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2019-2020年高三第二次調(diào)研考試 數(shù)學(xué)理 含答案 本試卷共4頁，21小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。 3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡一并交回． 參考公式：①如果事件互斥，則 ②如果事件相互獨(dú)立，則 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求. 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng). 1．設(shè)集合，集合，則(　　) A． B． C． D． 2. 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 4．設(shè)向量，，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．　 B． C． D．與垂直 5．為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（十分制）如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則(　　) A．　　　 B． C． D． 6. 設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且，則“”是“”的(　　) A．充分不必要條件　　　　　　　　　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 7．已知,,滿足約束條件，若的最小值為1，則(　　) A.　 B. C． D． 8. 某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)與該班人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù) (表示不大于的最大整數(shù)）可以表示為(　　) A．　　B． C． D． 二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分） （一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答． 9．已知，則不等式的解集為 ． 10．曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ． 11．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ． 12．銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，若，則角等于 ． 13．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，， 則滿足的最大正整數(shù)的值為________． （二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分． 14．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）已知圓的極坐標(biāo)方程為，圓心為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則________. 15．（幾何證明選講）如圖所示，⊙的兩條切線和相交于點(diǎn)，與⊙相切于兩點(diǎn)，是⊙上的一點(diǎn)，若，則________.（用角度表示） 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16．（本題滿分12分） 設(shè)向量，，. （1）若，求的值； （2）設(shè)函數(shù)，求的最大值． 17．（本題滿分12分） 某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量的分組區(qū)間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示． （1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量； （2）在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件，設(shè)為重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列； （3）從該流水線上任取件產(chǎn)品，求恰有件產(chǎn)品的重量超過克的概率． 18．（本題滿分14分） 如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，底面. （1）證明：； （2）若，求二面角的余弦值． 19．（本題滿分分） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有. 20．(本題滿分14分) 如圖，已知橢圓：，其左右焦點(diǎn)為及，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，且、、構(gòu)成等差數(shù)列. （1）求橢圓的方程； （2）記△的面積為，△（為原點(diǎn)）的面積為．試問：是否存在直線，使得？說明理由． 21.（本題滿分分） 已知，函數(shù).（的圖像連續(xù)不斷） （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，證明：存在，使； （3）若存在均屬于區(qū)間的，且，使， 證明. 惠州市xx屆高三第二次調(diào)研考試 理科數(shù)學(xué)答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1【解析】本題考查集合的基本運(yùn)算，意在考查考生對(duì)集合概念的掌握．由，解得，所以，又，所以，故選A. 2【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與復(fù)數(shù)的幾何意義，∵∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限． 3【解析】本題考查雙曲線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。雙曲線方程可變形為， 所以. 4【解析】； ；，故垂直． 5【解析】由圖可知，30名學(xué)生的得分情況依次為：2個(gè)人得3分，3個(gè)人得4分，10個(gè)人得5分，6個(gè)人得6分，3個(gè)人得7分，2個(gè)人得8分，2個(gè)人得9分，2個(gè)人得10分．中位數(shù)為第15,16個(gè)數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù)，即＝5.5,5出現(xiàn)的次數(shù)最多， 故＝5，≈5.97 于是得. 6【解析】若，又，根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得，又因?yàn)?，所以；反過來，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，一定有，但不能保證，即不能推出. 7【解析】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題．由已知約束條件，作出可行域如圖中△ABC內(nèi)部及邊界部分，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為直線l：在軸上的截距，知當(dāng)直線l過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最小值為1，則。 8【解析】當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，可以看作先用該班人數(shù)除以10再用這個(gè)余數(shù)與3相加，若和大于等于10就增選一名代表，將二者合并便得到推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系，用取整函數(shù) (表示不大于的最大整數(shù)）可以表示為． 二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分） 第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．55 9【解析】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法，意在考查學(xué)生的分類討論及化歸能力及運(yùn)算能力． 由，可得或， 解得，所以原不等式的解集為． 10【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義?？疾榭忌那髮?dǎo)運(yùn)算及求直線方程的能力。 由，則.所以，即切線L的斜率為1。又切線L過點(diǎn)(1,0)，所以切線L的方程為. 一般方程為 . 11【解析】本題考查二項(xiàng)式定理，意在考查考生的運(yùn)算能力． ，令，得， 故常數(shù)項(xiàng)為. 12．【解析】本題主要考查銳角三角形的定義、正弦定理與解三角方程，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力與三角變換能力．由正弦定理得，可化為，又，所以，又為銳角三角形，得. 13【解析】本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力． 設(shè)等比數(shù)列的公比為．由可得 即所以，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，由可得，由，可求得的最大值為12，而當(dāng)時(shí)，不成立，所以的最大值為12. 14【解析】由可得圓的直角坐標(biāo)方程為，圓心．點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，所以. 15【解析】如圖所示，連接，則. 故，∴. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16．（本題滿分12分） 解：本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì)． (1)由， .......... （1分） ， ............（2分） 及，得. 又，從而， .............（4分） 所以 .............（6分） （2） ， ..............（9分） 當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1 .......（11分） 所以的最大值為. ...........（12分） 17．（本題滿分12分） 解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為 (件)． ..............（2分） (2)的可能取值為0,1,2. .............（3分） ..............（4分） ..............（5分） ...............（6分） 0 1 2 P Y的分布列為 ..........（7分） (3)利用樣本估計(jì)總體，該流水線上產(chǎn)品重量超過505克的概率為0.3........（8分） 令為任取的5件產(chǎn)品中重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量， 則， .........（10分） 故所求概率為........（12分） 18．（本題滿分14分） 解：（1）證明：因?yàn)?，? 由余弦定理得. .............（2分） 從而，故. .............（3分） 面面，............（4分） 又 所以平面. .............（5分） 故. .............（6分） （2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DB，DP分別為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz， 則． ， .........（8分） 設(shè)平面PAB的法向量為， 則 即 因此可?。? .............（10分） 設(shè)平面PBC的法向量為，則 可取 ...............（12分） 則 故鈍二面角A－PB－C的余弦值為－. ...............（14分） 注：第二問若使用幾何法按找到并證明二面角的平面角得4分，求出二面角的平面角的余弦值得4分。其它方法酌情給分。 19．（本題滿分分） 解：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和、放縮法等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，考查考生的運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題能力． （1）（解法一） 依題意，又，所以 ………（2分） 當(dāng)， ， 兩式相減得 整理得 ，即， ………（6分） 又，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列， 所以所以 ………（8分） （解法二） ， ，得， .......（2分） 猜想 .............（3分） 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： （1）當(dāng)時(shí)，猜想成立； （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想也成立，即 .............（4分） 當(dāng)時(shí)， = ，........（5分） 時(shí)，猜想也成立 ............（6分） 由（1），（2）知，對(duì)于，猜想成立。 ，當(dāng)，也滿足此式，故 .........（8分） （2）證明：當(dāng)； ………（9分） 當(dāng)； ………（10分） 當(dāng)， ………（12分） 此時(shí) 綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有 ……………（14分） 20．(本題滿分14分) 解：（1）因?yàn)椤?、?gòu)成等差數(shù)列， 所以，所以. ……（2分） 又因?yàn)?，所以? ……（3分） 所以橢圓的方程為. ……（4分） （2）假設(shè)存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直． 設(shè)方程為 …（5分） 將其代入，整理得 …（6分） 設(shè)，，所以 ． 故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．所以 ．……（8分） 因?yàn)?，所以 ， 解得 ， 即 ……（10分） 和相似，若，則 ……（11分） 所以 ， ……（12分） 整理得 ． ……（13分） 因?yàn)榇朔匠虩o解，所以不存在直線，使得 ． ……（14分） 21.（本題滿分分） 解：（1） ......(1分) 令，解得 ......(2分) 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： ＋ 0 － 遞增 極大值 遞減 ......(3分) 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.......(5分) （2）證明：當(dāng)時(shí)，， 由(1)知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減． 令． .....(6分) 由于在內(nèi)單調(diào)遞增，故，即.......(7分) 取，則. 所以存在，使， 即存在，使． ……..（9分） (說明：的取法不唯一，只要滿足，且即可．) （3）證明：由及(1)的結(jié)論知， 從而在上的最小值為， ......(10分) 又由，，知 .......(11分) 故即 ......(13分) 從而 ………（14分）