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1,積分變換,Fourier變換,Recall: 周期函數(shù)在一定條件下可以展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)； 但全直線(xiàn)上的非周期函數(shù)不能用Fourier表示； 引進(jìn)類(lèi)似于Fourier級(jí)數(shù)的Fourier積分 (周期趨于無(wú)窮時(shí)的極限形式),2,1 Fourier積分公式,1.1 Recall:,在工程計(jì)算中, 無(wú)論是電學(xué)還是力學(xué), 經(jīng)常要和隨時(shí)間 變化的周期函數(shù)fT(t)打交道. 例如:,具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中T稱(chēng)作周期, 而1/T代表 單位時(shí)間振動(dòng)的次數(shù), 單位時(shí)間通常取秒, 即每秒重復(fù) 多少次, 單位是赫茲(Herz, 或Hz).,3,最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn), 所有 的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的 線(xiàn)性組合來(lái)逼近.—— Fourier級(jí)數(shù),,,方波,4個(gè)正弦波的逼近,100個(gè)正弦波的逼近,4,研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的 情況即可, 通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的 情況.,Dirichlet條件：,連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；,只有有限個(gè)極值點(diǎn)；,可展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，且在連續(xù)點(diǎn)t處成立：,5,引進(jìn)復(fù)數(shù)形式：,6,級(jí)數(shù)化為：,7,合并為：,級(jí)數(shù)化為：,若以 描述某種信號(hào)，,則 可以刻畫(huà) 的特征頻率。,8,對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)f (t)都可以看成是由某個(gè)周期 函數(shù)fT(t)當(dāng)T??時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的. 作周期為T(mén)的函數(shù)fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上, 則T 越大, fT(t)與f (t)相等的范圍也越大, 這就說(shuō)明當(dāng)T?? 時(shí),周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f (t), 即有,9,,,例 矩形脈沖函數(shù)為,如圖所示:,1,-1,O,t,f (t),1,10,現(xiàn)以f (t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T(mén)的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 則,11,則,12,,,sinc(x),x,,sinc函數(shù)介紹,13,,,前面計(jì)算出,,,,,,,,,,,w,可將 以豎線(xiàn)標(biāo)在頻率圖上,14,,,,1,-1,7,,,T=8,f8(t),t,現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍, 令T=8, 以f (t)為基礎(chǔ)構(gòu)造 一周期為8的周期函數(shù)f8(t),15,則,16,,,則在T=8時(shí),,w,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,再將 以豎線(xiàn)標(biāo)在頻率圖上,17,,,如果再將周期增加一倍, 令T=16, 可計(jì)算出,w,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,再將 以豎線(xiàn)標(biāo)在頻率圖上,18,一般地, 對(duì)于周期T,19,當(dāng)周期T越來(lái)越大時(shí), 各個(gè)頻率的正弦波的頻率間 隔越來(lái)越小, 而它們的強(qiáng)度在各個(gè)頻率的輪廓?jiǎng)t總是 sinc函數(shù)的形狀, 因此, 如果將方波函數(shù)f (t)看作是周 期無(wú)窮大的周期函數(shù), 則它也可以看作是由無(wú)窮多個(gè)無(wú) 窮小的正弦波構(gòu)成, 將那個(gè)頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的 形狀看作是方波函數(shù)f (t)的各個(gè)頻率成份上的分布, 稱(chēng) 作方波函數(shù)f (t)的傅里葉變換.,20,,1.2 Fourier積分公式與Fourier積分存在定理,21,22,23,24,付氏積分公式也可以轉(zhuǎn)化為三角形式,25,又考慮到積分,26,2 Fourier變換 2.1 Fourier變換的定義,,,,27,,Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的 一種充分條件.,28,在頻譜分析中, 傅氏變換F(?)又稱(chēng)為f(t)的頻譜函 數(shù), 而它的模|F(?)|稱(chēng)為f (t)的振幅頻譜(亦簡(jiǎn)稱(chēng)為頻譜). 由于?是連續(xù)變化的, 我們稱(chēng)之為連續(xù)頻譜, 對(duì)一個(gè)時(shí)間 函數(shù)f (t)作傅氏變換, 就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)f (t)的頻譜.,29,例 1 求矩形脈沖函數(shù) 的付氏變換及其 積分表達(dá)式。,30,31,32,2.2 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,在物理和工程技術(shù)中, 常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù). 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在電學(xué)中, 要 研究線(xiàn)性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后產(chǎn)生的電 流; 在力學(xué)中, 要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn) 動(dòng)情況等. 研究此類(lèi)問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位 脈沖函數(shù).,33,在原來(lái)電流為零的電路中, 某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入 一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以q(t) 表示上述電路中的電荷函數(shù), 則,當(dāng)t?0時(shí), i(t)=0, 由于q(t)是不連續(xù)的, 從而在普通 導(dǎo)數(shù)意義下, q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.,34,如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù), 則得,這表明在通常意義下的函數(shù)類(lèi)中找不到一個(gè)函數(shù)能 夠表示這樣的電流強(qiáng)度. 為了確定這樣的電流強(qiáng)度, 引進(jìn) 一個(gè)稱(chēng)為狄拉克(Dirac)函數(shù), 簡(jiǎn)單記成d-函數(shù):,有了這種函數(shù), 對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量, 例 如點(diǎn)電荷, 點(diǎn)熱源, 集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的 非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以 統(tǒng)一的方式加以解決.,35,,（在極限與積分可交換意義下）,工程上將d-函數(shù)稱(chēng)為單位脈沖函數(shù)。,36,可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線(xiàn)段表示, 這個(gè) 線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值, 稱(chēng)為d-函數(shù)的強(qiáng)度.,,,t,O,d (t),,1,d-函數(shù)有性質(zhì)：,可見(jiàn)d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分 都有明確意義。,37,d-函數(shù)的傅氏變換為:,于是d (t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).,證法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆變換可得,例1 證明：1和2pd (w)構(gòu)成傅氏變換對(duì).,證法1：,38,由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得,39,例如常數(shù), 符號(hào)函數(shù), 單位階躍函數(shù)以及正, 余弦函數(shù) 等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的, 利用單位脈 沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換. 所謂 廣義是相對(duì)于古典意義而言的, 在廣義意義下, 同樣可 以說(shuō),象原函數(shù)f(t)和象函數(shù)F(w)構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì).,在物理學(xué)和工程技術(shù)中, 有許多重要函數(shù)不滿(mǎn)足傅 氏積分定理中的絕對(duì)可積條件, 即不滿(mǎn)足條件,40,例4 求正弦函數(shù)f (t)=sinw0t的傅氏變換。,41,例 5 證明：,證：,42,,43,3 Fourier變換與逆變換的性質(zhì),這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì), 為了敘述方 便起見(jiàn), 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅氏變換的函 數(shù)都滿(mǎn)足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時(shí), 不再重述這些條件.,1.線(xiàn)性性質(zhì):,44,2. 位移性質(zhì):,證明：,為實(shí)常數(shù)，則,45,3. 相似性質(zhì)：,證明：,46,例1 計(jì)算 。,方法1：（先用相似性質(zhì)，再用平移性質(zhì)）,47,方法2：（先用平移性質(zhì)，再用相似性質(zhì)）,48,4.微分性質(zhì)：,像原函數(shù)的微分性質(zhì)：,則,49,5.積分性質(zhì)：,,,6. 帕塞瓦爾(Parserval)等式,50,實(shí)際上, 只要記住下面五個(gè)傅里葉變換, 則所有的 傅里葉變換都無(wú)須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換的 性質(zhì)導(dǎo)出.,51,例2 利用傅氏變換的性質(zhì)求d (t-t0),性質(zhì),性質(zhì),52,例3 若 f (t)=cosw0t ? u(t), 求其傅氏變換。,53,7.卷積與卷積定理,卷積定義：,卷積的簡(jiǎn)單性質(zhì)：,54,例1 求下列函數(shù)的卷積：,由卷積的定義有,55,,卷積定理：,56,例2 求 的傅氏變換。,性質(zhì),57,利用卷積公式來(lái)證明積分公式：,證明：,