《標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對標(biāo)準(zhǔn)偏差》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對標(biāo)準(zhǔn)偏差（22頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、標(biāo)準(zhǔn)偏差 標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)離差或均方根差） 是反映一組測量數(shù)據(jù) 離散程度 的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。是指統(tǒng) 計(jì)結(jié)果在某一個時段內(nèi)誤差上下波動的幅度。是 正態(tài)分布 的重要參數(shù)之一。 是測量變動的統(tǒng)計(jì)測 算法。它通常不用作獨(dú)立的指標(biāo)而與其它指標(biāo)配合使用。 標(biāo)準(zhǔn)偏差在 誤差理論、質(zhì)量管理、計(jì)量型抽樣檢驗(yàn) 等領(lǐng)域中均得到了廣泛的應(yīng)用。因此 ，標(biāo) 準(zhǔn)偏差的計(jì)算十分重要，它的準(zhǔn)確與否對器具的不確定度、 測量的不確定度以及所接收產(chǎn)品的質(zhì) 量有重要影響。然而在對標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算中 ，不少人不論測量次數(shù)多少 ，均按貝塞爾公式 計(jì)算。 樣本標(biāo)準(zhǔn)差的表示公式 數(shù)學(xué)表達(dá)式： （叼—x）2 + （叼—i）2 + *

2、 …+ （叭一可 71 — 1 S-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%） n值不應(yīng)少于 20-30個 1?n ； ? n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般 i-物料中某成分的各次測量值, 標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法 *在價(jià)格變化劇烈時，該指標(biāo)值通常很高。 *如果價(jià)格保持平穩(wěn)，這個指標(biāo)值不高。 ?在價(jià)格發(fā)生劇烈的上漲/下降之前，該指標(biāo)值總是很 低。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟是： 步驟一、（每個樣本數(shù)據(jù)-樣本全部數(shù)據(jù)之平均值）2 步驟二、把步驟一所得的各個數(shù)值相加。 步驟三、把步驟二的結(jié)果除以 （n - 1） （ “n指樣本數(shù)目）。 步驟四、從步驟三所得的數(shù)值之平方根就是 抽樣的標(biāo)準(zhǔn)

3、偏差。 六個計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式⑴ 標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式 設(shè)對真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測量 ，其測得值為11、12、……In。令測得值丨與該量真 值X之差為真差占 q則有 02 = I 2 - X On = I n - X 我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)差）q為 3 # 更艮X -力仏一天戶 (1) 由于真值X都是不可知的，因此真差q占也就無法求得,故式只有理論意義而無實(shí)用價(jià)值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差q的常用估計(jì)一貝塞爾公式 由于真值是不可知的，在實(shí)際應(yīng)用中，我們常用n次測量的算術(shù)平均值 1(1 來代表真值。理論上也證明 隨著測量次數(shù)的

4、增多 術(shù)平均值最接近真值，當(dāng)門一時，算術(shù)平均值就是真值。 于是我們用測得值 li與算術(shù)平均值 …之差一一剩余誤差（也叫殘差） Vi來代替真差 q,即 Vi = Lt-L 設(shè)一組等精度測量值為 1l、12、……l 則 I — ■- .1 — L Vn = ln — L 通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差 b與剩余誤差V的關(guān)系為 5 # 式(2)就是著名的貝塞爾公式 (Bessel)。 它用于有限次測量次數(shù)時標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算。由于當(dāng) ?！?心：時， a n ： \可見貝塞爾公式與①的定義式⑴是完全一致的 應(yīng)該指岀，在

5、n有限時，用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的一個估計(jì)值。它不是總體標(biāo) 準(zhǔn)偏差b因此，我們稱式⑵為標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn) ，我們將b的估計(jì)值用 “ S表示。于是，將式⑵改寫為 (2)  在求S時，為免去求算術(shù)平均值 匚的麻煩，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有 n n E(Zi-^)2 = /r i=zi a (W 于是，式(2)可寫為 (2") 按式(2")求S時，只需求岀各測得值的平方和 71 71 口 7 (Z)2 ■■-■I 和各測得值之和的平方藝 ,即 標(biāo)準(zhǔn)偏差b的無偏估計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義S2為樣本方差 I n 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明 S2是

6、總體方差 b的無偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中 ，S2圍繞b散布，它們之 間沒有系統(tǒng)誤差。而式(2)在n有限時,S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的無偏估計(jì)，也就是說S和b之 間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們 ，對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體，總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的無偏估 計(jì)值?為 6 # # 7 即Si和S僅相差一個系數(shù) K 0, K。是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關(guān)的一個系數(shù) ，K。值見表 計(jì)算K。時用到 rn + 1) = n r n) F(*)=麻 r(i)= i 表i 人值 n 廠

7、a n n 2 1,2533 7 LW24 20 1.0132 60 k0043 3 L1284 8 1,0362 25 L0105 曲 L0036 4 L0854 9 .1,0317 30 L0087 80 L0032 5 1.0638 10 L0281 40 1.0064 n 1.0028 6 1,0509 15 1.0180 50 1.0051 IOC L0025 由表1知，當(dāng)n>30時，.』」「；?：： I?。因此，當(dāng)n>30時，式(3)和式(2)之間的 差異可略而不計(jì)。在 n=30

8、?50時，最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng) n<10時，由于K。值的影 響已不可忽略，宜用式(3),求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計(jì) 將o的定義式(1)中的真值X用算術(shù)平均值 二代替且當(dāng)n有限時就得到 1 _ i=l 7=1(M2  r j 血 i/rfi 1/血 2 1414 L128 0*886 20 3.735 i 0.268 3 L732 L693 6591 21 3 71% 0.265 4 2.000 2.059 0.486 22 3319 C.262 5 2.236

9、 2.326 賀 <3 3.858 0.259 6 2.450 7.S34 0^5 1 1 24 1 3.895 - 1 0,257 7 2.646 2.7W 0370 25 3.931 0.254 8 2腫 1 2.847 0351 30 4.086 0.245 9 3.00b 2,970 0337 35 4.219 0.237 I 10 3.162 3.078 0:325 40 4322 0.231 11 3317 3473 0315 | 45 4415 0.226 12 3.464 3

10、.258 0.307 50 4.498 0.222 n 3.606 :3.336 0.300 100 5.025 0499 14 3.742 3,407 0.294 200 5.495 0J82 15 3.873 3.472 0.288 400 5.882 0J7O 16 gooo 3+532 0.283 500 6.061 0J65 17 ；4.123 3,588 0.279 700 6,289 0J59 18 19 4.243 4359 3.640 1 3.689 0.275 0.271 10

11、00 6.494 0J54 - 式⑷適用于n>50時的情況，當(dāng)n>50時,n和(n-1)對計(jì)算結(jié)果的影響就很小了 2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差b的極差估計(jì)由于以上幾個標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式計(jì)算量較大 ，不宜現(xiàn)場采用 而極差估計(jì)的方法則有運(yùn)算簡便 ，計(jì)算量小宜于現(xiàn)場采用的特點(diǎn)。 n個樣本測得值中的最大值與最小 極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的 值之差。 若對某量作次等精度測量測得 li、■‘ ，且它們服從正態(tài)分布，則 l max l min 概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式為 (5) S3稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差b的無偏極差估計(jì)，d2為與樣本個數(shù)n(測

12、得值個數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù)，其 值見表2 9 由表2知，當(dāng)nW 15時，「二\ ■ ■,因此，標(biāo)準(zhǔn)偏差b更粗略的估計(jì)值為 10 # (5) # # 還可以看岀，當(dāng)200W nWlOOO時，芒亡$因而又有 (5") 顯然，不需查表利用式(5)和(5") 了即可對標(biāo)準(zhǔn)偏差值作岀快速估計(jì) ，用以對用貝塞爾公式 及其他公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 應(yīng)指岀，式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低 ，但當(dāng)5W nW 15時式(5)不僅大大提高了計(jì) 算速度，而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n>10時，由于舍去數(shù)據(jù)信息較多，因此誤差較大

13、，為了提高準(zhǔn)確度 這時應(yīng)將測得值分成四個或五個一組 ，先求岀各組的極差 Ri、;-,再由各組極差求岀 極差平均值 R\ + J?2 + * …+ Rk 極差平均值和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 ds 需指岀，此時d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù) n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù) N(=nK)去查表2再則，分組 時一定要按測得值的先后順序排列 ，不能打亂或顛倒。 標(biāo)準(zhǔn)偏差b的平均誤差估計(jì) 平均誤差的定義為 ij = lim +應(yīng)| h |九| n  誤差理論給出 2 4 T] = \ —6 = 0,7979(/ Q -a V tt 5 (A) n n EN El^l 可以證明亨=

14、? 與—1 的關(guān)系為 12 # (證明從略) # # (B) 于是 由式(A)和式(B)得 也⑺- 1) 2, 7T # # 從而有 # # S4 = = n — 1) # # =1.2533 啓 Vn(n- 1) n(n — 1) 式⑹就是佩特斯(CAF.Peters.1856) 公式。用該公式估計(jì) S值，由于\right|V\right|不需平方 故計(jì)算較為簡便。但該式的準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。

15、 標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實(shí)例⑴ 對標(biāo)稱值Ra = 0.160 < math > m < math >的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定 ，順次測得以下15個 數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74 和 1.63 ^m,試求該 樣塊Rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。 解：1）先求平均值.< =1.60 + 一 12 + 5 + 0+ 7- 8-14 +12 + 9+17 + 4-4-10 + 4 + 4+ 3 15 x 100 =1.60 I 27 15 x 100 =1.618(

16、< math > fim < math > i 2）再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S 若用無偏極差估計(jì)公式式 （5）計(jì)算，首先將測得的,15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組 ，每組五個 見表3。 表3 組號 l_1 l_5 R 1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.19 2 1.46 1.72 1.69 1.77 64 0.31 3 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24 1 a —=0.43 因每組為5個數(shù)據(jù),按n=5由表2查得 二 故 14 St = 1 ff = 0,43 x 0

17、.247 = 0.10621 (< math > pm < math >) 若按常用估計(jì)即貝塞爾公式式 （2）,則 n =0?09&2(< math > pm < math > i 15 # 若按無偏估計(jì)公式即式 （3）計(jì)算，因n=15，由表1查得Ks = 1.018,則 Si = KfiS = 1.018 x 0,0962 = 0.09793(< math > jim < math >) 若按最大似然估計(jì) 公式即式（4）計(jì)算，則 # # 1 / 24.27s 15 X I.393985

18、 -— =0.09296( < math >< math > ) 若按平均誤差估計(jì)公式即式 （6）,則 1J533 血伍一 1） =1.2533 x 1.176 /15 x 14 =0-1017(< math > pm < math >) # # 現(xiàn)在用式（5）對以上計(jì)算進(jìn)行校核 1 _ 1 、 ~^=R = -^== x 0.247 = 0.0637(< math > jim < math > i 可見以上算得的 S、S1、S2、S3和S沒有粗大誤差。 由以上計(jì)算結(jié)果可知 0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1

19、062 即 S2 < S < Si < S4 < S3 可見，最大似然估計(jì)值最小，常用估計(jì)值S稍大，無偏估計(jì)值Si又大，平均誤差估計(jì)值 S4再 大，極差估計(jì)值S3最大。縱觀這幾個值，它們相當(dāng)接近，最大差值僅為0.01324 □。從理論上講， 用無偏估計(jì)值和常用估計(jì)比較合適 ，在本例中，它們僅相差0.0017呵。可以相信，隨著的增大， S、Si、S2、S和S4之間的差別會越來越小。 就本例而言，無偏極差估計(jì)值 S3和無偏估計(jì)值 Si僅相差0.0083卩m,這說明無偏極差估計(jì)是 既可以保證一定準(zhǔn)確度計(jì)算又簡便的一種好方法。 JJG102-89《表面粗糙度比較樣塊》 規(guī)定Ra的平均值對其標(biāo)稱

20、值的偏離不應(yīng)超過 +12%?17%, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值的 4%?12%之間。已得本樣塊二 產(chǎn)— 口 ?八丄W產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi)，故該樣塊合格。 標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別 標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation) 各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離( 離均差)的平均數(shù)，它是離差平方 和平均后的方根。用b表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 標(biāo) 準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗(yàn)， A組的分?jǐn)?shù)為 95、85、75、65、55、 45, B組的分?jǐn)?shù)為 73、72、71、69、68、67。這兩組的

21、平均數(shù)都是 70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08 分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為 2.16分，說明A組學(xué)生之間的差距要比 B組學(xué)生之間的差距大得多。 標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation)- 統(tǒng)計(jì)學(xué) 名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標(biāo) 準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦 然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來衡量。 有人經(jīng)?；煊镁礁`差(RMSE )與標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation )，實(shí)際上 二者并不是一回事。 1?均方根誤差 均方根誤差為了說明樣本的離散程度。 均方根誤差(root-me

22、an-square error )亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差, i = 1， 2， 3，…n。在有限測量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示: 18 式中，n為測量次數(shù)；di為一組測量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計(jì)分布是正 態(tài)分布，那么隨機(jī)誤差落在土 c以內(nèi)的概率為68%。 2.標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。 均方根值也稱作為效值，它的計(jì)算方法是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為 100V而 占空比為0.5的方波信號，如果按平均值計(jì)算，它的電壓只有50V，而按均方根值計(jì)算則有

23、70.71V。這是為什么呢？舉一個例子，有一組 100伏的電池組，每次供電 10分鐘之后停 10分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動的是 10Q電阻，供電的10分鐘產(chǎn)生 10A的電流和1000W 的功率，停電時電流和功率為零。 那么在20分鐘的一個周期內(nèi)其平均功率為 500W，這相當(dāng)于70.71V的直流電向10Q電阻 供電所產(chǎn)生的功率。而 50V直流電壓向10Q電阻供電只能產(chǎn)生的 250W的功率。對于電機(jī) 與變壓器而言，只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時間內(nèi)過載，也不會燒壞。 PMTS1.0抽油機(jī)電能圖測試儀對電流、電壓與功率的測試計(jì)算都是按有效值進(jìn)行的，不會 因?yàn)殡娏?/p>

24、電壓波形畸變而測不準(zhǔn)。這一點(diǎn)對于測試變頻器拖動的電機(jī)特別有用。 均方根誤差 為了說明樣本的離散程度。 對于N1,....Nm,設(shè)N=(N1+...+Nm)/m;則均方根誤差記作： t=sqrt(((NA2-N1A2)+...+(NA2-NmA2))/(m(m-1))) ; 比如兩組樣本： 第一組有以下三個樣本： 3，4，5 第二組有一下三個樣本： 2，4，6 這兩組的平均值都是 4，但是第一組的三個數(shù)值相對更靠近平均值，也就是離散程度小，均 方差就是表示這個的。 同樣，方差、標(biāo)準(zhǔn)差(方差開根，因?yàn)閱挝徊唤y(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。 幾種典型平均值的求法 (1 )算術(shù)平

25、均值這種平均值最常用。設(shè) x1、x2、…、x n為各次的測量值，n代表測 量次數(shù)，則算術(shù)平均值為 - 旳 n (4)對數(shù)平均值 19 (4)對數(shù)平均值 # (2)均方根平均值 (4)對數(shù)平均值 # (4)對數(shù)平均值 # (3)幾何平均值 (4)對數(shù)平均值 # (4)對數(shù)平均值 # 20 相對標(biāo)準(zhǔn)方差的計(jì)算公式 準(zhǔn)確度 精密度 誤差 偏差 絕對誤差 占二兀一# 或 S = x-fi 平均偏差 A - 1，=1 標(biāo)準(zhǔn) 偏差(n > 5) 氏(再-x)2 2=1

26、n W - 1 相對誤差<%) s = 7_//xl00% 相對平均偏差 -X100% 相對標(biāo)準(zhǔn)偏差 = -=<100% 準(zhǔn)確度：測定值與真實(shí)值符合的程度 絕對誤差：測量值（或多次測定的平均值）與真（實(shí)）值之差稱為絕對誤差，用 表示。 相對誤差：絕對誤差與真值的比值稱為相對誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。 絕對誤差可正可負(fù)，可以表明測量儀器的準(zhǔn)確度，但不能反映誤差在測量值 中所占比例，相對誤差反映測量誤差在測量結(jié)果中所占的比例， 衡量相對誤差更 有意義。 例：用刻度0.5cm的尺測量長度，可以讀準(zhǔn)到0.1cm,該尺測量的絕對誤差 為0.1cm；用刻度1mn!勺尺測量長度，可以讀準(zhǔn)

27、到 0.1mm該尺測量的絕對誤差 為 0.1mm 例：分析天平稱量誤差為0.1mg,減重法需稱2次，可能的最大誤差為0.2mg, 為使稱量相對誤差小于0.1%，至少應(yīng)稱量多少樣品？ 解：-=^2^x100% 二 3tl（12gxl00% < 0. IX P A “ 答：稱量樣品量應(yīng)不小于0.2g。 真值（卩）：真值是客觀存在的，但任何測量都存在誤差，故真值只能逼近而不 可測知，實(shí)際工作中，往往用“標(biāo)準(zhǔn)值”代替“真值”。標(biāo)準(zhǔn)值：采用多種可靠 的分析方法、由具有豐富經(jīng)驗(yàn)的分析人員經(jīng)過反復(fù)多次測定得出的結(jié)果平均值。 精密度：幾次平行測定結(jié)果相互接近的程度。 各次測定結(jié)果越接近，精密度越

28、高，用偏差衡量精密度。 偏差：單次測量值與樣本平均值之差：1 平均偏差：各次測量偏差絕對值的平均值。 相對平均偏差：平均偏差與平均值的比值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差：各次測量偏差的平方和平均值再開方， 比平均偏差更靈敏的反映較大 偏差的存在，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上更有意義。 相對標(biāo)準(zhǔn)偏差（變異系數(shù)） 例：分析鐵礦石中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)： 37.45，37.20, 37.50, 37.30, 37.25（ %，計(jì)算測結(jié)果的平均值、平均偏差、相對平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏 差、變異系數(shù)。 解：7 -31.34% 各次測量的偏差分別是:0 lb -0.14, -0 04, 0.16, -0 19 d =（0.11+0.14+ 0.04+0 16+0.19） /5 =0.13% ^100%=0 13/37.34=0.35% S=0.13% RSD=0 13X100%/37 34=a 4% 準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系： 1） 精密度是保證準(zhǔn)確度的先決條件：精密度不符合要求，表示所測結(jié)果不 可靠，失去衡量準(zhǔn)確度的前提。 2） 精密度高不能保證準(zhǔn)確度高。 換言之，準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)一定是精密的，精密的實(shí)驗(yàn)不一定是準(zhǔn)確的。 重復(fù)性試驗(yàn)按擬定的含量測定方法，對同一批樣品進(jìn)行多次測定（平行試驗(yàn)至少 5次以上，即n>5），計(jì)算相對標(biāo)準(zhǔn)偏差（RSD，—般要求低于5% 22