A=∠DEC； （2）解：當(dāng)BE=5時(shí)，△ABE≌△ECD．理由如下： ∵BC=8，BE=5， ∴EC=3， ∴EC=AB． ∵AB⊥BC，l⊥BC， ∴∠B=∠ECD=90． 在△ABE與△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD． 　 22．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求證：AD平分∠BAC； （2）連接EF，求證：AD垂直平分EF． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】（1）由于D是BC的中點(diǎn)，那么BD=CD，而B(niǎo)E=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易證Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，利用角平分線的判定定理可知點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即AD平分∠BAC； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：（1）∵D是BC的中點(diǎn) ∴BD=CD， 又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE=DF， ∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上， ∴AD平分∠BAC； （2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC， ∵BE=CF， ∴AB﹣BE=AC﹣CF， ∴AE=AF， ∵DE=DF， ∴AD垂直平分EF． 　 23．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在線段AC上，D在AB的延長(zhǎng)線上，連接DE交BC于F，過(guò)E作EG⊥BC于G． （1）下列兩個(gè)關(guān)系式：①DB=EC，②DF=EF，請(qǐng)你選擇一個(gè)做為條件，另一個(gè)做為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)正確的命題，并給予證明． 你選擇的條件是?、佟?，結(jié)論是　②?。ㄖ恍杼钚蛱?hào)） （2）在（1）的條件下，求證：FG=BC． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）條件是①DB=EC，結(jié)論是②DF=EF．（也可以填條件是②，結(jié)論是①）．只要證明△FBD≌△FHE，即可解決問(wèn)題． （2）由（1）可知，EH=EC，EG⊥HC，推出GH=GC，由△BFD≌△FHE，推出BF=FH，即可推出FG=FH+HG=BH+HC=（BH+HC）=BC． 【解答】（1）解：條件是①DB=EC，結(jié)論是②DF=EF．（也可以填條件是②，結(jié)論是①）． 理由：如圖作，EH∥AD交BC于H． ∵EH∥AD， ∴∠ABC=∠EHC，∠D=∠HEF， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=∠EHC， ∴EH=EC=BD， 在△FBD和△FEH中， ， ∴△FBD≌△FHE， ∴DF=EF． （2）證明：由（1）可知，EH=EC，EG⊥HC， ∴GH=GC， ∵△BFD≌△FHE， ∴BF=FH， ∴FG=FH+HG=BH+HC=（BH+HC）=BC． 　 24．如圖，在△ABC中，∠BAC=120，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2，延長(zhǎng)AD到E，使AE=2AD，連接BE． （1）求證：△ABE為等邊三角形； （2）將一塊含60角的直角三角板PMN如圖放置，其中點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，且∠NEM=60，邊NE與AB交于點(diǎn)G，邊ME與AC交于點(diǎn)F．求證：BG=AF； （3）在（2）的條件下，求四邊形AGEF的面積． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定． 【分析】（1）先證明∠ABD=90﹣∠BAE=30，可知AB=2AD，由因?yàn)锳E=2AD，所以AB=AE，從而可知△ABE是等邊三角形． （2）由（1）可知：∠ABE=∠AEB=60，AE=BE，然后求證△BEG≌△AEF即可得出BG=AF； （3）由于S四邊形AGEF=S△AEG+S△AEF=S△AEG+S△BEG=S△ABE，故只需求出△ABE的面積即可． 【解答】解：（1）AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAE=∠CAE=BAC=60，∠ADB=90， ∴∠ABD=90﹣∠BAE=30， ∴AB=2AD， ∵AE=2AD， ∴AB=AE， ∵∠BAE=60， ∴△ABE是等邊三角形． （2）∵△ABE是等邊三角形， ∴∠ABE=∠AEB=60， AE=BE， 由（1）∠CAE=60 ∴∠ABE=∠CAE， ∵∠NEM=∠BEA=60， ∴∠NEM﹣∠AEN=∠BEA﹣∠AEN， ∴∠AEF=∠BEG， 在△BEG與△AEF中， ∴△BEG≌△AEF（ASA） ∴BG=AF； （3）由（2）可知：△BEG≌△AEF， ∴S△BEG=S△AEF， ∴S四邊形AGEF=S△AEG+S△AEF =S△AEG+S△BEG =S△ABE ∵△ABE是等邊三角形， ∴AE=AB=4， ∴S△ABE=AE?BD=42=4， ∴S四邊形AGEF=4 　 25．如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90， （1）請(qǐng)判斷線段AE和BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明； （2）若已知∠AED=135，設(shè)∠AEC=α，當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，求α的度數(shù)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】（1）根據(jù)△ACD和△BCE都是等腰直角三角形、∠ACD=∠BCE=90，即可得出AC=DC、EC=BC，再由角的計(jì)算即可得出∠ACE=∠DCB，利用全等三角形的判定定理SAS即可證出△ACE≌△DCB，進(jìn)而可得出AE=DB．延長(zhǎng)AE，交CD于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)F，根據(jù)角的計(jì)算即可得出∠DFH=∠ACD=90，從而找出AE⊥BD； （2）根據(jù)△BCE是等腰直角三角形即可得出∠CEB=∠CBE=45，結(jié)合∠AED=135、∠AEC=α即可找出∠DEB=180﹣α，由（1）△ACE≌△DCB可得出∠DBC=∠AEC=α，進(jìn)而得出∠DBE=α﹣45，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠EDB=45，分∠DEB=∠DBE、∠DEB=∠EDB以及∠DBE=∠EDB三種情況考慮△BDE為等腰三角形，代入數(shù)據(jù)求出α值，此題得解． 【解答】解：（1）AE=BD且AE⊥BD，理由如下： ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90， ∴AC=DC，EC=BC． ∵∠ACD=∠ACE+∠ECD=90，∠BCE=∠DCB+∠ECD=90， ∴∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中，， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE=DB，∠CAE=∠CDB． 延長(zhǎng)AE，交CD于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)F，如圖1所示． ∵∠AHD=∠CHF=∠CDB+∠DFH，∠AHD=∠CAE+∠ACD， ∴∠DFH=∠ACD=90， ∴AE⊥BD． （2）∵△BCE是等腰直角三角形，∠BCE=90， ∴∠CEB=∠CBE=45， ∵∠AED=135，∠AEC=α， ∴∠DEB=360﹣∠AED﹣∠CEB﹣∠AEC=360﹣135﹣45﹣α=180﹣α． ∵△ACE≌△DCB， ∴∠DBC=∠AEC=α， ∴∠DBE=α﹣45． 在△DBE中，∠EDB=180﹣∠DEB﹣∠DBE=180﹣﹣（α﹣45）=45． △BDE為等腰三角形分三種情況： ①∠DEB=∠DBE，即180﹣α=α﹣45， ∴α=112.5； ②∠DEB=∠EDB，即180﹣α=45， ∴α=135； ③∠DBE=∠EDB，即α﹣45=45， ∴α=90． 綜上所述：當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，α的度數(shù)為112.5、135或90． 　  2017年4月6日 第29頁(yè)（共29頁(yè)）