《基金使用計(jì)劃數(shù)學(xué)建模》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《基金使用計(jì)劃數(shù)學(xué)建模（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、題目 基金使用計(jì)劃 摘要 學(xué)?；饡?huì)有一筆基金，打算將其存入銀行或購(gòu)買國(guó)庫(kù)券，不同的理財(cái)方式當(dāng)然有不同的最終獎(jiǎng)金數(shù)額，本論文就是通過(guò)建模找出是獎(jiǎng)金最大化的理財(cái)方式，根據(jù)題目中的不同利率找出最好的處理方式。 第一個(gè)問(wèn)題在只能存款時(shí)使獎(jiǎng)金最大，通過(guò)對(duì)題目中不同年份的存款利率可知，為了使獎(jiǎng)金最大化要使獎(jiǎng)金不能出現(xiàn)閑置，又因?yàn)楠?jiǎng)金都是在年末發(fā)放，所以活期、半年期都不能選擇，依題意可得只有在每年年初可以建立線性方程組，設(shè)出獎(jiǎng)金，使用lingo軟件對(duì)其進(jìn)行編程求解可以計(jì)算出獎(jiǎng)金的最大額：萬(wàn)元。通過(guò)解線性方程組還可以求解出每年基金的投資方式以達(dá)到最大獎(jiǎng)金數(shù)額，解出獎(jiǎng)金最多的問(wèn)題。 第二個(gè)問(wèn)題在既可以

2、存款又可以購(gòu)買國(guó)庫(kù)券時(shí)解出獎(jiǎng)金的最大數(shù)額，通過(guò)分析題目中的數(shù)據(jù)可知國(guó)庫(kù)券的利率要大于存款利率，所以在兩種方式都可以的情況下優(yōu)先考慮購(gòu)國(guó)庫(kù)券，由題目可知每年都會(huì)發(fā)放國(guó)庫(kù)券但是發(fā)放日期不定。在這種情況下就要分三種情況討論，國(guó)庫(kù)券分別每年在年中發(fā)放、在年初發(fā)放、在其他時(shí)期發(fā)放。在國(guó)庫(kù)券分為三種情況發(fā)放可以按三種情況分別列出線性方程組。求解出每種情況下的獎(jiǎng)金數(shù)額，獎(jiǎng)金數(shù)額分別為萬(wàn)元、萬(wàn)元、萬(wàn)元，同樣可以解出在三種情況下每年年初可以選擇的投資方式。 第三個(gè)問(wèn)題是在沒(méi)有要求采取哪種方式時(shí)解出最大獎(jiǎng)金額，從題目中給出的條件，在第三年的時(shí)候因?yàn)閷W(xué)校要舉行校慶活動(dòng)，為了鼓舞師生在這一年中獎(jiǎng)金數(shù)額要比往年增加2

3、0%，解決這個(gè)問(wèn)題可以分為兩種情況。第一種在只能選擇存款，這種情況可以利用問(wèn)題一的模型，只需要把第三年的獎(jiǎng)金改為原來(lái)的1.2倍。解出線性方程組，此種情況下的獎(jiǎng)金數(shù)額是萬(wàn)元。第二種在既可以選擇國(guó)庫(kù)券又可以存款，在這種情況下又可以分為三種小情況分別是國(guó)庫(kù)券在年中、年初、一年中其他時(shí)間。采用問(wèn)題二中的模型分別列出線性方程組，求解出每種小情況下的獎(jiǎng)金數(shù)額萬(wàn)元、萬(wàn)元、萬(wàn)元?？梢郧蠼獬鲈诿糠N情況下的獎(jiǎng)金額。 關(guān)鍵詞 線性方程組 lingo軟件 最大獎(jiǎng)金額 一、問(wèn)題重述 現(xiàn)在每個(gè)學(xué)校發(fā)獎(jiǎng)學(xué)金是個(gè)很普遍的現(xiàn)象。每年學(xué)校都會(huì)拿出一部分獎(jiǎng)金來(lái)發(fā)給優(yōu)秀師生本文就是要找出使獎(jiǎng)金

4、最大化的理財(cái)方式。 某學(xué)校有一筆數(shù)額為元的基金，可以采取將其存入銀行或者購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的方式。假設(shè)國(guó)庫(kù)券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時(shí)間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。銀行可以隨時(shí)存款，?；饡?huì)計(jì)劃在年內(nèi)每年拿出一部分本息和來(lái)獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，要求每年的獎(jiǎng)金數(shù)額基本相同。在年后仍保留原基金數(shù)額。學(xué)校基金會(huì)希望通過(guò)比較存款和購(gòu)買國(guó)庫(kù)券找出最優(yōu)的處理方式。為了這個(gè)選出最佳的處理方式，題目中要求計(jì)算三種處理方式。問(wèn)題一要計(jì)算出的是在只存款不購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的情況下尋找出最優(yōu)的存款方式。條件中有各種存錢年份的利息。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)找出最優(yōu)的存錢方式，問(wèn)題二中要求出在既可以選擇存款又可以購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的情況下的最好的存款方式

5、，國(guó)庫(kù)券的年利率如下表所示，國(guó)庫(kù)券只有兩年、三年、五年三種不同的期限同樣要在這兩種方式中間合理分配存款來(lái)達(dá)到活力的最大化。問(wèn)題三中要解出學(xué)校在三年后要進(jìn)行校慶 ，基金決定這一年發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)目要比其他年份多20%，解決這個(gè)問(wèn)題要通過(guò)對(duì)前兩個(gè)問(wèn)題分析求出。 各種存錢方式和購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的年利率如下表。 表1：銀行存款和國(guó)庫(kù)券年利率 銀行存款稅后年利率（%） 國(guó)庫(kù)券年利率（%） 活期 0.792 半年期 1.664 一年期 1.800 二年期 1.944 2.55 三年期 2.160 2.89 五年期 2.304 3.14 二、模型假設(shè) 1、

6、假設(shè)每年發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)額都是相同的。 2、假設(shè)內(nèi)存款利率和國(guó)庫(kù)券利率不變。 3、假設(shè)基金在年末到位，獎(jiǎng)學(xué)金在基金到位后發(fā)放。 4、假設(shè)購(gòu)買國(guó)庫(kù)券不支付個(gè)人所得稅。 5、假設(shè)不會(huì)出現(xiàn)國(guó)庫(kù)券供不應(yīng)求的情況。 6、假設(shè)國(guó)庫(kù)券到期所得的本金和利息不購(gòu)買當(dāng)年的國(guó)庫(kù)券。 6、假設(shè)資金不會(huì)發(fā)生閑置的情況。 7、假設(shè)定期存款如果在沒(méi)有到期之前取出，就按照活期存款利率計(jì)算。 三、符號(hào)說(shuō)明 第存入年期的存款 第購(gòu)買年期的國(guó)庫(kù)券 年期的稅后年利率 年期的國(guó)庫(kù)券年利率 獎(jiǎng)金數(shù)額 四、問(wèn)題分析 問(wèn)題一中題目要求在只能存款不購(gòu)買國(guó)庫(kù)券時(shí)所獲得獎(jiǎng)金的最大額，從

7、題目中的各種存款年利率可以看出活期存款的年利率小于定期存款的年利率，從假設(shè)中可知獎(jiǎng)金在每年年末發(fā)放，半年期存款的利率小于一年期利率。所以活期和半年期存款不能選擇，這樣可供選擇的只有一年期、二年期、三年期和五年期。又因?yàn)樵谌魏螘r(shí)候紫金都不能閑置。所以解決這道題目時(shí)可以建立現(xiàn)行方程組，求出最優(yōu)解，通過(guò)建立線性方程組可以解出在每年年末取出資金后的處理方式。解線性方程組即可求得最大獎(jiǎng)金額。 問(wèn)題二中在既可以存款又可以購(gòu)買國(guó)庫(kù)券時(shí)。從題目中可知國(guó)庫(kù)券的年利率高于存款年利率，所以在既可以購(gòu)國(guó)庫(kù)券又可以存款時(shí)優(yōu)先購(gòu)買國(guó)庫(kù)券，國(guó)庫(kù)券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時(shí)間不定，在這種情況下就要分情況討論。在一年中不同時(shí)期

8、發(fā)放國(guó)庫(kù)券，要隨時(shí)準(zhǔn)備購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。為了不讓資金閑置，在沒(méi)發(fā)行國(guó)庫(kù)券時(shí)要存款?？梢苑秩N國(guó)庫(kù)券在年初發(fā)行、國(guó)庫(kù)券在每年的年中時(shí)期發(fā)行、國(guó)庫(kù)券在每年其他時(shí)間發(fā)行。對(duì)于三種情況分別建立線性方程組解出最大獎(jiǎng)金數(shù)額。 對(duì)于問(wèn)題三的分析可以從對(duì)以上兩問(wèn)的分析中找到方法。題目中要求在第三年時(shí)因?yàn)榕e行校慶要增加20%的獎(jiǎng)金數(shù)額。題目中沒(méi)有限制是只能存款還是即可以存款又可以購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。所以解決這個(gè)題目時(shí)要分兩種情況。第一種只能存款，這時(shí)可以建立與問(wèn)題一中相似的模型，建立線性方程組，此時(shí)把第三年的獎(jiǎng)金增加20%，解得線性方程組，可得最大獎(jiǎng)金數(shù)額。第二種情況又可以分為三種小情況，分別如問(wèn)題二中國(guó)庫(kù)券在年中、年初、

9、其他時(shí)間發(fā)行，分別建立線性方程組解得每種小情況的獎(jiǎng)金數(shù)額。這樣就能解出在各種情況下的獎(jiǎng)金數(shù)額。然后在計(jì)算出在第三年應(yīng)當(dāng)發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)額。 五、模型的建立與求解 5.1、問(wèn)題一模型的建立與求解 問(wèn)題一種通過(guò)分析表格中的每年的年利率可知活期存款年利率要小于定期存款的利率，半年期的存款存一年的利息的要小于一年期的存款利息，依題意可知獎(jiǎng)金是定期發(fā)放且在每年的年末發(fā)放，可知為了使利率的最大化應(yīng)當(dāng)舍去半年期和活期的存款方式 。 經(jīng)過(guò)分析可知第一年年末提取的現(xiàn)金只有一個(gè)來(lái)源，那就是在第一年年初存入銀行的一年期存款。第二年的校方所能提取的現(xiàn)金的來(lái)源有兩個(gè)方面分別是第一年存入的兩年期存款和第一年年初存入的

10、一年期存款發(fā)放第一年獎(jiǎng)金后剩余的錢轉(zhuǎn)存的一年期存款。當(dāng)然第三年的所能提取的現(xiàn)金就有三個(gè)來(lái)源。以此類推出每年提取的現(xiàn)金的來(lái)源方式。 第一年存入銀行的資金，有一年期、二年期、三年期和五年期的存款方式。 第一年年末的資金的來(lái)源是第一年年初存入的一年期存款的本息和，第二年年初的時(shí)候會(huì)把第一年年初存入的一年期存款的本息和減去當(dāng)年年末獎(jiǎng)金的數(shù)額再轉(zhuǎn)存一年期、二年期、三年期、五年期的存款，具體方式如下： 第二年的資金來(lái)源有二個(gè)方向，分別為第一年年初存入的二年期存款和第二年年初存入的一年期存款，然后把發(fā)去獎(jiǎng)金后剩余的錢在第三年的年初分別按一年期、二年期、三年期、五年期存入銀行，表示如下：

11、第三年年末的資金來(lái)源有三個(gè)部分，分別是第一年年初存入的三年期存款、第一年年末存入的二年期存款、第二年年末存入的一年期存款。第四年年初的存款方式如下所示： 第四年年末的資金來(lái)源有四個(gè)來(lái)源，同樣第四年年末的時(shí)候還是會(huì)把除去發(fā)過(guò)獎(jiǎng)金后剩余的錢在第五年年初轉(zhuǎn)存一年期、二年期、三年期、五年期存款。 第五年的分析方法和以上分析方法一樣，第五年年末也是把發(fā)過(guò)獎(jiǎng)金后剩余的錢在第六年年初轉(zhuǎn)存四種存款方式，如下所示: 其后幾年的處理方式和前幾年的處理方式相同。計(jì)算方式表示如下： 從以上各式中可以看出第七、八年年初可以存入一年期、二年期、三年期存款、第九年年初時(shí)可以存入一年期和兩年期存款，第

12、十年年初時(shí)可以存入一年期存款。在第六年年末時(shí)可以取出第二年年初存入的五年期存款、第四年年初存入的三年期存款。在第七年年末時(shí)可以取出的資金是第三年年初存入的五年期存款、第五年年初存入的三年期、第六年存入的二年期、第七年年初存入的一年期。在第八年年末時(shí)可以取出的資金是第四年年初存入的五年期、第六年年初存入的三年期、第七年存入的二年期、第八年存入的一年期。第九年年末時(shí)可以取出的資金是第五年年初存入的五年期、第七年年初存入的三年期、第八年年末存入的二年期。 在最后一年時(shí)也就是第十年的年末把所有的資金全部取出。除去發(fā)獎(jiǎng)金的以外，剩余的資金要正好等于開(kāi)始存錢的資金。表示如下： 聯(lián)立以上線性方程解出

13、最終的答案：獎(jiǎng)學(xué)金最大數(shù)額 另外還可以根據(jù)解得線性方程組中的值，即是每年應(yīng)該以哪種方式存錢才能使獎(jiǎng)金數(shù)額最大化。如下表所示： 表2:每年年初可以選擇的存款方式 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 第六年 第七年 第八年 第九年 第十年 一年存款 396.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 二年存款 200.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 三年存款 195.6 195.6 0 0 0 0 0 0 0 0 五年存款 4207 98.5 98.5 98.5 98.5 458

14、2 0 0 0 0 5.2、問(wèn)題二模型的建立與求解 在問(wèn)題二中可以選擇存款和購(gòu)買國(guó)庫(kù)券由題目中的表格可以看出同期的國(guó)庫(kù)券利率相對(duì)于同期的存款利率大的多，所以在兩者都可行的前提下，肯定優(yōu)先考慮國(guó)庫(kù)券。但是由題意知：國(guó)庫(kù)券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時(shí)間不定。 根據(jù)上述信息將國(guó)庫(kù)券發(fā)行時(shí)間分為種情況： 第一種情況國(guó)庫(kù)券在準(zhǔn)備存錢的時(shí)候發(fā)行，即是在每年年初開(kāi)始存錢的時(shí)候國(guó)庫(kù)券發(fā)行了，由題目中的數(shù)據(jù)可以知道國(guó)庫(kù)券只發(fā)行二、三、五年，所以在這種情況下，我們可以把二、三、五年期的國(guó)庫(kù)券年利率看成相應(yīng)的存款利率。在此種情況下，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為和問(wèn)題一一樣的解題模型了，用問(wèn)題一的方法即可求出最大的獎(jiǎng)

15、金額。 根據(jù)以上線性方程組求解出在每年年初發(fā)行國(guó)庫(kù)券時(shí)將存款轉(zhuǎn)存相同年份的國(guó)庫(kù)券時(shí)所獲得獎(jiǎng)金的最大數(shù)額： 在將二、三、五年的存款轉(zhuǎn)入相同年份的國(guó)庫(kù)券時(shí)資金處理方式如下表： 表3：在年初發(fā)行國(guó)庫(kù)券時(shí)每年年初資金的處理方式 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 第六年 第七年 第八年 第九年 第十年 一年存款 277.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 二年國(guó)庫(kù) 260.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 三年國(guó)庫(kù) 490.7 135.1 0 259.5 0 0 135.1 0 0

16、 0 五年國(guó)庫(kù) 3971 0 126.9 126.9 0 4448 0 0 0 0 第二種情況國(guó)庫(kù)券沒(méi)在準(zhǔn)備存錢的時(shí)候發(fā)行，為充分的利用資金，不讓資金閑置，有以下解決方案： 以兩年期國(guó)庫(kù)券為例：由于年初存款時(shí)不能購(gòu)買國(guó)庫(kù)券，就將已確定購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的資金全部用于半年期存款，如果在上半年發(fā)行國(guó)庫(kù)券，就將本來(lái)購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的資金全部取出購(gòu)買國(guó)庫(kù)券，在國(guó)庫(kù)券到期的那年再將國(guó)庫(kù)券所獲得的本金和利息用于定期的半年期存款，到期后再將本金和利息用于半年期活期存款，年末將其取出用于發(fā)放獎(jiǎng)金。如果在下半年發(fā)行國(guó)庫(kù)券就在上半年村定期半年，到期后轉(zhuǎn)存活期，國(guó)庫(kù)券發(fā)行后取出購(gòu)買國(guó)庫(kù)券，國(guó)庫(kù)券到期

17、后繼續(xù)存活期，由于先存定期與先存活期利率相同。因此兩年期國(guó)庫(kù)券的運(yùn)轉(zhuǎn)周期為3年。也就是說(shuō)在這年里總有兩年用于國(guó)庫(kù)券，半年用于半年期存款，半年用于半年活期存款，即采用了活期，半年期 ，國(guó)庫(kù)券的“組合式”投資。同理，三年期國(guó)庫(kù)券和五年期國(guó)庫(kù)券的運(yùn)轉(zhuǎn)周期為四年、六年。則計(jì)算，三、四、六的周期運(yùn)轉(zhuǎn)利率如下列各式： 根據(jù)以上分析在每年年初可以選擇的存錢方式有一年期、二年期、三年期、五年期和三年、四年、五年國(guó)庫(kù)券、活期、半年期的“組合式”投資方式。 根據(jù)以上情況列出線性方程組如下： 根據(jù)以上線性方程組解得在此種情況下的獎(jiǎng)金： 表3：每年年初資金處理方式 第一年 第二年 第三年

18、 第四年 第五年 第六年 第七年 第八年 第九年 第十年 一年存款 346.1 0 0 0 4378 0 0 0 0 0 二年存款 227.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 三年存款 222.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 五年存款 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 二年國(guó)債 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 三年國(guó)庫(kù) 4095 115.9 0 0 0 0 0 0 0 0 五年國(guó)庫(kù) 108.9 108.9 108.9

19、 108.9 4378 0 0 0 0 0 三、將情況二特殊化，即國(guó)庫(kù)券的發(fā)行時(shí)間為年中，這樣就不存在將半年期改為活期存款的情況，也就是說(shuō)將問(wèn)題三轉(zhuǎn)化為半年期、半年期、國(guó)庫(kù)券的“組合式”投資同樣的解釋方法，可以把購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的運(yùn)行周期分為三、四、六的運(yùn)行模式。在這種情況下計(jì)算出購(gòu)買國(guó)庫(kù)券情況的利率如下： 第三種線性方程組的表示方法與第二種情況的方程組一樣，根據(jù)題意解出線性方程組。則可以的出計(jì)算結(jié)果如下： 則根據(jù)線性方程組解得，第一年年初的時(shí)候存一年期存款為356.7萬(wàn)元、兩年期存款234.7萬(wàn)元、購(gòu)買兩年期國(guó)庫(kù)券228.3萬(wàn)元、購(gòu)買三年期國(guó)債4068萬(wàn)元，購(gòu)買五年

20、國(guó)庫(kù)券112.1萬(wàn)元。第二年年初購(gòu)買三年國(guó)庫(kù)券為119.3萬(wàn)元、五年國(guó)庫(kù)券112.1萬(wàn)元。第三年年初的時(shí)候購(gòu)買的五年國(guó)庫(kù)券為112.1萬(wàn)元。第四年年初的時(shí)候購(gòu)買的五年國(guó)庫(kù)券為112.1萬(wàn)元。第五年年初時(shí)購(gòu)買的五年國(guó)庫(kù)券為6363萬(wàn)元。 5.3、問(wèn)題三模型的建立與求解 在問(wèn)題三中學(xué)校在第三年舉行百年校慶，基金會(huì)為了鼓舞師生希望在第三年發(fā)放的獎(jiǎng)金比其他年份多20%。解決這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)對(duì)前兩個(gè)問(wèn)題分析，在第三年時(shí)題目沒(méi)有說(shuō)明只存款還是即可以存款還可以購(gòu)買國(guó)庫(kù)券，所以解決這個(gè)問(wèn)題要分為兩種情況。 5.3.1、模型的建立與求解 在只用來(lái)存款時(shí)可以借鑒問(wèn)題一的模型只是把第三年的獎(jiǎng)金變?yōu)樵瓉?lái)的1.

21、2倍，列出第三年獎(jiǎng)金的發(fā)放情況如下所示： 可以將問(wèn)題一中第三年獎(jiǎng)金的情況進(jìn)行變換如上式所示，建立如問(wèn)題一的線性規(guī)劃模型。解得方程組如下所示： 線性方程組中解得的每年年初的存款方式為。第一年年初時(shí)存一年期存款388.6萬(wàn)元、二年期存款196.4萬(wàn)元、三年期存款211.8萬(wàn)元、五年期存款4203萬(wàn)元。第二年年初時(shí)三年期存款191.6萬(wàn)元、五年期存款96.4萬(wàn)元。第三年年初時(shí)五年期存款96.44萬(wàn)元。第四年年初時(shí)五年期存款96.44萬(wàn)元。第五年年初一年期存款96.4萬(wàn)元。第六年年初時(shí)五年期存款4580萬(wàn)元。 5.3.2、 模型的建立與求解 在即可以存款又可以購(gòu)買國(guó)庫(kù)券時(shí)，這種情況下又

22、可以分為三種不同的情況。 第一種情況在每年年初時(shí)發(fā)行國(guó)庫(kù)券，通過(guò)比較存款和購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的利率可知國(guó)庫(kù)券的利率大于存款利率，在既可以購(gòu)買國(guó)庫(kù)券又可以存款時(shí)?？隙ㄟx擇購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。解決這種方式時(shí)只需要把第三年的獎(jiǎng)金改為原來(lái)的1.2倍，列式計(jì)算式如下： 利用問(wèn)題二中的第一種情況的線性方程組解得最大獎(jiǎng)金 第三年可以獲得的獎(jiǎng)金是172.5425萬(wàn)元 第二種情況國(guó)庫(kù)券的發(fā)行在每年的其他發(fā)行這時(shí)在沒(méi)發(fā)放國(guó)庫(kù)券時(shí)可以選擇半年期定期、半年期貨活期、購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。第三種情況國(guó)庫(kù)券在每年年中發(fā)放。這樣存款方式即是兩個(gè)半年期定期存款、購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。這兩種情況可以用第二問(wèn)的二、三種情況的模型解題只需要把獎(jiǎng)金改為

23、原來(lái)的1.2倍。 只需要把第三年的獎(jiǎng)金改為原來(lái)的1.2倍，如下所示: 根據(jù)問(wèn)題二的第二種情況的線性方程組聯(lián)立解得。 半年活期、半年定期、購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的“組合式”方式時(shí)，最大獎(jiǎng)金額是： 第三年可以獲得的獎(jiǎng)金額是149.8208萬(wàn)元 半年定期、半年定期、購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的“組合式”方式時(shí)，最大獎(jiǎng)金額是： 第三年所獲得的獎(jiǎng)金額是154.91592萬(wàn)元 根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果可知在只有存款時(shí)所獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額最少，在既可以存款又可以購(gòu)買國(guó)庫(kù)券時(shí)，購(gòu)買國(guó)庫(kù)券時(shí)所獲得的獎(jiǎng)金額最大。 六、模型的檢驗(yàn) 問(wèn)題一的檢驗(yàn)可以采取將全部資金分為不同的存款方式，以題意可知要想獲得最大的獎(jiǎng)金數(shù)額必須使存款時(shí)間最

24、長(zhǎng)，可以采取將每年到期的本息和全部用來(lái)發(fā)放獎(jiǎng)金，例如第一年年末的時(shí)候把一年期存款取出，所得的本息和全部用來(lái)發(fā)放第一年的獎(jiǎng)金。第二年年末把二年期存款取出，所得本息和全部用來(lái)發(fā)放第二年的獎(jiǎng)金。 定理 在年利率不變的情況下，把一筆固定數(shù)額的資金N先存定期年再存定期年與先存定期年再存定期年，本金和利息相同。 證明：定義和是存款年和年的年利率，為一筆固定數(shù)額的金額。由上述可得先存定期年再存定期年所得的本金和利息為，先存定期年再存定期年的本金和利息為。顯然可得： 定理 使一定數(shù)額的資金存款年后本息和最大的存款策略為 當(dāng)時(shí)，存定期年； 當(dāng)時(shí)，存定期年； 當(dāng)時(shí)，存定期年； 當(dāng)時(shí)，先存定期年，

25、然后再存定期年； 當(dāng)時(shí)，存定期年； 當(dāng)時(shí)，首先存儲(chǔ)個(gè)年定期，剩余的情況與相同 證明：運(yùn)用枚舉法將存款年的所有組合列出來(lái)，再比較本息即可求出上述定理， 定理 基金使用年的情況，首先把分成份，其中第份基金存款年限為年，那么只有當(dāng)?shù)诜莼鸢醋顑?yōu)存款策略存款年后的本息和等于當(dāng)年的獎(jiǎng)金數(shù)，并且第份基金按最佳存款策略存款年后的本息和等于原基金與當(dāng)年的獎(jiǎng)金數(shù)之和時(shí)，每年發(fā)放的獎(jiǎng)金才能達(dá)到最多。 證明：當(dāng)時(shí)，命題顯然成立； 當(dāng)時(shí)，首先需要證明：第一份基金存入銀行定期，到期后本息和正好等于獎(jiǎng)金數(shù)額，即。 假設(shè)，運(yùn)用反證法證明，分兩種情況： 假設(shè)，這種情況下說(shuō)明不夠支付獎(jiǎng)金，就必須從

26、其他部分取出，使得其他部分轉(zhuǎn)化為活期，顯然這種話情況獲得的總利息少。為獲得最大的獎(jiǎng)金， 不成立。 ，這種情況下支付獎(jiǎng)金后還有剩余資金，又為了不讓資金閑置，必須再次存款，顯然這樣獲得的利息不如直接將神諭的資金轉(zhuǎn)存為其它年限。所以為獲得最大的獎(jiǎng)金，不成立。 同理可證當(dāng)?shù)诜莼鸢醋顑?yōu)存款策略存款年后的本息和等于當(dāng)年的獎(jiǎng)金數(shù)，并且第份基金按最佳存款策略存款年后的本息和等于原基金與當(dāng)年的獎(jiǎng)金數(shù)之和時(shí)，每年發(fā)放的獎(jiǎng)金才能達(dá)到最多。 定理得證。 根據(jù)以上三個(gè)定理即可列出將資金分成份的線性表達(dá)式，在每年年末取出本息和用于當(dāng)年獎(jiǎng)金的發(fā)放列出線性方程組如下： 開(kāi)始第一年時(shí)候把獎(jiǎng)金分成十份，每年年末取

27、出對(duì)應(yīng)的本息和作為當(dāng)年的獎(jiǎng)金，在第十年年末取出的資金除去發(fā)獎(jiǎng)金的資金以外，剩余的應(yīng)當(dāng)是最初的資金金額，解出以上線性方程組：獎(jiǎng)金金額： 從結(jié)果可知計(jì)算結(jié)果與問(wèn)題一的結(jié)果基本相等，所建模型不同，所以計(jì)算結(jié)果會(huì)有些誤差，從而驗(yàn)證模型建立的合理性。 對(duì)于二、三兩問(wèn)的問(wèn)題可以采取同樣的模型，結(jié)果可以驗(yàn)證模型建立的合理性。所建模型均是最優(yōu)模型。 七、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn) 6.1模型的優(yōu)缺點(diǎn) 1.本文主要使用了線性規(guī)劃模型，并使用lingo進(jìn)行求解，方便運(yùn)算，簡(jiǎn)單實(shí)用。 2.模型細(xì)致，逐年具體分析，將各種情況考慮進(jìn)去。最后用圖表進(jìn)行表示，使結(jié)果更加直觀。 3.假設(shè)過(guò)于理想化，與現(xiàn)實(shí)生活有一定差異

28、，實(shí)際操作時(shí)必須考慮每年的利率，稅收變化，以進(jìn)行調(diào)整。 4.重復(fù)計(jì)算較多，計(jì)算過(guò)程比較繁瑣，不借助軟件很難進(jìn)行求解。 6.2模型的改進(jìn)方向 本文雖然對(duì)每年的各種投資都進(jìn)行了考慮，但從計(jì)算結(jié)果可以看出，其實(shí)有很多計(jì)算不需要的。從而導(dǎo)致計(jì)算過(guò)于繁瑣。因此在改進(jìn)模型時(shí)可以先對(duì)一些在理論上需要考慮，但是實(shí)際上由于獲得的利息過(guò)低而不需要考慮的投資進(jìn)行排除，如在問(wèn)題二中，只需要考慮前五年的投資方式，之后的五年不需要考慮。因此在模型的建立之前可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓浪悖詼p少不必要的運(yùn)算。 八、模型推廣 該模型適用于各種投資規(guī)劃，在已知必要的約束條件下，能比較全面的在時(shí)間和空間上對(duì)資源進(jìn)行調(diào)整，以達(dá)到最優(yōu)

29、的目標(biāo)。除了基金的使用計(jì)劃外，還能對(duì)生產(chǎn)，運(yùn)輸進(jìn)行規(guī)劃，以最小的成本，達(dá)到最大的利潤(rùn)。 九、參考文獻(xiàn) 【1】馬君兒，李東明，資金的最優(yōu)分配，工科數(shù)學(xué)，18卷5期：66-70,2002 【2】姜啟源，數(shù)學(xué)模型【M】，北京；高等教育出版社，1989 【3】滄浦，最優(yōu)控制的理論與方法【M】，北京；國(guó)防工業(yè)出版社，1989 十、附錄 附錄一： model: max=z; X11+X12+X13+X15=5000; X21

30、+X22+X23+X25=1.018*X11-z; X31+X32+X33+X35=1.03888*X12+1.018*X21-z; X41+X42+X43+X45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31-z; X51+X52+X53+X55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41-z; X61+X62+X63+X65=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51-z; X71+X72+X73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61-z; X

31、81+X82+X83=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71-z; X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81-z; X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91-z; 5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101-z; End 附錄二： model: max=z; X11+Y12+Y13+Y15=5000; X21+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-

32、z; X31+Y32+Y33+Y35=1.051*Y12+1.018*X21-z; X41+Y42+Y43+Y45=1.0867*Y13+1.051*Y22+1.018*X31-z; X51+Y52+Y53+Y55=1.0867*Y23+1.051*Y32+1.018*X41-z; X61+Y62+Y63+Y65=1.157*Y15+1.0867*Y33+1.051*Y42+1.018*X51-z; X71+Y72+Y73=1.157*Y25+1.0867*Y43+1.051*Y52+1.018*X61-z; X81+Y82+Y83=1.157*Y35+1.0867*Y53+1.0

33、51*Y62+1.018*X71-z; X91+Y92=1.157*Y45+1.0867*Y63+1.051*Y72+1.018*X81-z; X101=1.157*Y55+1.0867*Y73+1.051*Y82+1.018*X91-z; 5000=1.157*Y65+1.0867*Y83+1.051*Y92+1.018*X101-z; end model: max=z; X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000; X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z; X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35

34、=1.03888*X12+1.018*X21-z; X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06394*Y12-z; X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06394*Y22+1.10008*Y13-z; X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1.06394*Y32+1.10008*Y23-z; X71+X72+X73

35、+Y72+Y73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.06394*Y42+1.10008*Y33+1.17125*Y15-z; X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06394*Y52+1.10008*Y43+1.17125*Y25-z; X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06394*Y62+1.10008*Y53+1.17125*Y35-z; X101=1.1152*X55

36、+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91+1.06394*Y72+1.10008*Y63+1.17125*Y45-z; 5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06394*Y82+1.10008*Y73+1.17125*Y55-z; end model: max=z; X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000; X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z; X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X1

37、2+1.018*X21-z; X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06856*Y12-z; X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06856*Y22+1.10486*Y13-z; X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1.06856*Y32+1.10486*Y23-z; X71+X72+X73+Y72+Y73=1.

38、1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.06856*Y42+1.10486*Y33+1.17633*Y15-z; X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06856*Y52+1.10486*Y43+1.17633*Y25-z; X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06856*Y62+1.10486*Y53+1.17633*Y35-z; X101=1.1152*X55+1.0648*X73

39、+1.03888*X82+1.018*X91+1.06856*Y72+1.10486*Y63+1.17633*Y45-z; 5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06856*Y82+1.10486*Y73+1.17633*Y55-z; End 附錄三： model: max=z; X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000; X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z; X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.0

40、18*X21-z; X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06856*Y12-1.2*z; X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06856*Y22+1.10486*Y13-z; X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1.06856*Y32+1.10486*Y23-z; X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1

41、152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.06856*Y42+1.10486*Y33+1.17633*Y15-z; X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06856*Y52+1.10486*Y43+1.17633*Y25-z; X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06856*Y62+1.10486*Y53+1.17633*Y35-z; X101=1.1152*X55+1.0648*X73+

42、1.03888*X82+1.018*X91+1.06856*Y72+1.10486*Y63+1.17633*Y45-z; 5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06856*Y82+1.10486*Y73+1.17633*Y55-z; end model: max=z; X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000; X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z; X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.018*X21-

43、z; X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06394*Y12-1.2*z; X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06394*Y22+1.10008*Y13-z; X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1.06394*Y32+1.10008*Y23-z; X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1152*X25

44、+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.06394*Y42+1.10008*Y33+1.17125*Y15-z; X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06394*Y52+1.10008*Y43+1.17125*Y25-z; X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06394*Y62+1.10008*Y53+1.17125*Y35-z; X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888

45、*X82+1.018*X91+1.06394*Y72+1.10008*Y63+1.17125*Y45-z; 5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06394*Y82+1.10008*Y73+1.17125*Y55-z; end model: max=z; X11+Y12+Y13+Y15=5000; X21+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z; X31+Y32+Y33+Y35=1.051*Y12+1.018*X21-z; X41+Y42+Y43+Y45=1.0867*Y13+1.051*Y22+1.01

46、8*X31-1.2*z; X51+Y52+Y53+Y55=1.0867*Y23+1.051*Y32+1.018*X41-z; X61+Y62+Y63+Y65=1.157*Y15+1.0867*Y33+1.051*Y42+1.018*X51-z; X71+Y72+Y73=1.157*Y25+1.0867*Y43+1.051*Y52+1.018*X61-z; X81+Y82+Y83=1.157*Y35+1.0867*Y53+1.051*Y62+1.018*X71-z; X91+Y92=1.157*Y45+1.0867*Y63+1.051*Y72+1.018*X81-z; X101=1.

47、157*Y55+1.0867*Y73+1.051*Y82+1.018*X91-z; 5000=1.157*Y65+1.0867*Y83+1.051*Y92+1.018*X101-z; end model: max=z; X11+X12+X13+X15=5000; X21+X22+X23+X25=1.018*X11-z; X31+X32+X33+X35=1.03888*X12+1.018*X21-z; X41+X42+X43+X45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31-1.2*z; X51+X52+X53+X55=1.0648*X23+1.0388

48、8*X32+1.018*X41-z; X61+X62+X63+X65=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51-z; X71+X72+X73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61-z; X81+X82+X83=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71-z; X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81-z; X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1

49、.018*X91-z; 5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101-z; end 附錄四： model: max=z; A1*1.018=z; A2*1.03888=z; A3*1.0648=z; A4*1.08397=z; A5*1.1152=z; A6*1.13527=z; A7*1.15856=z; A8*1.18746=z; A9*1.20884=z; A10*1.24367=z+5000; A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10=5000; End 15