《2018-2019數(shù)學北師大版選修1-1 第四章2.1 實際問題中導數(shù)的意義 課件（30張）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019數(shù)學北師大版選修1-1 第四章2.1 實際問題中導數(shù)的意義 課件（30張）（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2 導數(shù)在實際問題中的應用導數(shù)在實際問題中的應用 21 實際問題中導數(shù)的意義實際問題中導數(shù)的意義 第四章第四章 導數(shù)應用導數(shù)應用 學習導航學習導航 第四章第四章 導數(shù)應用導數(shù)應用 學習學習目標目標 1.理解導數(shù)的實際意義理解導數(shù)的實際意義(重點重點) 2掌握導數(shù)在物理、經(jīng)濟生活中的應用掌握導數(shù)在物理、經(jīng)濟生活中的應用(難點難點) 學法學法指導指導 1.通過實例體會數(shù)學建模思想通過實例體會數(shù)學建模思想 2體會導數(shù)在刻畫函數(shù)變化中的作用體會導數(shù)在刻畫函數(shù)變化中的作用. 1.功與功率功與功率 在物理學中在物理學中，通常稱力在單位時間內(nèi)做的功為功率通常稱力在單位時間內(nèi)做的功為功率，它是它是_的導數(shù)的導

2、數(shù) 2.降雨強度降雨強度 在氣象學中，通常把單位時間內(nèi)的降雨量稱為降雨強度，在氣象學中，通常把單位時間內(nèi)的降雨量稱為降雨強度，它是它是_的導數(shù)的導數(shù) 功功W對時間對時間t 降雨量對時間降雨量對時間 3.邊際成本邊際成本 在經(jīng)濟學中，通常把生產(chǎn)成本在經(jīng)濟學中，通常把生產(chǎn)成本y關于產(chǎn)量關于產(chǎn)量x的函數(shù)的函數(shù)yf(x)的導的導函數(shù)稱為邊際成本函數(shù)稱為邊際成本 4.瞬時速度瞬時速度 物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度，它是物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度，它是_的導數(shù)；速度對時間的導數(shù)是的導數(shù)；速度對時間的導數(shù)是_ 5.線密度線密度 單位長度的物體質(zhì)量稱為線密度，它是單位長度的物體質(zhì)量稱為線密度，它是_

3、的導數(shù)的導數(shù) 位移位移s對時間對時間t 加速度加速度 質(zhì)量關于長度質(zhì)量關于長度 6.把實際問題抽象為數(shù)學問題，逐步把數(shù)學知識應用到生把實際問題抽象為數(shù)學問題，逐步把數(shù)學知識應用到生 產(chǎn)、生活的實際中去，形成應用數(shù)學的意識，培養(yǎng)分析問產(chǎn)、生活的實際中去，形成應用數(shù)學的意識，培養(yǎng)分析問 題、解決問題的能力處理這類問題，通常分為三步：題、解決問題的能力處理這類問題，通常分為三步： 閱讀理解，即讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景閱讀理解，即讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景,領領悟其中的數(shù)學本質(zhì)，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學含義悟其中的數(shù)學本質(zhì)，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學含義 根據(jù)各個量的關系，進行數(shù)學

4、化設計，即建立目標函數(shù)根據(jù)各個量的關系，進行數(shù)學化設計，即建立目標函數(shù),將將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題 進行標準化設計，即轉(zhuǎn)化為常規(guī)的函數(shù)問題或其他常規(guī)的進行標準化設計，即轉(zhuǎn)化為常規(guī)的函數(shù)問題或其他常規(guī)的數(shù)學問題加以解決數(shù)學問題加以解決 7.解應用題首先要在閱讀材料、理解題意的基礎上把解應用題首先要在閱讀材料、理解題意的基礎上把 實實 際際 問問題抽象成數(shù)學問題，就是從實際問題出發(fā)，抽象概括，利用題抽象成數(shù)學問題，就是從實際問題出發(fā)，抽象概括，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型，再利用數(shù)學知識對數(shù)學模型數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型，再利用數(shù)學知識對數(shù)學模型進行分析、研究，得到數(shù)學結

5、論，然后再把數(shù)學結論返回到進行分析、研究，得到數(shù)學結論，然后再把數(shù)學結論返回到實際問題中去，其思路如圖所示實際問題中去，其思路如圖所示 審題：閱讀理解文字所表達的含義，分清條件和結論，審題：閱讀理解文字所表達的含義，分清條件和結論， 找找出問題中各量之間的關系；出問題中各量之間的關系； 建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建 立立相應的數(shù)學模型；相應的數(shù)學模型； 解模：把數(shù)學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方解模：把數(shù)學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方 法法求解；求解； 對結果進行驗證評估：定性、定量分析對結果進行驗證評估：定性、

6、定量分析,作出正確的判斷作出正確的判斷,確確定其答案定其答案 1一個物體的運動方程為一個物體的運動方程為s1tt2，其中其中s的單位是米的單位是米，t的單位是秒的單位是秒，那么該物體在那么該物體在3秒末的瞬時速度是秒末的瞬時速度是( ) A7米米/秒秒 B6米米/秒秒 C5米米/秒秒 D8米米/秒秒 解析：解析：s12t，則，則s(3)5，即該物體在，即該物體在3秒末的瞬時速度秒末的瞬時速度是是5米米/秒秒 C 2一次降雨過程中，降雨量一次降雨過程中，降雨量y是時間是時間t的函數(shù)的函數(shù),用用yf(t)表表 示示,則則f(10)表示表示( ) At10時的降雨強度時的降雨強度 Bt10時的降雨量

7、時的降雨量 Ct10時的時間時的時間 Dt10時的溫度時的溫度 解析：解析：f(t)表示表示t時刻的降雨強度時刻的降雨強度 A 3某公司的盈利某公司的盈利y(元元)和時間和時間x(天天)的函數(shù)關系是的函數(shù)關系是yf(x)，假假設設f(x)0恒成立恒成立，且且f(10)10，f(20)1，則這些數(shù)據(jù)說明則這些數(shù)據(jù)說明第第20天與第天與第10天比較天比較( ) A公司已經(jīng)虧損公司已經(jīng)虧損 B公司的盈利在增加公司的盈利在增加，增加的幅度變大增加的幅度變大 C公司在虧損且虧損幅度變小公司在虧損且虧損幅度變小 D公司的盈利在增加公司的盈利在增加，但增加的幅度變小但增加的幅度變小 解析：導數(shù)為正說明盈利是

8、增加的，導數(shù)變小說明增加的幅解析：導數(shù)為正說明盈利是增加的，導數(shù)變小說明增加的幅度變小了，但還是增加的度變小了，但還是增加的 D 4若某段導體通過的電量若某段導體通過的電量 Q(單位：單位：C)與時間與時間 t(單位：單位：s)的函的函數(shù)關系為數(shù)關系為 Qf(t)120t2t80，t0，30，則，則 f(15)_，它的實際意義是，它的實際意義是_. 解析：解析：Qf(t)110t1，令，令 t15，則，則 f(15)52 (C/s)，它表，它表示示 t15 s 時的電流強度，即單位時間內(nèi)通過的電量時的電流強度，即單位時間內(nèi)通過的電量 52 C/s t15 s 時的電流強度為時的電流強度為52

9、C/s 導數(shù)在物理中的應用導數(shù)在物理中的應用 某質(zhì)點的運動方程為某質(zhì)點的運動方程為s2t23t，其中其中s是位移是位移 (單位：單位：m)，t是時間是時間(單位：單位：s) (1)求求t從從1 s變到變到3 s時時，位移位移s關于時間關于時間t的平均變化率的平均變化率，并解釋并解釋它的實際意義；它的實際意義； (2)求求s(1)，s(2)，并解釋它們的實際意義并解釋它們的實際意義 (鏈接教材第四章鏈接教材第四章2.1例例1) 解解 (1)t 從從 1 s 變到變到 3 s 時，時，s 關于關于 t 的平均變化率為的平均變化率為sts（3）s（1）312753111(m/s) 它表示從它表示從

10、t1 s 到到 t3 s 這段時間內(nèi)， 該質(zhì)點平均每秒的位這段時間內(nèi)， 該質(zhì)點平均每秒的位移是移是 11 m. (2)根據(jù)導數(shù)公式表和導數(shù)的運算法則，可得根據(jù)導數(shù)公式表和導數(shù)的運算法則，可得 s(t)4t3， 則則 s(1)437(m/s)，s(2)42311(m/s) s(1)和和 s(2)分別表示分別表示 t1 s 和和 t2 s 時，位移時，位移 s 關于時間關于時間 t的瞬時變化率，即瞬時速度的瞬時變化率，即瞬時速度 方法歸納方法歸納 (1)套用套用st公式即可求出平均變化率， 即質(zhì)點在該段時間內(nèi)公式即可求出平均變化率， 即質(zhì)點在該段時間內(nèi)的平均速度；的平均速度； (2)利用導數(shù)運算法

11、則求出質(zhì)點的運動方程利用導數(shù)運算法則求出質(zhì)點的運動方程 ss(t)的導數(shù)，的導數(shù)，它表示它表示 t 時刻的瞬時速度時刻的瞬時速度 1.電流通過一導線，從電流通過一導線，從0時刻到時刻到t時刻通過該導線橫斷面的電時刻通過該導線橫斷面的電荷量荷量Q與與t有如下的函數(shù)關系：有如下的函數(shù)關系：Q4t2t1(Q的單位：的單位：C；t的單位：的單位：s)，求，求t3時的瞬時電流時的瞬時電流 解：解：Q4t2t1，Q(t)8t1. t3時，時，Q(3)83125(A) 導數(shù)在日常生活中的應用導數(shù)在日常生活中的應用 日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提

12、高，所需凈化費用也不斷增加已知將純凈度的提高，所需凈化費用也不斷增加已知將 1 噸水噸水凈化到純凈度為凈化到純凈度為 x%時所需費用時所需費用(單位：元單位：元)為為 c(x)5 284100 x(80 x100) (1)求求 c(x)； (2)求求 c(90)，c(98)，并解釋它們的實際意義，并解釋它們的實際意義 (鏈接教材第四章鏈接教材第四章 2.1 例例 2) 解解 (1)c(x) 5 284100 x 5 284（100 x）5 284 （100 x）（100 x）2 0 （100 x）5 284 （1）（100 x）25 284（100 x）2. (2)c(90)5 284（100

13、90）252.84(元元/噸噸)， c(98)5 284（10098）21 321(元元/噸噸) 因為函數(shù)的導數(shù)是凈化費用的瞬時變化率，所以，純凈度為因為函數(shù)的導數(shù)是凈化費用的瞬時變化率，所以，純凈度為90%時，費用的瞬時，費用的瞬時變化率是時變化率是 52.84 元元/噸，同樣，純凈度為噸，同樣，純凈度為98%時，費用的瞬時變化率是時，費用的瞬時變化率是 1 321 元元/噸噸 方法歸納方法歸納 (1)要理解導數(shù)的實際意義，首先必須正確理解函數(shù)表達式要理解導數(shù)的實際意義，首先必須正確理解函數(shù)表達式 的的實際意義實際意義 (2)導數(shù)的實際意義與變量表示的實際含義有關，同一個函數(shù)導數(shù)的實際意義與

14、變量表示的實際含義有關，同一個函數(shù)表達式，其導數(shù)的實際意義因變量實際含義的不同而不同表達式，其導數(shù)的實際意義因變量實際含義的不同而不同. 2.一名工人上班后開始連續(xù)工作， 生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量一名工人上班后開始連續(xù)工作， 生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量 y(單位：單位：g)是工作時間是工作時間 x(單位：單位：h)的函數(shù)，設這個函數(shù)表示為的函數(shù)，設這個函數(shù)表示為 y f(x)x2204 x. (1)求求 x 從從 1 h 變到變到 4 h 時，時，y 關于時間關于時間 x 的平均變化率，的平均變化率，并解釋它的實際意義；并解釋它的實際意義； (2)求求 f(1)，f(4)，并解釋它的實際意義，并解釋它的實際意義 解

15、：解：(1)當當 x 從從 1 h 變到變到 4 h 時，產(chǎn)量時，產(chǎn)量 y 從從 f(1)8120 (g)變到變到 f(4)445 (g)， 此時平均變化率為此時平均變化率為f（4）f（1）41445812031912(g/h)，它表示它表示從從 1 h 到到 4 h 這段時間內(nèi)這個人平均每小時生產(chǎn)這段時間內(nèi)這個人平均每小時生產(chǎn)1912 g 產(chǎn)品產(chǎn)品 (2)f(x)x102x,于是于是 f(1)2110 (g/h),f(4)75 (g/h),分別表示分別表示在第在第 1 小時和第小時和第 4 小時這個人每小時生產(chǎn)產(chǎn)品小時這個人每小時生產(chǎn)產(chǎn)品2110 g 和和75 g. 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品某廠生產(chǎn)

16、某種產(chǎn)品 x件的總成本件的總成本 c(x)120 x10 x2100(元元) (1)當當 x 從從 200 變到變到 220 時，總成本時，總成本 c 關于產(chǎn)量關于產(chǎn)量 x 的平均變的平均變化率是多少？它代表什么實際意義？化率是多少？它代表什么實際意義？ (2)求求 c(200)，并解釋它代表什么實際意義，并解釋它代表什么實際意義 (鏈接教材第四章鏈接教材第四章 2.1 例例 3) 導數(shù)在產(chǎn)量與成本中的應用導數(shù)在產(chǎn)量與成本中的應用 解解 (1)當當 x從從200變到變到220時， 總成本時， 總成本 c從從 c(200)540(元元)變到變到 c(220)626(元元) 此 時 總 成 本此

17、時 總 成 本c關 于 產(chǎn) 量關 于 產(chǎn) 量x的 平 均 變 化 率 為的 平 均 變 化 率 為c（220）c（200）22020086204.3(元元/件件)， 它表示產(chǎn)量從它表示產(chǎn)量從x200件到件到x220件變化時平均每多生產(chǎn)一件變化時平均每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品時，總成本平均增加件產(chǎn)品時，總成本平均增加 4.3 元元 (2)根據(jù)導數(shù)公式和求導法則可得根據(jù)導數(shù)公式和求導法則可得 c(x)110 x50， 于是， 于是 c(200)11044.1(元元/件件) 它指的是當產(chǎn)量為它指的是當產(chǎn)量為 200 件時，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需增加件時，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需增加4.1 元成本元成本 方法歸納方法

18、歸納 導數(shù)在經(jīng)濟生活中應用時，要準確理解一些常用經(jīng)濟學導數(shù)在經(jīng)濟生活中應用時，要準確理解一些常用經(jīng)濟學概念，如成本、利潤、銷售量等，才能正確解釋其導數(shù)概念，如成本、利潤、銷售量等，才能正確解釋其導數(shù)的實際意義的實際意義 易錯警示易錯警示 因物理意義理解不清致誤因物理意義理解不清致誤 在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中，t s時運動員相對于水面的高度時運動員相對于水面的高度是是h(t)4.9 t26.5 t10(單位：單位：m)，求高臺跳水運動中運求高臺跳水運動中運動員在動員在t1 s時的瞬時速度時的瞬時速度，并解釋此時的運動狀況并解釋此時的運動狀況 解解 h(t)9.8 t6.5，h(1)3.3

19、. 故運動員在故運動員在t1 s時的瞬時速度是時的瞬時速度是3.3 m/s，此時運動員向，此時運動員向下以下以3.3米米/秒的速度運動秒的速度運動 錯因與防范錯因與防范 (1)對該問題求得當對該問題求得當t1 s時的瞬時速度為時的瞬時速度為3.3 m/s，但由于對其中的，但由于對其中的“負負”號物理意義理解不明，易回答為正號物理意義理解不明，易回答為正值而出錯值而出錯 (2)瞬時速度既有大小也有方向，如果是負值，不能回答為正瞬時速度既有大小也有方向，如果是負值，不能回答為正值，它表明了運動速度的大小和方向值，它表明了運動速度的大小和方向 (3)利用導數(shù)解決物理問題利用導數(shù)解決物理問題,關鍵是要

20、熟悉相關的物理概念、公關鍵是要熟悉相關的物理概念、公式，并聯(lián)系導數(shù)的物理意義進行求解式，并聯(lián)系導數(shù)的物理意義進行求解 3一杯一杯80 的熱紅茶置于的熱紅茶置于20 的房間里的房間里，它的溫度會逐它的溫度會逐漸下降漸下降，溫度溫度T(單位：單位：)與時間與時間t(單位：單位：min)之間的關系之間的關系由函數(shù)由函數(shù)Tf(t)給出給出，請問：請問： (1)f(t)的符號是什么的符號是什么？為什么為什么？ (2)f(3)4的實際意義是什么的實際意義是什么？ 解：解：(1)由題意可知由題意可知f(t)0，所以所以f(t)為負數(shù)為負數(shù)，因為紅茶溫度因為紅茶溫度在下降在下降 (2)f(3)4的實際意義是：

21、的實際意義是：t3 min時，溫度的瞬時時，溫度的瞬時 變變 化化率為率為4 /min，即，即3 min附近時，紅附近時，紅 茶約以茶約以4 /min 的的 速速度下降度下降 技法導學技法導學 實際問題的函數(shù)建模實際問題的函數(shù)建模 如圖，某工廠擬建一座平面圖如圖，某工廠擬建一座平面圖 為矩為矩 形形 ，且，且 面面 積積 為為200 m2的三級污水的三級污水 處理池，由于地形限制，長、寬都不能處理池，由于地形限制，長、寬都不能 超過超過16 m，如果池外周壁建造單價為每米，如果池外周壁建造單價為每米400元，中間元，中間 兩條兩條 隔墻建造單價為每米隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每

22、平方米元，池底建造單價為每平方米80元元 (池壁厚度忽略不計，且池無蓋池壁厚度忽略不計，且池無蓋) (1)寫出總造價寫出總造價y(元元)與污水處理池長與污水處理池長x(m)的函數(shù)關系式的函數(shù)關系式,并并指出其定義域；指出其定義域； (2)求求(1)中函數(shù)的導數(shù)，并寫出導函數(shù)的定義域中函數(shù)的導數(shù)，并寫出導函數(shù)的定義域 解解 (1)設污水處理池長為設污水處理池長為 x m，則寬為，則寬為200 x m. 據(jù)題意據(jù)題意 0 x16，0200 x16，解得解得252x16. y(2x2200 x)400400 x24816 000 800 x259 200 x16 000(252x16) (2)y800259 200 x2，其定義域為，其定義域為 252，16 . 感悟提高感悟提高 (1)恰當設出自變量和因變量并正確確定定義恰當設出自變量和因變量并正確確定定義 域域，尋找它們之間的關系是此題關鍵點和難點尋找它們之間的關系是此題關鍵點和難點 (2)函數(shù)在閉區(qū)間的端點無導數(shù)函數(shù)在閉區(qū)間的端點無導數(shù) 本部分內(nèi)容講解結束本部分內(nèi)容講解結束 按按ESC鍵退出全屏播放鍵退出全屏播放