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海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué) （理科） 2010.5 審核：陳亮 校對：張浩 一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項. 1．已知集合，，則 A． B． C． D． 2．函數(shù)圖象的對稱軸方程可以為 A． B． C． D． 3．如圖，是⊙O的直徑，切⊙O于點， 連接，若，則的大小為 A. B. C. D. 4．函數(shù)在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．3 開始 S=0 M S=S+k 結(jié)束 輸出S 是 否 k=1 5．已知不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則的值為 A．1 B． C．1或 D．0 6．已知，是不同的直線，，是不同的平面，則下列條件能 使成立的是 A．， B．， C．， D．， 7．按照如圖的程序框圖執(zhí)行，若輸出結(jié)果為15，則M處條件為 A． B． C． D． 8．已知動圓C經(jīng)過點(0，1),并且與直線相切，若直線與圓C有公共點，則圓C的面積 A．有最大值為 B．有最小值為 C．有最大值為 D．有最小值為 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上. 9．在極坐標(biāo)系中，若點()是曲線上的一點，則 . 10．某校高中年級開設(shè)了豐富多彩的校本課程，甲、乙 兩班各隨機(jī)抽取了5名學(xué)生的學(xué)分，用莖葉圖表示（如 右圖）.，分別表示甲、乙兩班各自5名學(xué)生學(xué)分的 標(biāo)準(zhǔn)差，則 .（填“”、“”或“＝”） 11．已知向量a=，b=，若，則 ； . 12. 已知數(shù)列滿足，（N），則的值為 . 13．在中，角,,所對應(yīng)的邊分別為,,，若，則的最大值為 . 14．給定集合，映射滿足： ①當(dāng)時，； ②任取若，則有. .則稱映射：是一個“優(yōu)映射”.例如：用表1表示的映射：是一個“優(yōu)映射”. 表1 表2 1 2 3 2 3 1 1 2 3 4 3 （1）已知表2表示的映射： 是一個優(yōu)映射，請把表2補(bǔ)充完整（只需填出一個滿足條件的映射）； （2）若映射：是“優(yōu)映射”，且方程的解恰有6個，則這樣的“優(yōu)映射”的個數(shù)是_____. 三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程. 15．（本小題滿分13分） 記等差數(shù)列的前n項和為，已知. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項和. 16．（本小題滿分14分） 已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)棱，其中，為側(cè)棱上的兩個三等分點，如圖所示. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 17．（本小題滿分13分） 為保護(hù)水資源，宣傳節(jié)約用水，某校4名志愿者準(zhǔn)備去附近的甲、乙、丙三家公園進(jìn)行宣傳活動，每名志愿者都可以從三家公園中隨機(jī)選擇一家，且每人的選擇相互獨(dú)立. （Ⅰ）求4人恰好選擇了同一家公園的概率； （Ⅱ）設(shè)選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為，試求的分布列及期望． 18．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，其中a為常數(shù)，且. （Ⅰ）若，求函數(shù)的極值點； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍. 19．（本小題滿分13分） 已知橢圓和拋物線有公共焦點F(1,0), 的中心和的頂點都在坐標(biāo)原點，過點M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點. （Ⅰ）寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若，求直線的方程； （Ⅲ）若坐標(biāo)原點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值. 20．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義： ， ． 其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值．若存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”． （Ⅰ）若，，試寫出，的表達(dá)式； （Ⅱ）已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的；如果不是，請說明理由； （Ⅲ）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.  海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué) （理） 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2010．5 說明： 合理答案均可酌情給分，但不得超過原題分?jǐn)?shù). 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A B A D 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．1 10． 11．2 ； 12．48 13． 14． ；84. 三、解答題(本大題共6小題,共80分) 15．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由， 可得 ， ………………………2分 即， 解得， ………………………4分 ∴， 故所求等差數(shù)列的通項公式為. ………………………5分 （Ⅱ）依題意，， ∴ ， ………………………7分 又， …………………9分 兩式相減得 ………………………11分 ， ………………………12分 ∴. ………………………13分 16．（本小題滿分14分） （Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié) ， ， ， ………… 1分 ， ， ， ………… 3分 ， . ………… 4分 （Ⅱ）如圖所示，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， ，，, , ………………………5分 , ………………………7分 異面直線與所成角的余弦值為 . ………………………8分 （Ⅲ）側(cè)棱, , ………………………9分 設(shè)的法向量為, ，并且, ，令得，, 的一個法向量為 . ………………………11分 , ………………………13分 由圖可知二面角的大小是銳角, 二面角大小的余弦值為 . .………………………14分 17． （本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）設(shè)“4人恰好選擇了同一家公園”為事件A. ………………1分 每名志愿者都有3種選擇，4名志愿者的選擇共有種等可能的情況 . …………………2分 事件A所包含的等可能事件的個數(shù)為3， …………………3分 所以，. 即：4人恰好選擇了同一家公園的概率為. ………………5分 （Ⅱ）設(shè)“一名志愿者選擇甲公園”為事件C，則. .………………………6分 4人中選擇甲公園的人數(shù)可看作4次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件C發(fā)生的次數(shù)，因此，隨機(jī)變量服從二項分布. 可取的值為0，1，2，3，4. .………………………8分 ， . .………………………10分 的分布列為: 0 1 2 3 4 .………………………12分 的期望為． .………………………13分 18.（本小題滿分13分） 解法一：（Ⅰ）依題意得，所以， .………………………1分 令，得， .………………………2分 ，隨x的變化情況入下表： x － 0 + 0 － 極小值 極大值 ………………………4分 由上表可知，是函數(shù)的極小值點，是函數(shù)的極大值點. ………………………5分 （Ⅱ） , .………………………6分 由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：對任意恒成立， .………………………7分 當(dāng)時，，顯然對任意恒成立； .…………………8分 當(dāng)時，等價于， 因為，不等式等價于, .………………………9分 令， 則，在上顯然有恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增， 所以在上的最小值為， .………………………11分 由于對任意恒成立等價于對任意恒成立， 需且只需，即，解得，因為，所以. 綜合上述，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為. .………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）, .………………………6分 由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：對任意恒成立， 即對任意恒成立， …………………7分 當(dāng)時，，顯然對任意恒成立； …………………8分 當(dāng)時，令，則函數(shù)圖象的對稱軸為， .………………………9分 若，即時，函數(shù)在單調(diào)遞增，要使對任意恒成立，需且只需，解得，所以; ..………………………11分 若，即時，由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，假如對任意恒成立，則有，解得，與矛盾，所以不能對任意恒成立. 綜合上述，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為. .………………………13分 19．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：， …………2分 （Ⅱ）設(shè)直線的方程為：. 聯(lián)立，消去，得 ， ………………3分 顯然，設(shè)， 則 ① ② …………………4分 又，所以 ③ …………………5分 由①② ③消去，得 ， 故直線的方程為或 . …………………6分 （Ⅲ）設(shè)，則中點為， 因為兩點關(guān)于直線對稱， 所以，即，解之得， …………………8分 將其代入拋物線方程，得： ，所以，. ………………………9分 聯(lián)立 ，消去，得： . ………………………10分 由，得 ，即， …………………12分 將，代入上式并化簡，得 ，所以，即， 因此，橢圓長軸長的最小值為. ………………………13分 20．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由題意可得: , ………………………1分 . ………………………2分 （Ⅱ）, ………………………3分 , ………………………4分 , ………………………5分 當(dāng)時，,; 當(dāng)時，; 當(dāng)時，. 綜上所述， ………………………6分 即存在，使得是上的4階收縮函數(shù). ………………………7分 （Ⅲ）,令得或. 函數(shù)的變化情況如下： 令，解得或3. ………………………8分 ?。r，在上單調(diào)遞增，因此，，. 因為是上的2階收縮函數(shù)， 所以，①對恒成立； ②存在，使得成立. ………………………9分 ①即：對恒成立， 由，解得：或， 要使對恒成立，需且只需. .………………………10分 ②即：存在，使得成立. 由得：或， 所以，需且只需. 綜合①②可得：. .………………………11分 ⅱ）當(dāng)時，顯然有，由于在上單調(diào)遞增，根據(jù)定義可得： ，， 可得 ， 此時，不成立. .………………………13分 綜合ⅰ）ⅱ）可得：. 注：在ⅱ）中只要取區(qū)間（1，2）內(nèi)的一個數(shù)來構(gòu)造反例均可，這里用只是因為簡單而已.