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曲線積分與曲面積分 期末復(fù)習(xí)題 高等數(shù)學(xué)下冊(cè) (上海電機(jī)學(xué)院)

上傳人:優(yōu)*** 文檔編號(hào):29528097 上傳時(shí)間:2021-10-07 格式:DOC 頁(yè)數(shù):14 大小:1.19MB
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曲線積分與曲面積分 期末復(fù)習(xí)題 高等數(shù)學(xué)下冊(cè) (上海電機(jī)學(xué)院)_第1頁(yè)
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1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料,若有不當(dāng)之處,請(qǐng)指正。 第十章 曲線積分與曲面積分答案 一、選擇題 1.曲線積分與路徑無(wú)關(guān),其中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,則 B A. B. C. D.0 2.閉曲線C為的正向,則 C A.0 B.2 C.4 D.6 3.閉曲線C為的正向,則 D A. B. C.0 D. 4.為YOZ平面上,則 D A.0 B. C. D. 5.設(shè),則 C A.

2、 B. C. D. 6. 設(shè)為球面,則曲面積分的值為 [ B ] A. B. C. D. 7. 設(shè)L是從O(0,0)到B(1,1)的直線段,則曲線積分[ C ] A. B. C. D. 8. 設(shè)I= 其中L是拋物線上點(diǎn)(0, 0)與點(diǎn)(1, 1)之間的一段弧, 則I=[D ] A. B. C. D. 9. 如果簡(jiǎn)單閉曲線 所圍區(qū)域的面積為 ,那么 是( D ) A. ;

3、 B. ; C. ; D. 。 10.設(shè),為在第一卦限中部分,則有 C A. B. C. D. 二、填空題 1. 設(shè)L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)為頂點(diǎn)的正方形邊界正向一周,則曲線積分 -2 2.S為球面的外側(cè),則0 3. = 4.曲線積分,其中是圓心在原點(diǎn),半徑為的圓周,則積分值為 5.設(shè)∑為上半球面,則曲面積分= 32π 6. 設(shè)曲線為圓周,則曲線積分

4、 . 7. 設(shè)C是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形邊界,則曲線積分1+ 8. 設(shè)為上半球面,則曲面積分的值為 。 9. 光滑曲面z=f(x,y)在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈,則曲面z=f(x,y)的面積是 10.設(shè)是拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧,則曲線積分 12 11、 。 12、設(shè)為的正向,則 。 三、計(jì)算題 1.,其中為圓周,直線及x軸在第一象限所圍圖形的邊界。 解:記線段方程,圓弧方程 線段方程。 則原式=++=++ =

5、 # 2.,其中為曲線與直線段所圍閉區(qū)域的正向邊界。 解:利用格林公式,,,則 , 故原式= = # 3.,其中為圓周的上半部分,的方向?yàn)槟鏁r(shí)針。 解:的參數(shù)方程為,從0變化到。 故原式= == # 4.求拋物面被平面所割下的有界部分的面積。 解:曲面的方程為,這里為在XOY平面的投影區(qū)域。 故所求面積= # 5、計(jì)算,其中為圓的上半圓周,方向?yàn)閺狞c(diǎn)沿到原點(diǎn)O。 解:添加從原點(diǎn)到點(diǎn)A的直線段后,閉曲線所圍區(qū)域記為D,利用格林公式 ,,, 于是+ = 而=,于是便

6、有 = # 6.,其中為球面在第一 卦限部分的邊界,當(dāng)從球面外看時(shí)為順時(shí)針。 解:曲線由三段圓弧組成,設(shè)在YOZ平面內(nèi)的圓弧的參數(shù)方程 ,從變化到0。 于是 == 由對(duì)稱性即得 # 7.,其中為平面 所圍立體的表面的外側(cè)。 解:記為該表面在XOY平面內(nèi)的部分,為該表面在YOZ平面內(nèi)的部分, 為該表面在XOZ平面內(nèi)的部分,為該表面在平面內(nèi)的部分。 的方程為,根據(jù)定向,我們有 == 同理

7、, 的方程為,故 , 由對(duì)稱性可得 , 故 于是所求積分為 # 8.計(jì)算曲面積分:,其中 為曲面的外側(cè)。 解:利用高斯公式,所求積分等于==8 # 9. 計(jì)算I=,其中S為x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍立 體的表面外側(cè) 解:設(shè)V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍的立體 由Gass公式得: I= = =

8、 # 10.計(jì)算I=,其中是從點(diǎn)A(3, 2, 1)到點(diǎn)B(0, 0, 0) 的直線段AB 解:直線段AB的方程是;化為參數(shù)方程得: x=3t, y=2t, z=t, t從1變到0, 所以: I= == # 11. 計(jì)算曲線積分I= 其中是由點(diǎn)A(a,0)至點(diǎn)O(0, 0) 的上半圓周 解:在x軸上連接點(diǎn)O(0, 0), A(a, 0)

9、 將擴(kuò)充成封閉的半圓形AMOA 在線段OA上, 從而 又由Green公式得: # 12. 計(jì)算曲線積分其中L是z=2與z=3 的交線沿著曲線的正向看是逆時(shí)針?lè)较? 解:將L寫成參數(shù)方程: x=cost, y=sint, z=2 t: 0 于是: = = 另證:由斯托克斯公式得 = 上側(cè),則: # 13. 設(shè)曲面S為平面x+

10、y+z=1在第一卦限部分,計(jì)算曲面S的面積I 解:S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋? I==== # 14. 計(jì)算曲線積分其中L是沿著圓 從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(2, 1)的上半單位圓弧 解:設(shè), 當(dāng)時(shí), 故:所求曲線積分在不包圍原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān) 則:= = =ln5-arctan2 # 15. 確定的值,使曲線積分在平面上與路徑無(wú)關(guān)。當(dāng)起點(diǎn)為,終點(diǎn)為時(shí),求此曲線積分的值。 解:由已知,; 由條件得 , 即 , # 16. 設(shè)曲面S

11、為球面被平面z=1截出的頂部,計(jì)算I= 解:S的方程為: S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋? I== = # 17. 計(jì)算I=,其中是,,取下側(cè) 解:作輔助曲面: z=a,取上側(cè) 設(shè)為,所圍閉區(qū)域 為平面區(qū)域 == = # 18..為上半橢圓圓周,取順時(shí)針?lè)较?,?/p>

12、 A B x y 0 解: # 19.計(jì)算曲面積分,其中為錐面與所圍的整個(gè)曲面的外側(cè)。 解: 由高斯公式,可得 # 20.計(jì)算曲線積分,其中是橢圓的正向。 解:令, , 則。 設(shè)所圍成的閉區(qū)域?yàn)?,則其面積。 從而由格林公式可得

13、 . # 21.設(shè)為柱面在使得,的兩個(gè)卦限內(nèi)被平面及所截下部分的外側(cè),試計(jì)算。 解:將分成與,其中:(取上側(cè)),:(取下側(cè)),與在面上的投影為,故 # 22. 計(jì)算曲面積分,其中是柱面介于的部分。 解:設(shè)為在第一卦限的部分曲面。,得。在面上的投影域?yàn)椤? 故 # 23. 計(jì)算曲面積分,其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于及之間部分的下側(cè)。 解:利用高斯公式,取且。取上側(cè),與構(gòu)成封閉的外側(cè)曲

14、面,所圍的閉域?yàn)椋瑢?duì)應(yīng)的為:。 # 24.計(jì)算曲線積分,其中是自點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的曲線段。 解:, 取小圓周充分小,取逆時(shí)針?lè)较?則由Green公式可得: # 25.用高斯公式計(jì)算,其中柱面及平面圍成封閉曲面的外側(cè)。 解: 原式= = = = = 26.計(jì)算曲面積分,其中是曲面被平面所截下的部分,取下側(cè)。 解:補(bǔ),取上側(cè),, 而 ,其中 ,

15、 # 27.計(jì)算曲線積分,其中L是區(qū)域0≤x≤1, 0≤y≤1的邊界正向。 解:利用Green公式 = # 28、計(jì)算曲面積分,其中∑為平面方程x+y+z=1在第一卦限的上側(cè)。 解:= 或由對(duì)稱性:, 而,故。 或可知。 # 29. 計(jì)算,其中L是由點(diǎn)A(0,0)到B(π,2π)的直線段。 解:AB的方程 # 30、設(shè)可微,且曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。求。 解:

16、因該項(xiàng)積分與路徑無(wú)關(guān),所以。令, 得微分方程,解得,(2分)代入條件得C=1 從而有 # 31、計(jì)算對(duì)面積的曲面積分 。 解:曲面在XOY平面上的投影為 原式== == 32、計(jì)算曲面積分,其中Σ是曲面在的部分的下側(cè)。 解:補(bǔ)充曲面且取上側(cè),又,由高斯公式 == # 四、綜合題 1、證明在整個(gè)XOY平面上,是某個(gè)函數(shù)的全微分,求這樣的一個(gè)函數(shù)并計(jì)算,其中L為從到的任意一條道路。 解:令,,則有 , 故知是某個(gè)函數(shù)的全微分。 取路徑, 則一個(gè)原函數(shù)為 == 最后= # 2、證明曲線積分在XOY面與路徑無(wú)關(guān),并求值。 解: , 可知該曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。 # 14 / 14

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