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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題10 圓錐曲線(含解析)
橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.橢圓的定義:
(1)第一定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.
(2)第二定義:平面內(nèi)與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(0
0)
3. 幾何性質(zhì):
(1)范圍
?。?)中心 坐標(biāo)原點(diǎn)
?。?)頂點(diǎn)
?。?)對(duì)稱軸 軸,軸,長(zhǎng)軸長(zhǎng),短軸長(zhǎng)
(5)焦點(diǎn) 焦距 ,()
?。?)離心率 ,()
?。?)準(zhǔn)線
?。?)焦半徑
(9)通徑
?。?0)焦參數(shù)
【講一講提高技能】
1. 必備技能:
(1)要能夠靈活應(yīng)用圓錐曲線的兩個(gè)定義(及其“括號(hào)”內(nèi)的限制條件)解決有關(guān)問(wèn)題,如果涉及到其兩焦點(diǎn)(或兩相異定點(diǎn)),那么優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義;如果涉及到焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題,也要重視第一定義和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用,尤其注意圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運(yùn)用。
(2)橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于|F1F2|時(shí),其動(dòng)點(diǎn)軌跡就是線段F1F2;當(dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和小于|F1F2|時(shí),其軌跡不存在.
(3)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
①定義法:根據(jù)橢圓定義,確定的值,再結(jié)合焦點(diǎn)位置,直接寫出橢圓方程.
②待定系數(shù)法:根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是在y軸上,設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(4)橢圓中有一個(gè)十分重要的△OF1B2(如圖),它的三邊長(zhǎng)分別為.易見(jiàn),且若記,則.
(5)在掌握橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上,能對(duì)橢圓性質(zhì)有更多的了解,如:
①與分別為橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小值;
②橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng),過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)的最小值.
(6)共離心率的橢圓系的方程:橢圓的離心率是,方程是大于0的參數(shù),的離心率也是 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.
2. 典型例題:
例1已知橢圓C:的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為,過(guò)F2的直線l交C與A,B兩點(diǎn),若△AF1B的周長(zhǎng)為,則C的方程為( )
A. B. C. D.
分析:直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn),因此可聯(lián)想橢圓的定義,確定長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距,進(jìn)一步確定橢圓方程.
例2設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為橢圓上的點(diǎn),且,則橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析:根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì),由得中利用三角函數(shù)的定義算出,利用勾股定理算出,進(jìn)而得到長(zhǎng)軸,即可算出該橢圓的離心率.
,
,
,故選D
【練一練提升能力】
1.設(shè),是橢圓:=1(>>0)的左、右焦點(diǎn),為直線上一點(diǎn),△是底角為的 等腰三角形,則的離心率為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
2. 過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓:相交于,若是線段的中點(diǎn),則橢圓的離心率為 .
【答案】
【解析】設(shè),則由兩式相減變形得:即,從而
雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.雙曲線的定義:
(1)第一定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.
(2)第二定義:平面內(nèi)與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.().
2.圖形與方程(以一個(gè)為例)
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程:(a>0,b>0)
3. 幾何性質(zhì):
?。?)范圍
(2)中心 坐標(biāo)原點(diǎn)
?。?)頂點(diǎn)
?。?)對(duì)稱軸 軸,軸,實(shí)軸長(zhǎng),虛軸長(zhǎng)
?。?)焦點(diǎn) 焦距 ,()
?。?)離心率 ,()
?。?)準(zhǔn)線
?。?)漸近線:
?。?)焦半徑
(10)通徑
?。?1)焦參數(shù)
【講一講提高技能】
1.必備技能:
A.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法,根據(jù)題目的條件,判斷是否滿足雙曲線的定義,若滿足,求出相應(yīng)的a、b、c即可求得方程.
(2)待定系數(shù)法,其步驟是:
①定位:確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上;
②設(shè)方程:根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程;
③定值:根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù).
B.幾種特殊情況的標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法
(1)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為.
(2)漸近線為的雙曲線方程為.
(3)與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線方程為.
(4)與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程為.
C.雙曲線漸近線的斜率與離心率的互化
漸近線的斜率為或,它與離心率可通過(guò)以下關(guān)系聯(lián)系起來(lái):.
D.直線與雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,通常涉及雙曲線的性質(zhì)、最值、弦長(zhǎng)、垂直、中點(diǎn)等問(wèn)題.解決的方法通常是把雙曲線方程C:與直線方程l:y=kx+m(m≠0)聯(lián)立消去y,可整理成的形式,當(dāng),即時(shí),直線l與雙曲線C的漸近線平行,直線l與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),也就是說(shuō)“直線l與雙曲線C有一個(gè)交點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要而不充分條件.當(dāng),即時(shí),再通過(guò)研究整理出來(lái)的一元二次方程去解決有關(guān)弦長(zhǎng)、最值等問(wèn)題.
2.典型例題:
例1已知為雙曲線:的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為( )
A. B. 3 C. D.
分析:要求點(diǎn)到的一條漸近線的距離,一是要明確漸近線的方程;二是明確的坐標(biāo),而這些當(dāng)轉(zhuǎn)化得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后,不難得到.
例2雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)三等分焦距,則雙曲線的離心率為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】
試題分析:因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)三等分焦距,,,故選B
【練一練提升能力】
1. 已知雙曲線的一條漸近線平行于直線:,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上,則雙曲線的方程為 ( )
(A) (B) (C) ?。―)
【答案】A.
【解析】由已知得在方程中令,得所求雙曲線的方程為,故選A.
2.已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn),分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),為的內(nèi)心,若成立,則雙曲線的離心率為( )
A.4 B. C.2 D.
【答案】C
【解析】
拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1. 拋物線的定義:
平面內(nèi)與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡. (e=1)
2.圖形與方程(以一個(gè)為例)
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程:
3. 幾何性質(zhì):
?。?)范圍 經(jīng),
(2)中心 無(wú)
?。?)頂點(diǎn)
(4)對(duì)稱軸 軸
?。?)焦點(diǎn) 焦距 無(wú)
?。?)離心率
(7)準(zhǔn)線
?。?)焦半徑
(9)通徑
?。?0)焦參數(shù)
【講一講提高技能】
1必備技能:
A.對(duì)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與,重點(diǎn)把握以下兩點(diǎn):
(1)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,恒為正數(shù);
(2)方程形式有四種,要搞清方程與圖形的對(duì)應(yīng)性,其規(guī)律是“對(duì)稱軸看一次項(xiàng),符號(hào)決定開(kāi)口方向”.
B.拋物線的幾何性質(zhì)以考查焦點(diǎn)與準(zhǔn)線為主.根據(jù)定義,拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等,可得以下規(guī)律:
(1)拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離;
(2)拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離;
(3)拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離;
(4)拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離.
C.直線與拋物線的位置關(guān)系類似于前面所講直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系.
特別地,已知拋物線,過(guò)其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),設(shè).
則有以下結(jié)論:
(1),或 (為所在直線的傾斜角);
(2);
(3).
過(guò)拋物線焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑,拋物線的通徑長(zhǎng)為.
2典型例題:
例1設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)且傾斜角為的直線交于,兩點(diǎn),則 ( )
(A) (B) (C) (D)
分析:要求,須將拋物線方程與直線方程聯(lián)立,確定交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系,以應(yīng)用焦半徑公式.
例2直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且與拋物線交于、兩點(diǎn),若線段的長(zhǎng)是6,的中點(diǎn)到軸的距離是1,則此拋物線方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析:直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn),所以(為兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)),故.依題意中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,即,解得,所以此拋物線的方程為,故選B.
【練一練提升能力】
1. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,直線與拋物線相交于兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)為,則直線的方程為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
2. 已知點(diǎn)在拋物線C:的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得,拋物線的準(zhǔn)線方程為,且過(guò)點(diǎn),故,則,,則直線AF的斜率,選C.
(一) 選擇題(12*5=60分)
1. 已知橢圓的焦點(diǎn)是,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)到,使得,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線
【答案】A
【解析】
試題分析:根據(jù)橢圓的定義可知,,因?yàn)椋裕?,根?jù)圓的定義,點(diǎn)的軌跡是以為圓心,半徑為的圓,故選A.
2. 雙曲線的頂點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于對(duì)稱性,我們不妨取頂點(diǎn),取漸近線為,所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得.
3. 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上.如果線段的中點(diǎn)在軸上,那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
4.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上.如果線段的中點(diǎn)在軸上,那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析:設(shè)為橢圓的另一焦點(diǎn),則由題易知軸,即為通徑的一半,所以=,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,故選A.
5. 若實(shí)數(shù)滿足,則曲線與曲線的( )
A.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 B.虛半軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等
【答案】D
6.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),則此雙曲線的方程為 ( ?。?
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知,,∴,則①,由條件得,在上,即②,由①②得,∴雙曲線為.選C.
7.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),為拋物線的焦點(diǎn),為拋物線上一點(diǎn),若則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】
8.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),若關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為,且有,則此雙曲線的離心率為 ( )
A. B. C. D.2
【答案】D
【解析】
如圖,作出雙曲線的兩條漸近線,兩焦點(diǎn)為交漸近線于,則是的中點(diǎn),而又是的中點(diǎn),故有∥,從而,在中,,則,于是,所以,從而.
9. 已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是他們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A. B. C.3 D.2
【答案】A
10.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,,若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),則的方程為( )
A.或
B.或
C.或
D.或
【答案】C
【解析】
試題分析:因?yàn)閽佄锞€方程為,所以焦點(diǎn),設(shè),由拋物線性質(zhì),可得,因?yàn)閳A心是的中點(diǎn),所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,圓心橫坐標(biāo)為,由已知圓半徑也為,據(jù)此可知該圓與軸相切于點(diǎn),故圓心縱坐標(biāo)為,則點(diǎn)縱坐標(biāo)為,即,代入拋物線的方程得,所以或.所以拋物線的方程為或.
11.已知斜率為2的直線雙曲線交兩點(diǎn),若點(diǎn)是的中點(diǎn),則的離心率等于( )
(A) (B) 2 (C) (D)
【答案】D
12. 已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)為該拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上且滿足,當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)恰好在以,為焦點(diǎn)的雙曲線上,則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】
試題分析:如下圖所示,,,過(guò)作準(zhǔn)線的垂線,垂足是,由對(duì)稱性,不妨令在第一象限,∴,∴問(wèn)題等價(jià)于求的最小值,
而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
此時(shí),∴,故選C.
(二) 填空題(4*5=20分)
13. 在中,.若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),則該橢圓的離心率 .
【答案】
【解析】
14. 已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,則此橢圓方程為 .
【答案】
【解析】此橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的焦點(diǎn)為,說(shuō)明橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且,又頂點(diǎn)的坐標(biāo)為說(shuō)明,從而,故橢圓方程為.
15.已知橢圓:的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為()的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).若,則=________.
【答案】
【解析】
16.在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為,短軸的一個(gè)端點(diǎn). 設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到的距離為. 若,則橢圓的離心率為 .
【答案】
【解析】依題意,作于,則,又,解得,而橢圓準(zhǔn)線的方程為, ,設(shè)直線與軸交于,則點(diǎn)到直線的距離,
∵,∴,整理的,兩邊平方,,
∴,又,解得.
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