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三自由度并聯(lián)機(jī)器人的精度分析 摘要 三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人越來(lái)越多的被應(yīng)用于精確度很重要的領(lǐng)域，因而毫無(wú)疑問(wèn)地會(huì)需要測(cè)試這些機(jī)器人精確性的方法。那些設(shè)計(jì)精良，制作很好，校正好的并聯(lián)機(jī)器人的精確性主要依靠輸入誤差（傳感器和控制器的誤差）靈巧和其他類似的性能指標(biāo)經(jīng)常被用來(lái)直接測(cè)試輸入誤差的影響。然而工業(yè)需要的是在一個(gè)既定的額定配置下，有關(guān)最大的方向和位置的輸出誤差的精確知識(shí)。一種能夠用于此目的的區(qū)間分析法已經(jīng)在文 獻(xiàn) 中提出，但是對(duì)于優(yōu)化設(shè)計(jì)的問(wèn)題并沒(méi)有給出運(yùn)動(dòng)學(xué)方面的深刻見(jiàn)解。在此論文里，我將在對(duì)三自由度平面 并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行詳細(xì)的 誤差 分析的基礎(chǔ)上，提出一個(gè)更簡(jiǎn)單的，有助于理解 誤差 放大的方法。 并聯(lián)機(jī)器人越來(lái)越多地應(yīng)用于精確定位，而且許多并聯(lián)機(jī)器人被 用來(lái) 做三自由度平面 校準(zhǔn) 。顯然，在這些工業(yè)實(shí)際應(yīng)用中，精確度是最重要的。因此，工業(yè)很需要能夠簡(jiǎn)單快速的計(jì)算一個(gè)給定的機(jī)器人的精確度的方法，以便用其設(shè)計(jì)尋求最大精確度的最佳求解程序。 并聯(lián)機(jī)器人在方向和位置上的誤差取決于以下幾個(gè)因素： 差 ，此種 誤差 在校對(duì)的時(shí)候是能夠考慮到 ； 力 ，選擇適當(dāng)?shù)臋C(jī)械零部件可以消除這種影響 ； 用更堅(jiān)硬的結(jié)構(gòu)消除這種 影響（這種方法將增加慣性，降低操作速度） ； 于編碼器有限的決定以及傳感器錯(cuò)誤和控制器錯(cuò)誤。 因而，正如梅爾萊所指出的，明顯的關(guān)節(jié)處的失誤（輸出 誤差 ）是 設(shè)計(jì)精良，制作很好，校正好的并聯(lián)機(jī)器人出錯(cuò)的最重要的 誤差 來(lái)源。 在此論文里，我們將解決計(jì)算并聯(lián)機(jī)器人只存在明顯的關(guān)節(jié)連接的錯(cuò)誤時(shí)，它的精確度的問(wèn)題。 為了論文總體平衡，“精確度”這個(gè)術(shù)語(yǔ)因而指的是當(dāng)并聯(lián)機(jī)器人只存在明顯的關(guān)節(jié)連接錯(cuò)誤時(shí)在方向和定位上的失誤。 經(jīng)典分析法存在于使得輸入錯(cuò)誤與輸出誤差相一致的一級(jí)近似值中： P= 的是的 驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的 （輸入）錯(cuò)誤的向量， 差 的向量， 然而 ,這種方法將只提供一種近似的輸出最大誤差 。 事實(shí)上 ,正如我們?cè)谖恼轮兴撌龅?,當(dāng)給定驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)和一些不確定的范圍，一般情況下 驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié) 變量的一個(gè)局部最大位置誤差和一個(gè)局部最大定位誤差不僅僅出現(xiàn)在不同的裝置上，而且這些驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量在不確定的極限范圍內(nèi)是根本不需要的。 一些發(fā)展成熟的性能指標(biāo)已經(jīng)被用來(lái)粗略的評(píng)價(jià)串聯(lián)和并聯(lián)機(jī)器人的精確度。最近的一篇文獻(xiàn)中研究了大多數(shù)這些性能指標(biāo)并且分析了它們應(yīng)用到并聯(lián)機(jī)器人的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 自由度中所遇到的矛盾。最常見(jiàn)的間接優(yōu)化并聯(lián)機(jī)器人精度的性能指標(biāo)是敏捷指標(biāo)，條件數(shù)和整體的環(huán)境負(fù)荷指標(biāo)。然而 ,在最近的一項(xiàng)對(duì)三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人精度的研究中 ,論證了敏捷指標(biāo)對(duì)機(jī)器人的精度幾乎沒(méi)有任何影響 ,正如我們所定義的一樣。 很明顯 ,考慮到執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不精確的情況下，提高工業(yè)并聯(lián)機(jī)器人精度的最好方法是將最大位置誤差和最大定位誤差安排在給定的一部分工作空間之外或者在給定的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)里面。 最近提出了一個(gè)通用的方法是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的區(qū)間分析對(duì)給定的一部分工作空間以外的輸出誤差的近似值進(jìn)行計(jì)算。顯而易見(jiàn)的，給定的一部分 工作空間以外的輸出誤差對(duì)機(jī)器人設(shè)計(jì)者來(lái)說(shuō)是最重要的。不過(guò) ,對(duì)于不給定機(jī)器人在工作空間內(nèi)的精度變化的信息和優(yōu)化設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題用這種方法是相對(duì)非常困難的。相反 ,一個(gè)非常簡(jiǎn)單的幾何計(jì)算方法用來(lái)計(jì)算三自由度并聯(lián)機(jī)器人精度的精確值被描繪出來(lái)了。 該方法提出了 取代了現(xiàn)有的關(guān)于最大位置誤差映射與最小定位誤差映射的敏捷映射。 雖然這種方法包括了當(dāng)下精密并聯(lián)機(jī)器人最有前途的三個(gè)設(shè)計(jì)理念 (其中之一是商業(yè)化 ,另兩個(gè)建成實(shí)驗(yàn)室原型 ),它并不總是能適用于其他三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人。 本文概括了文獻(xiàn) [5]所提出的 方法并遵循一個(gè)讓我們對(duì)三 自由度并聯(lián)機(jī)器人精度有深刻認(rèn)識(shí)的詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明。 現(xiàn)代研究認(rèn)為只有三桿三自由度并聯(lián)機(jī)器人有移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副，每個(gè)桿子上面都有一個(gè)驅(qū)動(dòng)副，而且在每個(gè)桿子上面最多只有一個(gè)被動(dòng)的移動(dòng)副。這種方法是以兩個(gè)實(shí)際的設(shè)計(jì)為例的： 機(jī)器人。這個(gè)機(jī)器人是機(jī)器人 面 3器人 。一個(gè)以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的精密的并聯(lián)機(jī)器人已經(jīng)在德國(guó) 布倫斯維克 科技大學(xué)研究開(kāi)發(fā)。 第二節(jié)簡(jiǎn)略的概括了文章中所用到的一 些數(shù)學(xué)原理。第三節(jié)提供了一些分析定位誤差和位置誤差的方法。最后 ,第四節(jié)包括幾個(gè)數(shù)值例 ,并在最后一節(jié)給出了結(jié)論。 現(xiàn)如今主要研究的是分析由驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量有限誤差引起的 并聯(lián)機(jī)器人的（局部）最大位置誤差和（局部）最大定位誤差。在一個(gè)閉區(qū)間上，函數(shù)的最大值 X? 和 ?? ,定義為 : 2020 )()( ???? ， 20 )( ??? ??? ， 在0x,0并聯(lián)機(jī)器人在笛 卡爾坐標(biāo)中相應(yīng)的 名義 （理論） 平臺(tái)位姿 （方向和位置） ,而 x ， y 和 ? 是 實(shí)際平臺(tái)坐標(biāo)系 。 如果一個(gè)三自由度平面機(jī)器人是完全并聯(lián)的 , x? 和 ?? 是這三個(gè)變量的函數(shù)：機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量（輸入），我們用 3,2,1?因此，我們必須求出當(dāng)],[ 00 ?? ??? x? 和 ?? 的最大值，其中 0 ? 分別是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量相應(yīng)于名義平臺(tái)位姿和驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量上的誤差。 為了簡(jiǎn)化我們的誤差分析 ,我們可以假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)非常的遠(yuǎn)離 (1 型和 2 型 )奇點(diǎn)。 1 型奇點(diǎn)是當(dāng)并聯(lián)機(jī)器人失去一個(gè)泛函數(shù)就失去一個(gè)或更多個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。這些都是內(nèi)部和外部工作空間的界限。因?yàn)檫@個(gè)原因 ,在有效的工作空間內(nèi)的工業(yè)并聯(lián)機(jī)器人都遠(yuǎn)離這個(gè)奇點(diǎn)。類似的， 2 型奇點(diǎn)是并聯(lián)機(jī)器人失去一個(gè)泛函數(shù)將會(huì)失去對(duì)整個(gè)移動(dòng)平臺(tái)控制的另外一種結(jié)構(gòu)。此外 ,靠近這些結(jié)構(gòu)時(shí)輸出誤差將會(huì)以指數(shù)的數(shù)量級(jí) 來(lái)增加。因?yàn)檫@些原因工業(yè)并聯(lián)機(jī)器人必須要排除一些奇點(diǎn)。因此只有當(dāng)結(jié)構(gòu)非常的遠(yuǎn)離奇點(diǎn)時(shí)我們將會(huì)完成我們的誤差分析，也就是 當(dāng)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量在誤差區(qū)間范圍內(nèi)機(jī)器人不能進(jìn)入奇點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)。 當(dāng)我們提出這些實(shí)用性的假設(shè)時(shí)，我們忙于尋找 x? 和 ?? 的最大值難題。總所周知通過(guò)分析海賽矩陣在給定區(qū)間范圍以外尋找連續(xù)性多變量函數(shù)的最大值 f ，H ： 圖 1 輸入誤差邊界圖 ????????????????????????????????????232322222312212212變量的集合為 ? ?21 ,,， ? ??? ???00 , 果? ? 0,, 321 ??? 么得出一個(gè) f 的極值而且 H 一定是負(fù)數(shù)。如果存在一個(gè)這樣的點(diǎn)，我們稱之為第一類極值。 從輸入誤差邊界圖（圖 1）中可以看出，在對(duì)面同意存在一個(gè) f 的極值，這個(gè)時(shí)候，我們就要對(duì)六個(gè)函數(shù)中 每 兩個(gè)變量的極值進(jìn)行研究，定義為：).,,(),(:g ),,,(),(:),,,(),(: ),,,(),(:),,,(),(: ),,(),(:302121632013133021215321032232013143,210321??????????????????如果這些點(diǎn)存在，我們稱之為第二類極值。在輸入誤差邊界框的邊緣上同樣存在 f 的極值 。這個(gè)時(shí) 候，我們 就得研究 函數(shù)中十 二個(gè)變量 的極值：),,,(: ),,,(:),,,(: ),,(:),,,(: ),,,(:),,,(: ),,,(:),,,(: ),,,(:),,,(: ),,,(:3201031230210263201031130,21025320103103020114320103930201133021028302011230210273020111??????????????????????????????????????????????????????????如果這些點(diǎn)存在，我們稱之為第三類極值。 最后，在輸入誤差邊界框的八個(gè)棱角上面也存在著 f 的極值。這八個(gè) 點(diǎn)被稱為第四類極值。 找出 ??? 和x 的極值也就相當(dāng)于找出了 22 ??? 和X 函數(shù)的極值。在文章的下一部分中，我們將研究 22 ??? 和X 函數(shù)的極值。 大定位誤差 2?? 的偏導(dǎo)數(shù)為： ).(2)( 02 ???? ???????ii 00 ????? ??? 或個(gè)導(dǎo)數(shù)的值等于零。很明顯可以看出，不論怎么樣，只有當(dāng) 0???，極值才存在。 對(duì)于三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人來(lái)說(shuō)， 0???條件相當(dāng)于兩種不同的情形。 —— 機(jī)器人處在 1型奇點(diǎn)。然而，我們已經(jīng)假設(shè)在 研究區(qū)間中機(jī)器人是不能進(jìn)入 1型奇點(diǎn)的。 —— 當(dāng) j和 k 桿固定住 ),3,2,1,( ?? ，移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)將會(huì)是完全的移動(dòng)。圖 2表示為通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)將機(jī)器人的移動(dòng)平臺(tái)連接到三個(gè)驅(qū)動(dòng)桿上。在移動(dòng)平臺(tái)上的每個(gè)桿子都給一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)中心表示為 P。當(dāng)制動(dòng)器 1和 2 是固定的，而制動(dòng)器 3 是運(yùn)動(dòng)的，那么 21 轉(zhuǎn)動(dòng)的交點(diǎn)3 因此，如果 ? ?? ，矢量3?，定義為 ? ? ???????，代表僅僅只有制動(dòng)器 3工作時(shí)平臺(tái)的瞬時(shí)位移。為了使平臺(tái)做完全的移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)桿1R 和 2R 必須是平行的（圖 3所示）。當(dāng)這種結(jié)構(gòu)在我們所研究的區(qū)間內(nèi)，則與之圖 2 移動(dòng)桿應(yīng)用于移動(dòng)平臺(tái)上 相對(duì)應(yīng)的定位誤差為局部的極值。 因此，只有當(dāng)jR，kR ?? ),3,2,1,,(時(shí)第二類極值才存在。然而，這個(gè)就相當(dāng)于以前發(fā)生過(guò)的不可能的情況。 當(dāng)3,2,1,( ?第三類 極值存在。如果這種結(jié)構(gòu)是可能的，那么就要去測(cè)試以確定它的性質(zhì)。 最后，第四類極值是一直存在的，也必須一直用來(lái)做測(cè)試。 因此，在對(duì)定位誤差的分析中，只有第三或者第四類極值才有可能出現(xiàn)。即使是對(duì)結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人來(lái)說(shuō)，計(jì)算分析第三類最大值也是非常困難的。由于在能感應(yīng)到機(jī)器人結(jié)構(gòu)中可能有兩個(gè)平行的旋轉(zhuǎn)桿的工作空間范圍內(nèi)，可能存在一個(gè)定位角局部的最大值（而不是最小值），因此，我們堅(jiān)信進(jìn)行實(shí)驗(yàn)最好的方法是將輸入誤差邊界框的邊緣進(jìn)行離散（圖 1），在每一個(gè)離散點(diǎn)計(jì)算 ?? ，并且保留最大值。顯然，這種離散是有那么點(diǎn)耗費(fèi)時(shí)間的而且不是太精確，但是我們的這種方法相比于簡(jiǎn)單的 敏捷圖 依然得出了非常有意義的結(jié)果。然而要注意的是在大部分情況下這種結(jié)構(gòu)將不會(huì)發(fā)生。在這種情況下，必須有人能夠在輸入誤差邊界框的每個(gè)棱角上計(jì)算出 ?? 并保留最大值。這樣得出的定位誤差才是精確的。 圖 明了純平移運(yùn)動(dòng)的一種變化 大位置誤差 2X? 的偏導(dǎo)數(shù)為： ).()(2)( 02 ????? 如果當(dāng) 0???0???者 00 ?? 個(gè)導(dǎo)數(shù)的值為零。很明顯可以看 出，條件 00 ?? 此將被忽略。對(duì)于三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人來(lái)說(shuō)， 0??? —— 機(jī)器人處在 1型奇點(diǎn)。然而，我們已經(jīng)假設(shè)在 研究區(qū)間 中機(jī)器人是不能進(jìn)入 1型奇點(diǎn)的。 —— 當(dāng) j和 k 桿固定住 ),3,2,1,( ?? ，移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)將會(huì)是完全的移動(dòng)。如果平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)時(shí)完 全的轉(zhuǎn)動(dòng)的，那就意味著桿 1R 和3 點(diǎn)相重合（圖 5）。當(dāng)這種結(jié)構(gòu)在我們所 研究的區(qū)間 內(nèi)，則與之相對(duì)應(yīng)的定位誤差為局部的極值。 圖 4 函數(shù) 2?? 的第一和第二類極值 極小 的運(yùn)動(dòng) 接下來(lái)，我們將要用幾何的方法來(lái)說(shuō)明 2X? 的全局的最大值僅僅存在于輸入誤差邊界框的邊緣上（包括各個(gè)頂點(diǎn)）。事實(shí)上，找出這個(gè)最大值就等同于發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)離名義上的移動(dòng)平臺(tái)位置中心無(wú)常區(qū)域中的點(diǎn)。通過(guò)去除相應(yīng)的區(qū)間中的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量獲得這個(gè)無(wú)常的區(qū)域上機(jī)器人基本的最大工作空間 (也就是平臺(tái)中心可達(dá)到的所有位置）， ? ??? ???00 , 然，我們所尋找的點(diǎn)將會(huì)最大工作空間的邊界上。 文獻(xiàn) 10 中介紹了用幾何算法來(lái)計(jì)算這個(gè)邊界，但在這 里我們不會(huì)去詳細(xì)的討論它。我們只需要提到相對(duì)應(yīng)這段邊界曲線組成的這種結(jié)構(gòu)至少有一條邊在 1類奇點(diǎn)上（這是排除在我們研究范圍以外的）或者在驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)極限內(nèi)（依然被我們認(rèn)為沒(méi)有極限的被動(dòng)關(guān)節(jié)）。這一段只有一個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)在一個(gè)限制的直線段（在第一類中是移動(dòng)關(guān)節(jié)）或一個(gè)圓弧半徑取決于桿的長(zhǎng)度與平臺(tái)的尺寸（在第二類中是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)）。 在誤差分析中，機(jī)器人的 區(qū)間間隔 相對(duì)應(yīng)外形尺寸是非常小的，所以給不確定的區(qū)域一個(gè)名義上的結(jié)構(gòu)。那就意味著在實(shí)踐當(dāng)中，一個(gè)屬于邊界不確定區(qū)域的圓弧半徑將會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于最大位置誤差。因此，對(duì)于這樣一個(gè)大半 徑的小圓弧，離名義上的位置最遠(yuǎn)的點(diǎn)將在兩末端之一的圓弧上。因此這個(gè)點(diǎn)在極限內(nèi)將至少對(duì)應(yīng)兩個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量。 因此，感謝這個(gè)幾何分析，我們將能夠證明最大位置誤差不會(huì)出現(xiàn)在其他地方而是在輸入誤差邊界框的邊緣上。下一步更深入的分析將會(huì)得到保證，在某一精度條件下，最大位置誤差僅僅出現(xiàn)在輸入誤差邊界框的八個(gè)棱角的某一個(gè)上面。 對(duì)于桿 j 和 k（ ?? ,3,2,1, ），有第三種最大的條件在區(qū)間上[ ?? ??00 , ii ： 圖 明了純轉(zhuǎn)動(dòng)的一種變化 （ a） 0??? （ b）?正交與0 條件（ a）已經(jīng)討論過(guò)了。這樣一種結(jié)構(gòu)必須要檢查去判斷它是否符合全局最大值。但是，要分析識(shí)別這種結(jié)構(gòu)是相當(dāng)困難的。因此，我們?cè)僖淮蔚拇_信最好的著手點(diǎn)是在一種讓你感覺(jué)到機(jī)器人可能處在兩腿壓力相交于移動(dòng)平臺(tái)中心的結(jié) 構(gòu)的區(qū)域活動(dòng)空間，把輸入邊界框的邊緣進(jìn)行離散，在每一個(gè)離散點(diǎn)上計(jì)算X? ，并保留最大值。但是注意，這種結(jié)構(gòu)在大多數(shù)情況下顯然是不存在的。對(duì)于這種情況，我們必須只考慮條件（ b）。 條件（ b）是更加復(fù)雜的分析。?的偏導(dǎo)數(shù)代表的機(jī)器人建立雅克比 陣最初的兩個(gè)要素。如果?矢量的 方向在研究區(qū)間內(nèi)接近一個(gè)常量（但是要遠(yuǎn)離第二類奇點(diǎn)），那么就可以說(shuō)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)當(dāng)桿 j 和 k 是固定的，機(jī)器的位移近似的為一條直線。這個(gè)我們可以近似的通過(guò)計(jì)算矢量?在輸入誤差邊界框的每個(gè)棱角來(lái)驗(yàn)證。如果矢量?的方向的變化量沒(méi)有達(dá)到給定值（比如 ?1 ），那我們就可以認(rèn)為?在研究區(qū)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生變化。 令?正交于0 B（圖 6）。矢量 u 定義為在 B 點(diǎn)允許移動(dòng)位移的方向。如果我們描繪一條線穿過(guò) 的方向根據(jù)矢量 有當(dāng)驅(qū)動(dòng)器在運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)候這條線定義為平臺(tái)位移的軌跡在 果我們描繪出兩個(gè)圖 ?正交于0得出一個(gè)極值 點(diǎn) A 和 C 在這條直線上在 B 點(diǎn)周圍，當(dāng) 它的驅(qū)動(dòng)桿指向的量 此，當(dāng)驅(qū)動(dòng)桿運(yùn)動(dòng)的時(shí)候它就一次通過(guò) A、 B、 這就可以確定的標(biāo)出 點(diǎn)在 )()(0i ???上的結(jié)果了。在 就可以看出 X? 的局部最小值。因此這種結(jié)構(gòu)不能代表第三類最大值。 當(dāng)然，也存 在我們經(jīng)驗(yàn)法則例外的情況，但是那些都是針對(duì)某些特定的機(jī)構(gòu)而極少出現(xiàn)的。比如三自由度并聯(lián)機(jī)器人就是這種情況。當(dāng)兩個(gè)制動(dòng)器都關(guān)閉的時(shí)候，通過(guò)曲線描述平臺(tái)中心將是一個(gè)橢圓。因此，如果我們?cè)谒亩它c(diǎn)取一條線段，斜率是基本不會(huì)變化的，這條線段明顯的接近這條直線。然而，如果考慮到三自由度并聯(lián)機(jī)器人，這條曲線就是 6次方的。理論上，可能存在這樣的線段在端點(diǎn)的斜率是幾乎一致的，但這條線段并不是線性的。但是我們考慮到這種情形是幾乎不可能發(fā)生的，而且即使它們發(fā)生了也是在某一特定情況下而不是在工作空間內(nèi)。所以為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在我們研 究時(shí)忽略這種極小的可能性。 論 總而言之，我們提出的方案對(duì)很多實(shí)際的三自由度并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì)是很容易去簡(jiǎn)單而又快速地實(shí)現(xiàn)。對(duì)于大多數(shù)的設(shè)計(jì)，在每個(gè)名義上的結(jié)構(gòu)我們都要計(jì)算 8套關(guān)節(jié)變量的直接運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，既不能用分析也不能用精確數(shù)值的方法（因?yàn)槲覀冞h(yuǎn)離奇點(diǎn)）。因此，為了計(jì)算給定名以上結(jié)構(gòu)的三自由度并聯(lián)機(jī)器人的局部最大定位誤差和局部最大位置誤差，我們至少也要計(jì)算 12用圖 11中給出的方法）， 面已經(jīng)提到，這樣的離散化是相當(dāng)耗費(fèi)時(shí)間的而且可能 導(dǎo)致計(jì)算精度不夠高。然而，相對(duì)簡(jiǎn)單的分析可以顯示，對(duì)于機(jī)器人設(shè)計(jì)只有輸入誤差邊界框的八個(gè)頂點(diǎn)需要驗(yàn)證。也就是說(shuō)，為了計(jì)算最大定位誤差，這是沒(méi)有兩個(gè)壓力可以平行的條件下而導(dǎo)致局部最大值，為了計(jì)算最大位置誤差，這是沒(méi)有兩個(gè)壓力在平臺(tái)中心相交的情況下且矢量?的方向變化是非常微小的。 自由度 3面并聯(lián)機(jī)器人 在這部分中，我們將研究三自由度 3面并聯(lián)機(jī)器人的精度（圖 7）。這個(gè)機(jī)器人的設(shè)計(jì)如下： 裝在底部位于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié) -- 5.0? ??? 。 這個(gè)機(jī)器人的第二類奇點(diǎn)是總所周知的 [12當(dāng)機(jī)器人是這種結(jié)構(gòu)的時(shí)間出現(xiàn)： ???? ? 7 3 c o s 111 ； 位于以 c ??的圓上； 當(dāng)點(diǎn)三個(gè)第一類奇點(diǎn)位于第二類奇點(diǎn)的圓上。 因此我們建議分析以 個(gè)不同的定位角 ? 分別為 0°和10°時(shí)的可用工作區(qū)。這個(gè)工作區(qū)遠(yuǎn)離奇點(diǎn)（第二類奇點(diǎn)的圓在 ?? 0°和 10°時(shí)的半徑分別為 這個(gè)機(jī)器人的直接運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是很容易獲得的且有兩個(gè)明顯的解決方案，因?yàn)轵?qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量不會(huì)一起奇點(diǎn)。我們要研究這里的三種不同情況： (a)兩個(gè)壓力并聯(lián)的結(jié)構(gòu)。這種情況不是定位誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，壓力垂直于移動(dòng)關(guān)節(jié)的方向并且通過(guò)點(diǎn)此，這種情況圖 出現(xiàn)是當(dāng)兩個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)的方向是并聯(lián)的（圖 8a）。對(duì)于這種結(jié)構(gòu)，要使定位的平臺(tái)保 持不變只有當(dāng)受操控的關(guān)節(jié)移動(dòng)。因此，這種結(jié)構(gòu)是定位誤差的局部最小值。 (b)兩個(gè)壓力相交于平臺(tái)中心的結(jié)構(gòu)。這種情況不是位置誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，很容易驗(yàn)證這種結(jié)構(gòu)只出現(xiàn)在研究工作空間以外（圖8b）。 (c)矢量?的方向是不斷變化的結(jié)構(gòu)。圖 9a和 ?的方向在研究區(qū)間里的變化量?？梢钥闯鲞@種變化在研究區(qū)間里是非 常微小的（小于 因此，只有 8套驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量對(duì)機(jī)器人最大定位誤差和最大位置誤差的給定名義圖 對(duì)應(yīng)于三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的局部最大定位誤差 03 ??? q?。 b 圖對(duì)應(yīng)的最大位置誤差 03 ??? 工 作 空間邊界 圖 ? 的兩個(gè)變化方向?yàn)椋?a） 0?? 和（ b） 10?? 上的姿勢(shì)進(jìn)行測(cè)試。對(duì)其中的每一套，都可能有兩個(gè)平臺(tái)姿勢(shì)得到分析，且對(duì)相對(duì)應(yīng)的定位誤差和位置誤差接近名義上的姿勢(shì)的解決方案的計(jì)算。兩個(gè)位置等高線的結(jié)果在圖 10和圖 11 中所表示出來(lái)。 正如我們所預(yù)期的，機(jī)器人在遠(yuǎn)離奇點(diǎn)的工作空間的中心是更加準(zhǔn)確的。越靠近機(jī)器人奇點(diǎn)的圓準(zhǔn)確性就越低。但要注意的是總有一種實(shí)質(zhì)性的位置誤差，在工作空間中心的定位誤差幾乎為零。 自由度 3面并聯(lián)機(jī) 器人 在這部分中，我們將研究三自由度 3面并聯(lián)機(jī)器人的精度（圖 12)。這款機(jī)器人的設(shè)計(jì)如下： 圖 ?? 時(shí)的最大定位和位置誤差。 a 圖為最大定位誤差， b 圖為最大位置誤差。 圖 0?? 時(shí)的最大定位和位置誤差。 a 圖為最大定位誤差， b 圖為最大位置誤差。 為圓心1半徑的圓； -- ??； m?? 10? 。 該機(jī)器人允許 6 個(gè)直接運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的分析和不能被解決的分析。當(dāng)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量保留它們的間隔時(shí)，我們只需要解決達(dá)到名義上的姿勢(shì)， 而最好的辦法是用一種迭代數(shù)值方法如牛頓方法。該方法只需要計(jì)算機(jī)器人的雅克比矩陣，而這是很容易實(shí)現(xiàn)的。在我們的誤差分析中，我們總是先對(duì)名義上的結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算并改變驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量在一個(gè)非常小的區(qū)間長(zhǎng)度 ? 。此外，我們將用這種方法計(jì)算足夠遠(yuǎn)離奇點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。因此，正如這個(gè)例子所驗(yàn)證的，這種計(jì)算方法收斂很快（通常精度達(dá)到 2010? 010?度只需做兩步的迭代計(jì)算）。 這種機(jī)器人奇異點(diǎn)已經(jīng)被研究，但其對(duì)應(yīng)的曲線是相當(dāng)復(fù)雜的。然而幸運(yùn)的是，很容易找到一個(gè)在工作空間內(nèi)沒(méi)有奇異點(diǎn)的工作模型的設(shè)計(jì)（給定一個(gè)逆向運(yùn)動(dòng)方圖 法）。我們所研究的機(jī)器人的工作空間相當(dāng)于一個(gè)內(nèi)接于以 O 為圓心，半徑為 角形的一條邊平行于 們所研究的工作空間的定向角為 0°和 10°。這其中沒(méi)有第二類奇點(diǎn)。 我們必須研究以下三種不同的情況： (a)兩個(gè)壓力并聯(lián)的結(jié)構(gòu)。這種情況不是定位誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子 中，瞬時(shí)壓力沿著直線此這種情況出現(xiàn)是當(dāng)兩個(gè)桿平行的時(shí)候（圖 13）。第二種類型結(jié)構(gòu)存在。圖 13a 表示相當(dāng)于局部最小定位誤差時(shí)的結(jié)構(gòu)。對(duì)這種平行四邊形的兩條邊和平臺(tái)的定位保持不變的結(jié)構(gòu)，第三個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)單獨(dú)運(yùn)轉(zhuǎn)。圖 13b 表示相當(dāng)于局部最大定位誤差時(shí)的結(jié)構(gòu)。在這種結(jié)構(gòu)中，如果第三根桿推動(dòng)移動(dòng)平臺(tái)往任意方向移動(dòng)，那么它就相當(dāng)于是轉(zhuǎn)動(dòng)了。然而在我們的例子中，很容易去驗(yàn)證在我們研究的工作空間內(nèi)是不會(huì)出現(xiàn)這種結(jié)構(gòu)的。 (b)兩個(gè)壓力相交于平臺(tái)中心的結(jié)構(gòu)。這種情況不是位置誤差的局部最大值就是局部最小值。在我們的例子中，很容易驗(yàn)證這種結(jié)構(gòu)不會(huì)出現(xiàn)在研究工作空間之內(nèi) 。 (c)矢量的方向是不斷變化的結(jié)構(gòu)。圖 14a 和 以看出這種變化在研究區(qū)間里是非常微小的（小于 前面已經(jīng)提到，這個(gè)并不能保證最大位置誤差在輸入誤差邊界框的任意一個(gè)頂點(diǎn)上面出現(xiàn)。因此，目前我們已經(jīng)驗(yàn)證了在邊界框邊緣上的實(shí)例（通過(guò)對(duì)每條邊進(jìn)行 20 次離散）。就連一個(gè)位置誤差不在 8 個(gè)頂點(diǎn)的任意一個(gè)上面的名義上的結(jié)構(gòu)都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)。所以在 這個(gè)例子當(dāng)中我們的假設(shè)就成立的。 因此，對(duì)于這個(gè)機(jī)器人也一樣，也是只有八套驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量對(duì)局部最大定位誤差和局部最大位置誤差的計(jì)算進(jìn)行測(cè)試。兩個(gè)位置等高線的結(jié)果在圖 15 和圖 16 中所表示出來(lái)。 圖 a 圖）和局部最大定位誤差（ b 圖）。 可以看出，這個(gè)并聯(lián)機(jī)器人的最大定位誤差和最大位置誤差值接近一個(gè)常數(shù)，大約為 11 m? 到 17 m? 之間，僅僅略大于輸入誤差的范圍 m?? 10? 。這個(gè)可以用機(jī)器人在研究工作空間內(nèi)遠(yuǎn)離第二類奇點(diǎn)來(lái)解釋。并且在工作空間內(nèi)它所產(chǎn)生的定位誤差是一個(gè)幾乎為零的常數(shù)。因此正如參考文獻(xiàn) 8 的作者所驗(yàn)證的那樣，這款并聯(lián)機(jī)器人是進(jìn)行精確定位的最佳候選人。 圖 ?的兩個(gè)變化方向的取向（ a） 0?? 和 (b） 10?? 。 圖 ?? 的時(shí)候的最大定位誤差（ a）圖和最大位置誤差（ b）圖。 圖 0?? 的時(shí)候的最大定位誤差（ a）圖和最 大位置誤差（ b）圖。 5 結(jié)論 這篇論文 對(duì) 三自由度平面并聯(lián)機(jī)器人的局部最大定位和位置誤差進(jìn)行了詳細(xì)的研究。研究證明，當(dāng)距離奇異點(diǎn)足夠遠(yuǎn)，且至少兩個(gè)輸入出現(xiàn)一個(gè)最大誤差，局部最大定位和位置誤差才會(huì)出現(xiàn)。然而，當(dāng)僅有兩個(gè)輸入就處于最大誤差時(shí)， 一個(gè)簡(jiǎn)單的程序，對(duì)于一個(gè) 給定的設(shè)計(jì)，建議評(píng)估是否會(huì)出現(xiàn)輸出誤差。多虧了此次的詳細(xì)研究，提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的方法來(lái)計(jì)算給定的名義上的結(jié)構(gòu)和輸入誤差界限的局部極大方向與位置誤差。該方法包含解決 8 個(gè)直接運(yùn)到點(diǎn)或最大限度為 12n（其中 輸入。此方法是相對(duì)快速和精確的，但主要是容易實(shí)現(xiàn)，和能對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)精度產(chǎn)生有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)。作者認(rèn)為本文中推薦的方法應(yīng)該被用于所有三自由度完全平面并聯(lián)機(jī)器人，而不是那些沒(méi)什么意義的圖。