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1、第二節(jié) 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1.1.兩條直線的交點(diǎn)兩條直線的交點(diǎn)唯一解唯一解無解無解有無數(shù)組解有無數(shù)組解2.2.三種距離三種距離點(diǎn)點(diǎn)P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )之間之間的距離的距離 _ _點(diǎn)點(diǎn)P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直線到直線l:Ax+By+C:Ax+By+C=0=0的距離的距離 _ _兩條平行線兩條平行線Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0與與Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0間的距離間的距離 d=_d=_222121(xx )(yy )0022|AxByC|ABd 1222|CC |A

2、B12|PP |判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交.( ).( )(2)(2)點(diǎn)點(diǎn)P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直線到直線y=kx+by=kx+b的距離為的距離為 ( )( )(3)(3)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離距離.( ).( )(4)(4)若點(diǎn)若點(diǎn)A A，B B關(guān)于直線關(guān)于直線l :y=kx+b(k0) :y=kx+b(k0)對稱，則直線對稱，則

3、直線ABAB的斜率的斜率等于等于 且線段且線段ABAB的中點(diǎn)在直線的中點(diǎn)在直線l上上.( ).( )02|kxb|.1k1k，【解析】【解析】(1)(1)錯誤，當(dāng)方程組有唯一解時兩條直線相交，若方錯誤，當(dāng)方程組有唯一解時兩條直線相交，若方程組有無窮多個解，則兩條直線重合程組有無窮多個解，則兩條直線重合. .(2)(2)錯誤，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時必須將直線方程化為一錯誤，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時必須將直線方程化為一般式，即本問題的距離為般式，即本問題的距離為 (3)(3)正確，因?yàn)樽钚≈稻褪怯稍擖c(diǎn)向直線所作的垂線段的長，正確，因?yàn)樽钚≈稻褪怯稍擖c(diǎn)向直線所作的垂線段的長，即點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到

4、直線的距離. .(4)(4)正確，因?yàn)榫€段正確，因?yàn)榫€段ABAB被直線被直線l垂直平分垂直平分. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (4) (3) (4)002|kxyb|.1k1.1.已知點(diǎn)已知點(diǎn)(a,2)(a(a,2)(a0)0)到直線到直線l：x-y+3=0 x-y+3=0的距離為的距離為1 1，則，則a a等等于于( )( )(A)(A) (B) (B)(C) (D) (C) (D) 【解析】【解析】選選C.C.由由 且且a a0 0，得，得2222121|a23|12a21.2.2.若三條直線若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0y=2x,x+y=3,

5、mx+ny+5=0相交于同一點(diǎn)，相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)則點(diǎn)(m,n)(m,n)可能是可能是( )( )(A)(1(A)(1，-3) (B)(3-3) (B)(3，-1)-1)(C)(-3(C)(-3，1) (D)(-11) (D)(-1，3)3)【解析】【解析】選選A.A.由由m+2n+5=0m+2n+5=0，點(diǎn)點(diǎn)(m,n)(m,n)可能是可能是(1(1，-3).-3).y2x,x1,xy3,y2,得3.3.點(diǎn)點(diǎn)(a,b)(a,b)關(guān)于直線關(guān)于直線x+y+1=0 x+y+1=0的對稱點(diǎn)是的對稱點(diǎn)是( )( )(A)(-a-1,-b-1) (B)(-b-1,-a-1)(A)(-a-1,-b-1) (

6、B)(-b-1,-a-1)(C)(-a,-b) (D)(-b,-a)(C)(-a,-b) (D)(-b,-a)【解析】【解析】選選B.B.設(shè)對稱點(diǎn)為設(shè)對稱點(diǎn)為(x,y)(x,y)，則，則 解得：解得：x=-b-1x=-b-1，y=-a-1.y=-a-1.yb( 1)1,xaxayb1022 ，4.4.已知已知A(a,-5)A(a,-5)，B(0,10)B(0,10)，|AB|=17|AB|=17，則，則a=_.a=_.【解析】【解析】依題設(shè)及兩點(diǎn)間的距離公式得：依題設(shè)及兩點(diǎn)間的距離公式得： 解得解得a=a=8.8.答案答案: :8 822(a0)( 5 10)17, 5.5.平行線平行線l1

7、1：3x-2y-5=03x-2y-5=0與與l2 2: : 之間的距離為之間的距離為_._.【解析】【解析】直線直線l2 2可化為：可化為：3x-2y+ =03x-2y+ =0，由平行線間的距離公式，由平行線間的距離公式得：得：答案答案: :33yx2432223| 5|132d.23( 2) 132考向考向 1 1 直線的交點(diǎn)直線的交點(diǎn)【典例【典例1 1】求經(jīng)過直線求經(jīng)過直線l1 1:3x+2y-1=0:3x+2y-1=0和和l2 2:5x+2y+1=0:5x+2y+1=0的交點(diǎn)，的交點(diǎn)，且垂直于直線且垂直于直線l3 3:3x-5y+6=0:3x-5y+6=0的直線的直線l的方程的方程. .

8、【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】可先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式可先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式求解；也可用與直線垂直的直線系方程或過兩條直線交點(diǎn)求解；也可用與直線垂直的直線系方程或過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程求解的直線系方程求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】方法一：先解方程組方法一：先解方程組得得l1 1，l2 2的交點(diǎn)坐標(biāo)為的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1(-1，2)2)，再由再由l3 3的斜率的斜率 求出求出l的斜率為的斜率為于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出l： 即即5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.3x2y 105x2y10 ，3553 ，5y2(x1)3 ，方法二：由于

9、方法二：由于ll3 3，故，故l是直線系是直線系5x+3y+C=05x+3y+C=0中的一條，中的一條，而而l過過l1 1，l2 2的交點(diǎn)的交點(diǎn)(-1(-1，2)2)，故故5 5(-1)+3(-1)+32+C=02+C=0，由此求出，由此求出C=-1C=-1，故故l的方程為的方程為5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.方法三：由于方法三：由于l過過l1 1，l2 2的交點(diǎn)，故的交點(diǎn)，故l是直線系是直線系3x+2y-1+(5x+2y+1)=03x+2y-1+(5x+2y+1)=0中的一條，中的一條，將其整理，得將其整理，得(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0.(3+5)x+(2+2)y+

10、(-1+)=0.其斜率其斜率 解得解得代入直線系方程即得代入直線系方程即得l的方程為的方程為5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.355223 ，15 ，【拓展提升】【拓展提升】1.1.兩直線交點(diǎn)的求法兩直線交點(diǎn)的求法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn). .2.2.常見的三大直線系方程常見的三大直線系方程(1)(1)與直線與直線Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行的直線系方程是平行的直線系方程是Ax+By+m=0(mRAx+By+m=0(mR且且mC).mC)

11、.(2)(2)與直線與直線Ax+By+C=0Ax+By+C=0垂直的直線系方程是垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(mR).Bx-Ay+m=0(mR).(3)(3)過直線過直線l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0與與l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交點(diǎn)的直線系的交點(diǎn)的直線系方程為方程為A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(R)=0(R)，但不包括，但不包括l2 2. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(1)(1)已知直線方程為已知直線方程為(2a+1)x+(3a-

12、2)y-18a+5=0(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，求證：無論求證：無論a a為何實(shí)數(shù)值，直線必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐為何實(shí)數(shù)值，直線必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo). .【解析】【解析】原方程可化為原方程可化為x-2y+5+a(2x+3y-18)=0 x-2y+5+a(2x+3y-18)=0，它表示過直線它表示過直線x-2y+5=0 x-2y+5=0與直線與直線2x+3y-18=02x+3y-18=0交點(diǎn)的直線系方程，交點(diǎn)的直線系方程，無論無論a a取何值它都過兩直線的交點(diǎn)，由取何值它都過兩直線的交點(diǎn)，由所以直線過定點(diǎn)所以直線過定點(diǎn)(3(3，4).4).x2y50,x3,2

13、x3y 180,y4.解得(2)(2)當(dāng)當(dāng)m m為何值時，三條直線為何值時，三條直線l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0與與l2 2：x+y=0,x+y=0,l3 3：2x-3my-4=02x-3my-4=0能圍成一個三角形能圍成一個三角形? ?【解析】【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點(diǎn). .當(dāng)當(dāng)m0m0時，有時，有24123mmm.26313m ，解得：且，又因?yàn)橛忠驗(yàn)閘1 1：4x+y-3=04x+y-3=0與與l2 2：x+y=0 x+y=0的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為(1,-1)(1,-1)，所以所以2+3m-402+3m-4

14、0，解得，解得當(dāng)當(dāng)m=0m=0時，時，l3 3:2x-4=0,:2x-4=0,l1 1:4x+y-3=0,:4x+y-3=0,l2 2:x+y=0,:x+y=0,l1 1與與l3 3的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為(2,-5)(2,-5)，l1 1與與l2 2的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為(1,-1),(1,-1),l2 2與與l3 3的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為(2,-2)(2,-2)，能構(gòu)成三角形，符合題意能構(gòu)成三角形，符合題意. .綜上可知：綜上可知：2m.3122m,mm.633 且且考向考向 2 2 三種距離公式的應(yīng)用三種距離公式的應(yīng)用【典例【典例2 2】(1)(2012(1)(2012北京模擬北京模擬) )在在OABOAB

15、中，中，O O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1A(1，cos )cos )，B(sin B(sin ，1)1)，則，則OABOAB的面積的取值范圍的面積的取值范圍是是( )( ) 1 3A (01 B 2 21 31 3C D 4 24 4， ，(2)(2)圓圓C C：x x2 2+y+y2 2=4=4上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)到直線l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0距離的最大值為距離的最大值為_._.(3)(3)已知直線已知直線l1 1:mx+8y+n=0:mx+8y+n=0與與l2 2:2x+my-1=0:2x+my-1=0互相平行，且互相平行，且l1 1, ,l2 2之之間的距離為間的

16、距離為 求直線求直線l1 1的方程的方程. .5，【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】(1)(1)利用兩點(diǎn)間距離公式求出利用兩點(diǎn)間距離公式求出|OA|OA|，再利用點(diǎn)到，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)直線的距離公式求出點(diǎn)B B到直線到直線OAOA的距離的距離d.d.然后將然后將S SOABOAB表示成表示成的函數(shù)再求范圍的函數(shù)再求范圍. .(2)(2)利用幾何性質(zhì)，只需先求圓心到直線利用幾何性質(zhì)，只需先求圓心到直線l的距離，再加上半徑的距離，再加上半徑即得即得. .(3)(3)先由先由l1 1l2 2, ,求出求出m m的值，再根據(jù)的值，再根據(jù)l1 1, ,l2 2之間的距離為之間的距離為 求出求出n n

17、的值，即得的值，即得l1 1的方程的方程. .5，【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.由兩點(diǎn)間距離公式得由兩點(diǎn)間距離公式得又直線又直線OAOA的斜率的斜率直線直線OAOA的方程為的方程為y=xcos y=xcos ，即，即xcos -y=0 xcos -y=0，點(diǎn)點(diǎn)B(sin B(sin ，1)1)到直線到直線OAOA的距離的距離2|OA|cos1 ，OAcos 0kcos 1 0，2|sin cos 1|dcos 1211sin 221cos，2OAB2OAB11sin 2112S|OA| dcos1221cos11sin2 ,R2413S.44又，(2)(2)圓圓C C：x x

18、2 2+y+y2 2=4=4的圓心的圓心(0(0，0)0)到直線到直線l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0的距離的距離直線直線l與圓與圓C C相離相離, ,最大值為最大值為4+2=6.4+2=6.答案答案: :6 6223 04 020d4 234 ，(3)(3)l1 1l2 2，當(dāng)當(dāng)m=4m=4時，直線時，直線l1 1的方程為的方程為4x+8y+n=04x+8y+n=0，把，把l2 2的方程寫成的方程寫成4x+8y-2=04x+8y-2=0， 解得解得n=-22n=-22或或n=18.n=18.所以，所求直線的方程為所以，所求直線的方程為2x+4y-11=02x+4y-11=0或或

19、2x+4y+9=0.2x+4y+9=0.m8n2m1，m4,m4,n2n2. 或|n2|51664，當(dāng)當(dāng)m=-4m=-4時，直線時，直線l1 1的方程為的方程為4x-8y-n=04x-8y-n=0，l2 2的方程為的方程為4x-8y-2=04x-8y-2=0， 解得解得n=-18n=-18或或n=22.n=22.所以，所求直線的方程為所以，所求直線的方程為2x-4y+9=02x-4y+9=0或或2x-4y-11=0.2x-4y-11=0.| n2|5,1664 【互動探究】【互動探究】本例題本例題(2)(2)中圓中圓C C變?yōu)闄E圓變?yōu)闄E圓CC： 則最大則最大值如何？值如何？【解析】【解析】設(shè)與

20、設(shè)與l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0平行且與橢圓相切的直線平行且與橢圓相切的直線l的方的方程為：程為：3x+4y+c=0(c-20)3x+4y+c=0(c-20)，由由 消去消去y y得關(guān)于得關(guān)于x x的一元二次方程為的一元二次方程為18x18x2 2+6cx+c+6cx+c2 2-144=0,-144=0,=(6c)=(6c)2 2-4-41818(c(c2 2-144)=0-144)=0，解得解得22xy1169 ，223x4yc0 xy1169，c12 2. 數(shù)形結(jié)合得最大距離為數(shù)形結(jié)合得最大距離為l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0與與3x+4y+ =03x+4

21、y+ =0間的距間的距離，離，12 222|12 2( 20)|1242.534 【拓展提升】【拓展提升】 1.1.三種距離的求法三種距離的求法(1)(1)兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(xA(xA A,y,yA A),B(x),B(xB B,y,yB B) )，特例：特例：ABxABx軸時，軸時，|AB|=|y|AB|=|yA A-y-yB B| |；AByABy軸時，軸時，|AB|=|x|AB|=|xA A-x-xB B|.|.22ABAB|AB|(xx )(yy ) .(2)(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程可直接利用點(diǎn)到直線的距

22、離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式必須為一般式. .(3)(3)兩平行直線間的距離兩平行直線間的距離利用利用“化歸化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；意一點(diǎn)到另一條直線的距離；利用兩平行線間的距離公式利用兩平行線間的距離公式. .【提醒】【提醒】應(yīng)用兩平行線間的距離公式求距離時應(yīng)用兩平行線間的距離公式求距離時, ,要注意兩平行要注意兩平行直線方程中直線方程中x x，y y的系數(shù)必須相等的系數(shù)必須相等. .2.2.解析幾何中最值問題的兩大求解思想解析幾何中最值問題的兩大求解思想(1)(1)函數(shù)思想：選變量構(gòu)建目

23、標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值函數(shù)思想：選變量構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. .(2)(2)數(shù)形結(jié)合思想：利用待求量數(shù)形結(jié)合思想：利用待求量( (式式) )的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解解. .【變式備選】【變式備選】已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(2A(2，-1)-1)，(1)(1)求過點(diǎn)求過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)距離為且與原點(diǎn)距離為2 2的直線的直線l的方程的方程. .(2)(2)求過點(diǎn)求過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)距離最大的直線且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多的方程，最大距離是多少？少？(3)(3)是否存在過點(diǎn)是否存在過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)距離為且與原點(diǎn)距離為6 6的直線？若存在，求出方的直線？

24、若存在，求出方程；若不存在，請說明理由程；若不存在，請說明理由. .【解析】【解析】(1)(1)當(dāng)斜率不存在時，直線當(dāng)斜率不存在時，直線l的方程為的方程為x=2x=2，此時，此時，原點(diǎn)到直線原點(diǎn)到直線l的距離為的距離為2 2，符合題意；，符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為的方程為y+1=k(x-2)y+1=k(x-2)，即，即kx-y-2k-1=0kx-y-2k-1=0，由已知得，由已知得解得解得 此時直線此時直線l的方程為的方程為3x-4y-10=0,3x-4y-10=0,綜上可知：直線綜上可知：直線l的方程為的方程為x=2x=2或或3x-4y-10=0.3x-4y

25、-10=0.2| 2k1|2,k13k4，(2)(2)過點(diǎn)過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)且與原點(diǎn)O O距離最大的直線是過點(diǎn)距離最大的直線是過點(diǎn)A A與與AOAO垂直的直線，垂直的直線，由由lAOAO，得，得k klk kOAOA=-1=-1，所以，所以 由直線的點(diǎn)斜式得由直線的點(diǎn)斜式得y+1=2(x-2)y+1=2(x-2)，即，即2x-y-5=02x-y-5=0，即直線，即直線2x-y-5=02x-y-5=0是過點(diǎn)是過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線距離最大的直線l的方程，最大距離是的方程，最大距離是OA1k2k ，l| 5|5.5(3)(3)由由(2)(2)可知，過點(diǎn)可知，過點(diǎn)A A不存在到原點(diǎn)

26、距離超過不存在到原點(diǎn)距離超過 的直線，的直線，因此不存在過點(diǎn)因此不存在過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)距離為且與原點(diǎn)距離為6 6的直線的直線. .5考向考向 3 3 對稱問題對稱問題【典例【典例3 3】已知直線已知直線l：2x-3y+1=02x-3y+1=0，點(diǎn)，點(diǎn)A(-1,-2).A(-1,-2).求：求：(1)(1)點(diǎn)點(diǎn)A A關(guān)于直線關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)AA的坐標(biāo)的坐標(biāo). .(2)(2)直線直線m:3x-2y-6=0m:3x-2y-6=0關(guān)于直線關(guān)于直線l的對稱直線的對稱直線mm的方程的方程. .(3)(3)直線直線l關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A A的對稱直線的對稱直線l的方程的方程. .【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥

27、】(1)(1)設(shè)出對稱點(diǎn)設(shè)出對稱點(diǎn)AA的坐標(biāo)，利用線段的坐標(biāo)，利用線段AAAA被直線被直線l垂直平分，構(gòu)建方程組求解垂直平分，構(gòu)建方程組求解. .(2)(2)可設(shè)法找到可設(shè)法找到mm上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出方程上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出方程. .(3)(3)可設(shè)法找到兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線可設(shè)法找到兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線l的方程；或利的方程；或利用對稱性得用對稱性得ll，利用待定系數(shù)法求直線，利用待定系數(shù)法求直線l的方程；也可在的方程；也可在l上任取一點(diǎn)，利用該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)上任取一點(diǎn)，利用該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A A的對稱點(diǎn)在直線的對稱點(diǎn)在直線l上得出方程上得出方程. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解

28、答】(1)(1)設(shè)對稱點(diǎn)設(shè)對稱點(diǎn)AA的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(m,n)(m,n)，由已知可得，由已知可得33n22m133 413m13A (,).4m 1n213 13n23101322 ，解得即，(2)(2)在直線在直線m m上取一點(diǎn)，如上取一點(diǎn)，如B(2B(2，0)0)，則，則B B關(guān)于關(guān)于l的對稱點(diǎn)必的對稱點(diǎn)必在在mm上上. .設(shè)對稱點(diǎn)為設(shè)對稱點(diǎn)為B(a,b),B(a,b),則由則由 得得a2b0231022b021a23 ，6 30B(,).13 13設(shè)設(shè)m m與與l的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為N N，由由 得得N(4N(4，3).3).又又mm過過N N點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線mm的方程為

29、的方程為 即即9x-46y+102=0.9x-46y+102=0.2x3y10,3x2y60, y3x4306341313，(3)(3)方法一：在方法一：在l：2x-3y+1=02x-3y+1=0上任取兩點(diǎn)，如上任取兩點(diǎn)，如M(1M(1，1)1)，N(4N(4，3).3).則則M M，N N關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A A的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)MM，NN均在直線均在直線l上上. .易知易知M(-3M(-3，-5)-5)，N(-6N(-6，-7)-7)，由兩點(diǎn)式可得，由兩點(diǎn)式可得l的方程為的方程為2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.方法二：方法二：ll，可設(shè)可設(shè)l的方程為的方程為2x-3y+c=0(c1).2x

30、-3y+c=0(c1).點(diǎn)點(diǎn)A A到兩直線的距離相等，到兩直線的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得由點(diǎn)到直線的距離公式得 得得c=-9c=-9，l的方程為的方程為2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.2222| 26c| 26 1|2( 3)2( 3) ，方法三：設(shè)方法三：設(shè)P(x,y)P(x,y)是是l上任一點(diǎn)，則上任一點(diǎn)，則P(x,y)P(x,y)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A(-1A(-1，-2)-2)的對稱點(diǎn)為的對稱點(diǎn)為P(-2-x,-4-y).P(-2-x,-4-y).點(diǎn)點(diǎn)PP在直線在直線l上，上，2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.整理得整理得2x-3y

31、-9=0.2x-3y-9=0.l的方程為的方程為2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.【拓展提升】【拓展提升】 1.1.中心對稱問題的兩個類型及求解方法中心對稱問題的兩個類型及求解方法(1)(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：若點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：若點(diǎn)M(xM(x1 1,y,y1 1) )及及N(xN(x，y)y)關(guān)于關(guān)于P(a,b)P(a,b)對稱，對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 進(jìn)而求解進(jìn)而求解. .11x2axy2by，(2)(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱，主要求解方法是：直線關(guān)于點(diǎn)的對稱，主要求解方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于

32、已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；求出一個對稱點(diǎn)，再利用求出一個對稱點(diǎn)，再利用l1 1l2 2，由點(diǎn)斜式得到所求直線，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程方程. .2.2.軸對稱問題的兩個類型及求解方法軸對稱問題的兩個類型及求解方法(1)(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱：若兩點(diǎn)若兩點(diǎn)P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )與與P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )關(guān)于直線關(guān)于直線l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0對稱，則線對稱，則線段段P P1 1P P2 2的中點(diǎn)在對稱軸的中點(diǎn)在對稱軸l上，而且連接上，而且連接P P

33、1 1P P2 2的直線垂直于對稱軸的直線垂直于對稱軸l，由方程組，由方程組可得到點(diǎn)可得到點(diǎn)P P1 1關(guān)于關(guān)于l對稱的點(diǎn)對稱的點(diǎn)P P2 2的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x(x2 2,y,y2 2)()(其中其中B0B0，x x1 1xx2 2).).12122121xxyyA()B()C022yyA()1xxB ，(2)(2)直線關(guān)于直線的對稱：直線關(guān)于直線的對稱：一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】在在ABCABC中，中

34、，BCBC邊上的高所在的直線方程為邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0,Ax-2y+1=0,A的平分線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為y=0y=0，若點(diǎn)，若點(diǎn)B B的坐的坐標(biāo)為標(biāo)為(1(1，2)2)，求點(diǎn)，求點(diǎn)A A和點(diǎn)和點(diǎn)C C的坐標(biāo)的坐標(biāo). .【解析】【解析】如圖，如圖，由由得得A(-1,0).A(-1,0).y0,x2y10 ，x1,y0 ，y=0y=0是是AA的平分線，的平分線，點(diǎn)點(diǎn)B B關(guān)于關(guān)于y=0y=0的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)B(1B(1，-2)-2)在直線在直線ACAC上，上，直線直線ACAC的方程為的方程為 即即y=-x-1.y=-x-1.又又BCBC的方程為的方程為y-

35、2=-2(x-1)y-2=-2(x-1)，即，即y=-2x+4.y=-2x+4.由由點(diǎn)點(diǎn)C(5C(5，-6).-6).綜上，點(diǎn)綜上，點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-1(-1，0)0)，點(diǎn)，點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(5(5，-6).-6).y21x11 1 ，yx1,x5,y2x4y6. 解得，【創(chuàng)新體驗(yàn)】【創(chuàng)新體驗(yàn)】有關(guān)有關(guān)“距離距離”的創(chuàng)新問題的創(chuàng)新問題【典例】【典例】(2013(2013長沙模擬長沙模擬) )已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(0A(0，2)2)，B(2B(2，0).0).若點(diǎn)若點(diǎn)C C在在函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2的圖象上，則使得的圖象上，則使得ABCABC的面積為的面積為2 2的點(diǎn)的點(diǎn)C C的

36、個數(shù)為的個數(shù)為( )( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】選選A.A.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)C(t,tC(t,t2 2) )，直線，直線ABAB的方程是的方程是x+y-2=0 x+y-2=0，|AB|= |AB|= 由于由于ABCABC的面積為的面積為2 2，則這個三角形中，則這個三角形中ABAB邊上的邊上的高高h(yuǎn) h滿足方程滿足方程 即即 由點(diǎn)到直線的距離公式由點(diǎn)到直線的距離公式得得 即即|t|t2 2+t-2|=2+t-2|=2，即，即t t2 2+t-2=2+t-2=2或者或者t t2 2+t-2=-2.+t

37、-2=-2.因?yàn)檫@兩個方程各有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故這樣的點(diǎn)因?yàn)檫@兩個方程各有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故這樣的點(diǎn)C C有有4 4個個. .2 2.12 2h22 ，h2.2| tt2|22，【思考點(diǎn)評】【思考點(diǎn)評】1.1.方法感悟：本題充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)與方程思方法感悟：本題充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用，即通過轉(zhuǎn)化將點(diǎn)想在解題中的應(yīng)用，即通過轉(zhuǎn)化將點(diǎn)C C的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)C C的橫坐標(biāo)方程解的個數(shù)問題求解，這種將的橫坐標(biāo)方程解的個數(shù)問題求解，這種將“形形”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“數(shù)數(shù)”的思想方法值得我們仔細(xì)體會的思想方法值得我們仔細(xì)體會. .

38、2.2.技巧提升：對于技巧提升：對于“距離距離”的創(chuàng)新問題，常見的類型有：求有的創(chuàng)新問題，常見的類型有：求有關(guān)長度或三角形面積的最值問題，或知長度、三角形面積情況關(guān)長度或三角形面積的最值問題，或知長度、三角形面積情況探究點(diǎn)的個數(shù)以及與圓位置有關(guān)的問題等，常用的思想方法有探究點(diǎn)的個數(shù)以及與圓位置有關(guān)的問題等，常用的思想方法有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想. . 有關(guān)有關(guān)“距離距離”的創(chuàng)新問題雖然問法新穎，但考查的還是距的創(chuàng)新問題雖然問法新穎，但考查的還是距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將所求問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題求離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將所求問題轉(zhuǎn)化為熟悉

39、的問題求解解. .1.(20131.(2013鄭州模擬鄭州模擬) )若直線若直線l與直線與直線y=1y=1和和x-y-7=0 x-y-7=0分別交于點(diǎn)分別交于點(diǎn)M M，N N，且，且MNMN的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為P(1P(1，-1)-1)，則直線，則直線l的斜率等于的斜率等于( )( )【解析】【解析】選選B.B.設(shè)設(shè)l與與y=1y=1交于點(diǎn)交于點(diǎn)M(m,1)M(m,1)，l與與x-y-7=0 x-y-7=0交于點(diǎn)交于點(diǎn)N(n+7N(n+7，n).n).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得m=-2,n=-3m=-2,n=-3，即，即M(-2M(-2，1)1)，kkPMPM= =2233(A) (B) (

40、C) (D)33222.32.(20132.(2013成都模擬成都模擬) )直線直線3x-4y+5=03x-4y+5=0關(guān)于關(guān)于x x軸對稱的直線方程軸對稱的直線方程為為( )( )(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0【解析】【解析】選選A.A.直線直線3x-4y+5=03x-4y+5=0關(guān)于關(guān)于x x軸對稱的直線方程是軸對稱的直線方程是3x-4(-y)+5=03x-4(-y)+5=0，即，即3x+4y+5=0.3x+4y+

41、5=0.3.(20133.(2013泉州模擬泉州模擬) )過點(diǎn)過點(diǎn)A(1A(1，2)2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為程為( )( )(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0【解析】【解析】選選A.A.所求直線過點(diǎn)所求直線過點(diǎn)A A且與且與OAOA垂直時滿足條件，而垂直時滿足條件，而k kOAOA=2=2，故所求直線的斜率為，故所求直線的斜率為 所以所求直線方程為所以所求直線方程為y-2= y-2= 即即x+2y-5=0.x+2y

42、-5=0.12 ，1(x1),24.(20134.(2013青島模擬青島模擬) )如圖，已知如圖，已知A(4A(4，0)0)，B(0B(0，4)4)，從點(diǎn)，從點(diǎn)P(2P(2，0)0)射出的光線經(jīng)直線射出的光線經(jīng)直線ABAB反射后再射反射后再射到直線到直線OBOB上，最后經(jīng)直線上，最后經(jīng)直線OBOB反射反射后又回到后又回到P P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是( )( )(A) (B)6(A) (B)6(C) (D)(C) (D)2 103 32 5【解析】【解析】選選A.A.由題意知點(diǎn)由題意知點(diǎn)P P關(guān)于直線關(guān)于直線ABAB的對稱點(diǎn)為的對稱點(diǎn)為D(4D(4，2)2)，關(guān)于關(guān)于y

43、 y軸的對稱點(diǎn)為軸的對稱點(diǎn)為C(-2C(-2，0)0)，則光線所經(jīng)過的路程的長為則光線所經(jīng)過的路程的長為故選故選A.A.|CD| 2 10.5.(20135.(2013北京模擬北京模擬) )已知已知 (a(a0,b0,b0)0)，則點(diǎn)，則點(diǎn)(0,b)(0,b)到直線到直線x-2y-a=0 x-2y-a=0的距離的最小值為的距離的最小值為_._.111ab【解析】【解析】點(diǎn)點(diǎn)(0,b)(0,b)到直線到直線x-2y-a=0 x-2y-a=0的距離為的距離為 當(dāng)當(dāng)a a2 2=2b=2b2 2且且a+b=aba+b=ab，即，即 時時取等號取等號. .答案答案: :a2b11112ba1da2b

44、()(3)(32 2)abab55553 52 10,522a12,b2 3 52 1051.1.已知已知A A，B B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2x-y=02x-y=0和和x+ay=0 x+ay=0上，上，且且ABAB線段的中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)為 則線段則線段ABAB的長為的長為( )( )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11(A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】【解析】選選C.C.由已知兩直線互相垂直得由已知兩直線互相垂直得a=2a=2，線段線段ABAB中點(diǎn)為中點(diǎn)為P(0P(0，5)5)，且，且ABAB為直角三角形為直角三角形AOBAOB的斜邊的

45、斜邊(O(O為兩直線的交點(diǎn)為兩直線的交點(diǎn)) )，由直角三角形的性質(zhì)得由直角三角形的性質(zhì)得|AB|=2|PO|=10.|AB|=2|PO|=10.10P(0)a， ，2.2.設(shè)兩條直線的方程分別為設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0,x+y+b=0 x+y+a=0,x+y+b=0，已知，已知a,ba,b是方程是方程x x2 2+x+c=0+x+c=0的兩個實(shí)根，且的兩個實(shí)根，且0c 0c 求這兩條直線之間的距離求這兩條直線之間的距離的最大值和最小值的最大值和最小值. .18，【解析】【解析】a,ba,b是方程是方程x x2 2+x+c=0+x+c=0的兩個實(shí)根，的兩個實(shí)根，a+b=-1,ab=c,a+b=-1,ab=c,(a-b)(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab=1-4c.-4ab=1-4c.又又兩直線間的距離兩直線間的距離這兩條直線間的距離的最大值為這兩條直線間的距離的最大值為 最小值為最小值為|ab|14c1d(0c)282，12d22，2,21.2