《機械優(yōu)化設優(yōu)化設計的基本概念》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《機械優(yōu)化設優(yōu)化設計的基本概念（53頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 機械工程學院機械工程學院計劃學時數(shù)：計劃學時數(shù)：30學時學時孫靖民孫靖民. 機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計. 北京：機械工業(yè)出版社，北京：機械工業(yè)出版社，20021 陳立周，機械優(yōu)化設計方法，北京：冶金工業(yè)出版社，陳立周，機械優(yōu)化設計方法，北京：冶金工業(yè)出版社，19972 劉惟信劉惟信. 機械最優(yōu)化設計機械最優(yōu)化設計. 北京：清華大學出版社，北京：清華大學出版社，19943 陳秀寧，機械優(yōu)化設計陳秀寧，機械優(yōu)化設計. 浙江：浙江大學出版社，浙江：浙江大學出版社，課程介紹1-1 1-1 緒論緒論1-2 1-2 優(yōu)化設計問題的示例優(yōu)化設計問題的示例1-3 1-3 優(yōu)化設計的數(shù)學模型優(yōu)化設計的數(shù)學模型

2、1-4 1-4 優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法 優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢。優(yōu)化作為一種觀念。優(yōu)化作為一種觀念和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。而優(yōu)化作為一門學科與技術，則是一切科學與技術所追求的永恒而優(yōu)化作為一門學科與技術，則是一切科學與技術所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。案。優(yōu)化的原理與方法，在科學的、工程的和社會的實際問題中優(yōu)化的原理與方法，在科學的

3、、工程的和社會的實際問題中的應用，便是優(yōu)化設計的應用，便是優(yōu)化設計。 優(yōu)化設計是在現(xiàn)代計算機廣泛應用的基礎上發(fā)展起來的一項優(yōu)化設計是在現(xiàn)代計算機廣泛應用的基礎上發(fā)展起來的一項新技術。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或新技術。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或“自動探自動探索索”方式，在計算機上進行的半自動或自動設計，以選出在現(xiàn)有方式，在計算機上進行的半自動或自動設計，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設計方案的一種現(xiàn)代設計方法。工程條件下的最佳設計方案的一種現(xiàn)代設計方法。 優(yōu)化設計反映出人們對于設計規(guī)律這一客觀世界認識的深化。優(yōu)化設計反映出人們對于設計規(guī)律這一客觀世界認識的深化。1-1

4、1-1 緒論緒論 （1 1）來源：優(yōu)化一語來自英文）來源：優(yōu)化一語來自英文OptimizationOptimization，其本意是尋優(yōu)其本意是尋優(yōu)的過程；的過程； （2 2）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以maxmax表示表示) )或極小或極小( (以以minmin表示表示) )的過程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學規(guī)劃，是用的過程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學規(guī)劃，是用科學方法和手段進行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學；科學方法和手段進行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學； （3 3）優(yōu)化設計：根據(jù)給定的設計要求和現(xiàn)有的技術條件，應）優(yōu)化設計：根據(jù)給定的設計要求和現(xiàn)有的技術條

5、件，應用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機上從滿足給定的設計要求用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機上從滿足給定的設計要求的許多可行方案中，按照給定的目標自動地選出最優(yōu)的設計方案。的許多可行方案中，按照給定的目標自動地選出最優(yōu)的設計方案。 機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計 就是把機械設計與優(yōu)化設計理論及方法相結合，就是把機械設計與優(yōu)化設計理論及方法相結合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預期目標的最優(yōu)設計方案和借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預期目標的最優(yōu)設計方案和最佳設計參數(shù)。最佳設計參數(shù)。 優(yōu)化設計流程優(yōu)化設計流程 常規(guī)設計流程常規(guī)設計流程 歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾歷史上最早記載下來

6、的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（里得（Euclid，公元前公元前300年左右），他指出：在周長相同的一年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀微積分微積分的的建立給出了求函數(shù)極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某建立給出了求函數(shù)極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術的進展些理論基礎。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術的進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法變分法。 直到本世紀直到本世紀4040

7、年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學運籌學，并使優(yōu)化技術首先應用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機并使優(yōu)化技術首先應用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設計等。最佳俯沖軌跡的設計等。 50 50年代末年代末數(shù)學規(guī)劃方法數(shù)學規(guī)劃方法被首次用于結構最優(yōu)化，并成為優(yōu)被首次用于結構最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設計中求優(yōu)方法的理論基礎。數(shù)學規(guī)劃方法是在第二次世界化設計中求優(yōu)方法的理論基礎。數(shù)學規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。劃是其主要內(nèi)容。 近十幾年來，最優(yōu)

8、化設計方法已陸續(xù)用到建筑結構、化工、近十幾年來，最優(yōu)化設計方法已陸續(xù)用到建筑結構、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設計領域，并取得了顯著效果。電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設計領域，并取得了顯著效果。其中在機械設計方面的應用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得其中在機械設計方面的應用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說來，對于工程設計問題，所涉及的因素了豐碩的成果。一般說來，對于工程設計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復雜，最優(yōu)化設計結果所取得的效益就愈大。愈多，問題愈復雜，最優(yōu)化

9、設計結果所取得的效益就愈大。 最優(yōu)化設計是在數(shù)學規(guī)劃方法的基礎上發(fā)展起來的，是最優(yōu)化設計是在數(shù)學規(guī)劃方法的基礎上發(fā)展起來的，是6 6O O年年代初電子計算機引入結構設計領域后逐步形成的一種有效的設計代初電子計算機引入結構設計領域后逐步形成的一種有效的設計方法。利用這種方法，不僅使設計周期大大縮短，計算精度顯著方法。利用這種方法，不僅使設計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設計方法所不能解決的比較復雜的最優(yōu)提高，而且可以解決傳統(tǒng)設計方法所不能解決的比較復雜的最優(yōu)化設計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬化設計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成

10、為應用數(shù)學中的一個重要分支，并在許多科學技術領勃發(fā)展，成為應用數(shù)學中的一個重要分支，并在許多科學技術領域中得到應用。域中得到應用。l第一階段第一階段人類智能優(yōu)化人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。隨著人類對自然界認識的不斷深入，尋找最優(yōu)逐漸從下意識的、缺乏系統(tǒng)性的行為發(fā)展到目的明確的有意識活動，并在數(shù)學工具日漸完善的基礎上，對各種尋找最優(yōu)的活動進行數(shù)學描述和分析，指導尋優(yōu)活動更有效地進行，從而形成了最優(yōu)化理論與方法這一應用數(shù)學理論分支 l 第二階段第二階段

11、數(shù)學規(guī)劃方法優(yōu)化數(shù)學規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學規(guī)劃方法在近五十年來得分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。到迅速發(fā)展。l 第三階段第三階段工程優(yōu)化工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機技術的發(fā)展給：近二十余年來，計算機技術的發(fā)展給解決復雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學領域專家開發(fā)解決復雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學領域專家開發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學規(guī)劃方法不能勝任了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和的工程優(yōu)化

12、問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應用。優(yōu)化過程和方法學研究，尤其直覺的方法得到了更多的應用。優(yōu)化過程和方法學研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。徑。l 第四階段第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、如遺傳算法、 模擬退火算法、模擬退火算法、 蟻群算法、蟻群算法、 神經(jīng)網(wǎng)絡算法等，并神經(jīng)網(wǎng)絡算法等，并采用專家系統(tǒng)技術實現(xiàn)尋優(yōu)采用專家系統(tǒng)技術實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。展。機械優(yōu)

13、化設計應用機械優(yōu)化設計應用實例實例 美國波音飛機公司對大型機翼用美國波音飛機公司對大型機翼用138個設計變量進行結構個設計變量進行結構優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用10個變量進行優(yōu)個變量進行優(yōu)化設計，使成本降低約化設計，使成本降低約10%。 實踐證明，最優(yōu)化設計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕實踐證明，最優(yōu)化設計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設計方法。同時也可使自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設計方法。同時也可使設計者從大量繁瑣和重復的計算工作中解脫出來，使之有更多設計者從大量繁瑣和重復的計算工作中解脫出來，使

14、之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設計，并大大提高設計效率。的精力從事創(chuàng)造性的設計，并大大提高設計效率。 基礎：基礎：（1）最優(yōu)化數(shù)學理論最優(yōu)化數(shù)學理論 （2）現(xiàn)代計算技術）現(xiàn)代計算技術 內(nèi)容：（內(nèi)容：（1）將工程實際問題數(shù)學化；將工程實際問題數(shù)學化； （建立優(yōu)化設計數(shù)學模型）（建立優(yōu)化設計數(shù)學模型） （2）用最優(yōu)化計算方法在計算機上求解）用最優(yōu)化計算方法在計算機上求解 數(shù)學模型。數(shù)學模型。3. 本課程的任務本課程的任務該課程的主要該課程的主要： 了解和基本掌握機械優(yōu)化設計的基本知識；了解和基本掌握機械優(yōu)化設計的基本知識； 擴大視野，并初步具有應用機械優(yōu)化設計的擴大視野，并初步具有應用機械優(yōu)化設計的基

15、本理論和基本方法解決簡單工程實際問題的素質?；纠碚摵突痉椒ń鉀Q簡單工程實際問題的素質。 優(yōu)化設計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算優(yōu)化設計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算機技術，求取工程問題的最優(yōu)設計方案。機技術，求取工程問題的最優(yōu)設計方案。 優(yōu)化設計包括：優(yōu)化設計包括： （1）必須將實際問題加以數(shù)學描述，形成數(shù)學）必須將實際問題加以數(shù)學描述，形成數(shù)學模型；模型； （2）選用適當?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程）選用適當?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程序運算求解。序運算求解。 已知：制造一體積為已知：制造一體積為100m3，長度不小于長度不小于5m，不不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長帶上蓋的箱盒，試確

16、定箱盒的長x1，寬寬x2，高高x3，使箱盒用料最省。使箱盒用料最省。 分析：分析：（1）箱盒的表面積的表達式；）箱盒的表面積的表達式；（2）設計參數(shù)確定：長）設計參數(shù)確定：長x1，寬寬x2，高高x3 ；（3）設計約束條件：）設計約束條件： （a）體積要求；）體積要求； （b）長度要求；）長度要求；x1x2x3123,x x x122313min2()Sx xx xx x123123500100 xxxx x x設計參數(shù)：設計參數(shù)：設計目標：設計目標：約束條件：約束條件： 已知：傳動比已知：傳動比i, 轉速轉速n, 傳動功率傳動功率P，大小齒輪的材料，設，大小齒輪的材料，設計該齒輪副，使其重量最

17、輕。計該齒輪副，使其重量最輕。 分析：分析：（1）圓柱齒輪的體積）圓柱齒輪的體積(v)與重量與重量(w)的表達；的表達；（2）設計參數(shù)確定：模數(shù)（）設計參數(shù)確定：模數(shù)（m），齒寬（），齒寬（b），齒數(shù)（），齒數(shù)（z1）；）；（3）設計約束條件：）設計約束條件： （a）大齒輪滿足彎曲強度要求；）大齒輪滿足彎曲強度要求； （b）小齒輪滿足彎曲強度要求；）小齒輪滿足彎曲強度要求； （c）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求；）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求； （d） 齒寬系數(shù)要求；齒寬系數(shù)要求； （e） 最小齒數(shù)要求。最小齒數(shù)要求。1, ,m z b2211min()() 4Wb mzmiz1122111 0 0

18、 01.20170FFFFHHbmzz設計參數(shù)：設計參數(shù)：設計目標：設計目標：約束條件：約束條件： 一個設計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些一個設計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些基本參數(shù)可以是構件尺寸等幾何量，也可以是質量等物理量，基本參數(shù)可以是構件尺寸等幾何量，也可以是質量等物理量，還可以是應力、變形等表示工作性能的導出量。還可以是應力、變形等表示工作性能的導出量。 在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作設計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。本參數(shù)，稱作設計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。 優(yōu)化設計的數(shù)學模型是描述實際優(yōu)化問題

19、的設計內(nèi)容、優(yōu)化設計的數(shù)學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計內(nèi)容、變量關系、有關設計條件和意圖的數(shù)學表達式，它反映了物變量關系、有關設計條件和意圖的數(shù)學表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設計的基礎。理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設計的基礎。 設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如示。設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如n個設計變量，個設計變量，則稱為則稱為n維設計問題。維設計問題。 1212 ,Tnnxxx xxxx 由由n n個設計變量個設計變量 為坐標所組成的實空間稱為

20、坐標所組成的實空間稱作作。一個。一個“設計設計”，可用設計空間中的一點表示。，可用設計空間中的一點表示。12,nx xx 設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如n n個設計變量，個設計變量，則稱為則稱為n n維設計問題。維設計問題。 按照產(chǎn)品設計變量的取值特點，按照產(chǎn)品設計變量的取值特點，設計變量設計變量可分為可分為連續(xù)變量連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量離散變量（例如各種標準規(guī)格等）。（例如各種標準規(guī)格等）。 圖1-1 設計變量所組成的設計空間設計變量所組成的設計空間（a a）二維設計問題二維設計問題 （b b）三維設計問

21、題三維設計問題 只有兩個設計變量的二維設計問題可用圖只有兩個設計變量的二維設計問題可用圖1-11-1（a a）所示所示的平面直角坐標表示；有三個設計變量的三維設計問題可用的平面直角坐標表示；有三個設計變量的三維設計問題可用圖圖1-11-1（b b）所表示的空間直角坐標表示。所表示的空間直角坐標表示。 設計空間的維數(shù)表征設計的自由度，設計變量愈多，則設設計空間的維數(shù)表征設計的自由度，設計變量愈多，則設計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復雜。亦愈大、求解亦愈復雜。 小型設計問題：小型設計問題：一般含有一般含有

22、2 21010個設計變量；個設計變量； 中型設計問題：中型設計問題：10105050個設計變量；個設計變量； 大型設計問題：大型設計問題：5050個以上的設計變量。個以上的設計變量。 目前已能解決目前已能解決200200個設計變量的大型最優(yōu)化設計問題。個設計變量的大型最優(yōu)化設計問題。如何選定設計變量如何選定設計變量？ 任何一項產(chǎn)品，是眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。任何一項產(chǎn)品，是眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結構，但會增加建模的難變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結構，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設計變量時應注意以下幾點：度和造成優(yōu)化規(guī)模過大

23、。所以設計變量時應注意以下幾點： （1 1）抓主要，舍次要。）抓主要，舍次要。 對產(chǎn)品性能和結構影響大的參數(shù)可取為設計變量，影響小對產(chǎn)品性能和結構影響大的參數(shù)可取為設計變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2 2）根據(jù)要解決設計問題的特殊性來選擇設計變量。）根據(jù)要解決設計問題的特殊性來選擇設計變量。 例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設計變量有例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設計變量有4 4個，即鋼絲直徑個，即鋼絲直徑d d，彈簧中徑彈簧中徑D D，工作圈數(shù)工作圈數(shù)n n和自由高度和自由高度H H。在設計中，將材料的許在設計中，將材

24、料的許用剪切應力用剪切應力 和剪切模量和剪切模量等作為設計常量。在給定徑向空間內(nèi)等作為設計常量。在給定徑向空間內(nèi)設計彈簧，則可把彈簧中徑設計彈簧，則可把彈簧中徑D D作為設計常量。作為設計常量。 設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，工程上所不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設計。就稱為可行設計。 一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。稱作約束條件，簡稱約束。 約束又可按其

25、數(shù)學表達形式分成等式約束和不等式約約束又可按其數(shù)學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：束兩種類型：(1)(1)等式約束等式約束(2)(2)不等式約束不等式約束( )0hx( )0gx顯式約束顯式約束 隱式約束隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數(shù)關系，有的只能表示成隱式形式顯的函數(shù)關系，有的只能表示成隱式形式 , ,如例中的復雜結構的如例中的復雜結構的性能約束函數(shù)（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法性能約束函數(shù)（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。計算求得。根據(jù)約束的性質可以把它們

26、區(qū)分成根據(jù)約束的性質可以把它們區(qū)分成：性能約束性能約束針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求如，選擇某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束邊界約束只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊邊界界約束。例如，允許約束。例如，允許機床主軸機床主軸選擇的尺寸范圍，對選擇的尺寸范圍，對軸段長度軸段長度的限的限定范圍就屬于定范圍就屬于邊界邊界約束。約束。圖圖1-2 設計空間中的約束面（或約束線）設計空間中的約束面（或約束線） ( (a)a)

27、二變量設計空間中的約束線二變量設計空間中的約束線 ( (b) b) 三變量設計空間中的約束面三變量設計空間中的約束面 如圖如圖1-41-4上畫出了滿足兩項約束條件上畫出了滿足兩項約束條件g g1 1（X X）=x=x1 12 2x x2 22 216 O16 O和和g g2 2（X X）2 2X X2 200的二維設計問題的可行域的二維設計問題的可行域D D，它位于它位于X X2 2=2=2的上面和圓的上面和圓 x x1 12 2x x2 22 2=16=16的圓弧的圓弧ABCABC下面并包括線段下面并包括線段ACAC和圓弧和圓弧ABCABC在內(nèi)。在內(nèi)。圖圖1-3 約束條件規(guī)定的可行域約束條件

28、規(guī)定的可行域D 在設計空間中，滿足在設計空間中，滿足所有約束條件的所有約束條件的所構成的所構成的空間空間 。 在優(yōu)化過程中，通過設計變量的不斷向在優(yōu)化過程中，通過設計變量的不斷向F F( (X X) )值改善的方向值改善的方向自動調整，最后求得自動調整，最后求得F F( (X X) )值最好或最滿意的值最好或最滿意的X X值。在構造目標值。在構造目標函數(shù)時，應注意目標函數(shù)必須包含全部設計變量，所有的設計函數(shù)時，應注意目標函數(shù)必須包含全部設計變量，所有的設計變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設計中，可作為參考目標變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設計中，可作為參考目標函數(shù)的有：函數(shù)的有： 體積最小、

29、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結構體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結構運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負荷最小等等。負荷最小等等。 12( )()nF xF xxx， ， ， 為了對設計進行定量評價，必須構造包含設計變量的評價為了對設計進行定量評價，必須構造包含設計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)，以函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)，以F(X)F(X)表示。表示。 在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為單目標在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為單目標函數(shù)。當在同一設計中要提出

30、多個目標函數(shù)時，這種問題稱為多函數(shù)。當在同一設計中要提出多個目標函數(shù)時，這種問題稱為多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設計中，多目標函目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設計中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。求解亦愈復雜。 在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標函數(shù)的某些在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標函數(shù)的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目標函目標之間存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目標函數(shù)之間的關系。數(shù)之間的關系。 ( )Fcx 目標函數(shù)

31、是目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空維空間中描述出來。為了在間中描述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數(shù)的變化情維設計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。 目標函數(shù)的等值面（線）數(shù)學表達式為：目標函數(shù)的等值面（線）數(shù)學表達式為： c為一系列常數(shù)，代表一族為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設計空維超曲面。如在二維設計空間中，間中，F(xiàn)(x1,x2)=c 代表代表x-x設計平面上的一族曲線。設計平面上的一族曲線。 對于具有相等目標函數(shù)值的設計點構成的平面曲線或曲面對于具有相等目標函數(shù)值

32、的設計點構成的平面曲線或曲面稱為稱為等值線等值線或或等值面等值面。圖圖1-4 等值線等值線 圖圖1-51-5表示目標函數(shù)表示目標函數(shù)f f（X X）與兩個設計變量與兩個設計變量x x1 1，x x2 2階所構成階所構成的關系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的設的關系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的設計點所構成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一計點所構成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標系列的等值線，它們構成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)函數(shù)

33、的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中F F=40=40的等值線就是使的等值線就是使F(xF(x1 1,x,x2 2)=40)=40的各點的各點 x x1 1,x,x2 2 T T所組成的連所組成的連線。線。 如圖函數(shù)如圖函數(shù) 的等值線圖。的等值線圖

34、。2212121212( ,)60 104F x xxxxxx x圖圖1-5 等值線等值線滿足約束條件滿足約束條件 ：12 ,TnXx xx()minF X ()0(1,2, )kh Xkl()0(1,2,)jgXjm12min()(),. .()01,2,()01,2,nnjkF XF xxxXRst gXjmh Xkl， ， ，求設計變量向量求設計變量向量使目標函數(shù)使目標函數(shù) 對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為善的數(shù)學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。這時要抓住關鍵因素

35、，適當忽略不重要的成分，使復雜。這時要抓住關鍵因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學模型，這樣不僅可節(jié)省時問題合理簡化，以易于列出數(shù)學模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結果。間，有時也會改善優(yōu)化結果。 最優(yōu)化設計的目標函數(shù)通常為求目標函數(shù)的最小值。若最優(yōu)化設計的目標函數(shù)通常為求目標函數(shù)的最小值。若目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求- -F F（X X）的最小值，因為的最小值，因為minmin-F-F（X X）與與maxFmaxF（X X）是是等價的。當然，也可看成是求等價的。當然，也可看成是求1 1F

36、 F（X X）的極小值。的極小值。1）根據(jù)設計要求，應用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對）根據(jù)設計要求，應用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設計中的公式進行改優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術進步的成果。進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術進步的成果。2）對結構諸參數(shù)進行分析，以確定設計的原始參數(shù)、設計常）對結構諸參數(shù)進行分析，以確定設計的原始參數(shù)、設計常數(shù)和設計變量。數(shù)和設計變量。3）根據(jù)設計要求，確定并構造目標函數(shù)和相應的約束條件，）根據(jù)設計要求，確定并構造目標函數(shù)和相應的約束條件，有時要構造多

37、目標函數(shù)。有時要構造多目標函數(shù)。4）必要時對數(shù)學模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量）必要時對數(shù)學模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因導致的數(shù)量懸殊的影響。綱不同等原因導致的數(shù)量懸殊的影響。1p2pp2h hhL2 受力分析圖圓桿截面圖Bp2hL2桁桿示意圖d由兩根空心圓桿組成對稱的兩桿桁架，其頂點承受負載由兩根空心圓桿組成對稱的兩桿桁架，其頂點承受負載為為2p，兩支座之間的水平距離為兩支座之間的水平距離為2L，圓桿的壁厚為圓桿的壁厚為B，桿桿的比重為的比重為，彈性模量為彈性模量為E，屈服強度為屈服強度為 。求在桁架不求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度被破壞的情況

38、下使桁架重量最輕的桁架高度h及圓桿平均及圓桿平均直徑直徑d。解：桁桿的截面積為解：桁桿的截面積為 ：dBS222hLdBWhhLppp221cosdhBhLsp2211dhBhLp22222228hLBdE082222222dhBhLphLBdE 由此得穩(wěn)定約束：由此得穩(wěn)定約束：圓桿中應力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應力。由材料力學知：圓桿中應力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應力。由材料力學知：壓桿穩(wěn)定的臨界應力為壓桿穩(wěn)定的臨界應力為此應力要求小于材料的屈服極限，即：此應力要求小于材料的屈服極限，即： 于是桿截面的應力為：于是桿截面的應力為： 負載負載2p在每個桿上的分力為：在每個桿上的分力為： 桁桿的總重

39、量為：桁桿的總重量為： 另外還要考慮到設計變量另外還要考慮到設計變量d和和h有界。有界。 從而得到兩桿桁架最優(yōu)設計問題的數(shù)學模型：從而得到兩桿桁架最優(yōu)設計問題的數(shù)學模型：22222222222maxminmaxminmin2. .008dB Lhp LhstdhBE dBp LhdhBLhdddhhh對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法：還有其它的一些劃分方法： 如按設計變量的性質分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量如按設計變量的性質分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問題；規(guī)劃問題； 二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等

40、。約束無約束動態(tài)問題非線性規(guī)劃線性規(guī)劃約束問題維問題一維問題非線性問題線性問題無約束問題靜態(tài)問題最優(yōu)化問題n2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx例例1：如下二維非線性規(guī)劃問題：如下二維非線性規(guī)劃問題 通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設計的通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設計的基本思想?；舅枷搿?212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx 目標函數(shù)等值線是以點（目標函數(shù)等值線是以點（2，0

41、）為圓心的一組同心圓。）為圓心的一組同心圓。 如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：*(2,0)x，*()0Fx約束方程所圍成的可行域是約束方程所圍成的可行域是D。01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=0.58, 1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0221212min21. .50 s txxxxl由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得該切點為何的方法得該切點為 ， 對應的最優(yōu)值為對應的最優(yōu)值為 l (見圖）見圖）*3,2TX 2fXx2x12f

42、 1f Ol解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小值的點。使等值線具有最小值的點。122122122122min21.5050,0 xxs txxxxxxxl解：先畫出等式約束曲線解：先畫出等式約束曲線 的圖形。的圖形。 這是一條拋物線，如圖這是一條拋物線，如圖052221xxxl再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側區(qū)域）再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側區(qū)域）l最后畫出目標函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界

43、點，最后畫出目標函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，x1x2123456135ABCD 以及等值線與可行集的切點，易見可行以及等值線與可行集的切點，易見可行域為曲線段域為曲線段ABCD。當動點沿拋物曲線當動點沿拋物曲線段段ABCD由由A點出發(fā)時，點出發(fā)時，AB段目標函數(shù)段目標函數(shù)值下降。過點值下降。過點B后，在后，在BC段目標函數(shù)值段目標函數(shù)值上升。過上升。過C點后，在點后，在CD段目標函數(shù)值再段目標函數(shù)值再次下降。次下降。D點是使目標函數(shù)值最小的可點是使目標函數(shù)值最小的可行點，其坐標可通過解方程組：行點，其坐標可通過解方程組：2122125050 xxxxx( 4 1)TX，4fXl得出：得出

44、：x1x2123456135ABCDl 由以上三個例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我由以上三個例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我們總可以用圖解法求解，而對三維或高維問題，們總可以用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。已不便在平面上作圖，此法失效。l 在三維和三維以上的空間中，使目標函數(shù)取同在三維和三維以上的空間中，使目標函數(shù)取同一常數(shù)值的是一常數(shù)值的是 X| f(X)=C, C是常數(shù)是常數(shù)稱為目標函數(shù)稱為目標函數(shù)的等值面。的等值面。l等值面具有以下性質：等值面具有以下性質：l（1）不同值的等值面之間不相交，因為目標函數(shù)）不同值的等值面之間不相交，因為目標函數(shù)是單值函數(shù)；是單值

45、函數(shù)；l（2）等值面稠的地方，目標函數(shù)值變化得較快，）等值面稠的地方，目標函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；而稀疏的地方變化得比較慢；l（3）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。求解優(yōu)化問題的基本解法有：求解優(yōu)化問題的基本解法有： 即利用數(shù)學分析即利用數(shù)學分析( (微分、變分等）的方法，根據(jù)微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的解的求解方法求解方法 。在目標函數(shù)比較簡單時，求解還可以。在目

46、標函數(shù)比較簡單時，求解還可以。 局限性：局限性：工程優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件往往比較復工程優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件往往比較復雜，有時甚至還無法用數(shù)學方程描述，在這種情況下應用數(shù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學方程描述，在這種情況下應用數(shù)學分析方法就會帶來麻煩。學分析方法就會帶來麻煩。 最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計算法比解析法更能適應電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計值計算法比解析法更能適應電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計算的迭代方法具有以下特點：算的迭代方法具有以下特點： 1 1）是數(shù)值計算而不是數(shù)學分析方法；）是數(shù)值計

47、算而不是數(shù)學分析方法； 2 2）具有簡單的邏輯結構并能進行反復的同樣的算術計算；）具有簡單的邏輯結構并能進行反復的同樣的算術計算； 3 3）最后得出的是逼近精確解的近似解。）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點正與計算機的工作特點相一致。這些特點正與計算機的工作特點相一致。這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為數(shù)值迭代這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為數(shù)值迭代方法。它是根據(jù)目標函數(shù)的變化規(guī)律，以適當?shù)牟介L沿著能使目方法。它是根據(jù)目標函數(shù)的變化規(guī)律，以適當?shù)牟介L沿著能使目標函數(shù)值下降的方向，逐步向目標函數(shù)值的最優(yōu)點進行探索，逐標函數(shù)值下降的方向，逐步向目標函數(shù)值的最優(yōu)點進行探索，逐步逼近到目標函數(shù)的

48、最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數(shù)值解法（迭代步逼近到目標函數(shù)的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設計問題的基本解法。法）是優(yōu)化設計問題的基本解法。 其中也可能用到解析法，如最速下降方向的選取、最優(yōu)步長的確定等。 數(shù)值迭代法的數(shù)值迭代法的是進行反復的數(shù)值計算，尋是進行反復的數(shù)值計算，尋求求目標目標函數(shù)值不斷下降的可行計算點，直到最后獲得足夠精函數(shù)值不斷下降的可行計算點，直到最后獲得足夠精度的度的最優(yōu)點最優(yōu)點。這種方法的求優(yōu)過程大致可歸納為以下步驟：這種方法的求優(yōu)過程大致可歸納為以下步驟： 1 1）首先初選一個盡可能靠近最小點的初始點）首先初選一個盡可能靠近最小點的初始點X X（0 0），

49、從從X X（0 0）出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長，向前跨出一步出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長，向前跨出一步達到達到X X（1 1）點；點； 2 2）得到新點）得到新點X X（1 1）后再選擇一個新的使函數(shù)值迅速下降的后再選擇一個新的使函數(shù)值迅速下降的方向及適當?shù)牟介L，從方向及適當?shù)牟介L，從X X（1 1）點出發(fā)再跨出一步，達到點出發(fā)再跨出一步，達到X X（2 2）點，點，并依此類推，一步一步地向前探索并重復數(shù)值計算，最終達到并依此類推，一步一步地向前探索并重復數(shù)值計算，最終達到目標函數(shù)的最優(yōu)點。目標函數(shù)的最優(yōu)點。在中間過程中每一步的迭代形式為：在中間過程中每一步的迭代形式

50、為：11()()kkkkkkSFF k=0,1,2,xxxx 圖圖1-11 迭代計算機逐步逼近最優(yōu)點過程示意圖迭代計算機逐步逼近最優(yōu)點過程示意圖 上式中：上式中：X X（k k）第第k k步迭代計算所得到的點，稱第步迭代計算所得到的點，稱第k k步迭代點，步迭代點， 亦為第亦為第k k步設計方案；步設計方案； a a（k k）第第k k步迭代計算的步長；步迭代計算的步長； S S（k k）第第k k步迭代計算的探索方向。步迭代計算的探索方向。 用迭代法逐步逼近最優(yōu)點用迭代法逐步逼近最優(yōu)點的探索過程如圖的探索過程如圖1-81-8所示。所示。 運用迭代法，每次迭代所得新的點的目標函數(shù)都應滿足運用迭

51、代法，每次迭代所得新的點的目標函數(shù)都應滿足函數(shù)值下降的要求：函數(shù)值下降的要求：1()()kkFFxx1kkkkSxx（3）給定收斂準則）給定收斂準則*limkk xx收斂：收斂：迭代法要解決的問題：迭代法要解決的問題：11kkxx（1 1）點距準則）點距準則12kkiixx或或ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)13()()kkFFxx（2）函數(shù)值下降量函數(shù)值下降量 準則準則14()()()kkkFFFxxx或或xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)（3 3）目標函數(shù)梯度）目標函數(shù)梯度 準則準則5()kFx251010 (1,5)ii 上述準則都在一定程度上反映了逼近最優(yōu)點的程上述準則都在一定程度上反映了逼近最優(yōu)點的程度，但都有一定的局限性。在實際應用中，可取其中度，但都有一定的局限性。在實際應用中，可取其中一種或多種同時滿足來進行判定。一種或多種同時滿足來進行判定。采用哪種收斂準則，可視具體問題而定?？梢匀。翰捎媚姆N收斂準則，可視具體問題而定。可以?。?否是問題分析問題分析建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型選擇優(yōu)化方法選擇優(yōu)化方法編寫計算機程序編寫計算機程序準備初始數(shù)據(jù)，上機計算準備初始數(shù)據(jù)，上機計算確定最優(yōu)設計方案確定最優(yōu)設計方案方案評價與決策方案評價與決策