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2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題 統(tǒng)計(jì)4 一、基本知識(shí)概要： 1.三種常用抽樣方法: （1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N。如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法：①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)表法 用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣的步驟：①將總體中的個(gè)體編號(hào)；②選定開(kāi)始號(hào)碼；③獲取樣本號(hào)碼。 （2）系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械抽樣）：當(dāng)總體的個(gè)數(shù)較多時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣較為費(fèi)事。這時(shí)可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械抽樣）。 系統(tǒng)抽樣的步驟：①采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)；②整個(gè)的編號(hào)分段（即分成幾個(gè)部分），要確定分段的間隔k。當(dāng)N/n（N為總體中的個(gè)體的個(gè)數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時(shí)，k=N/n;當(dāng)N/n不是整數(shù)時(shí)，通過(guò)從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)N‘能被n整除，這時(shí)k=N′/n；③在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)1；④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將1加上間隔k得到第2個(gè)編號(hào)1+k,第3個(gè)編號(hào)1+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本）。 （3）分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾個(gè)部分，然后按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做“分層抽樣”，其中所分成的各部分叫做“層”。 三種抽樣方法的比較 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等 從總體中逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取 在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 2、總體分布的估計(jì)：隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加,試驗(yàn)結(jié)果的頻率值在相應(yīng)的概率值附近擺動(dòng).當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增大時(shí),頻率值就變成相應(yīng)的概率了.此時(shí)隨著樣本容量無(wú)限增大其頻率分布也就會(huì)排除抽樣誤差,精確地反映總體取的概率分布規(guī)律,通常稱為總體分布. 用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布：由于總體分布通常不易知道,我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布,一般地,樣本容量越大,估計(jì)越精確. 總體分布的估計(jì)的兩種方式(1)頻率分布表 (2)頻率分布直方圖。 3、正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)： ①正態(tài)分布的概念：如果連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的概率密度曲線為，其中為常數(shù)，并且，則稱ξ服從正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為。 ②正態(tài)分布的期望與方差：若，則。 ③正態(tài)分布的主要性質(zhì)：Ⅰ）曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x=μ對(duì)稱；Ⅱ）曲線在x=μ時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右延伸時(shí)，曲線逐漸降低；Ⅲ）曲線的對(duì)稱軸位置由μ確定；曲線的形狀由σ確定，σ越大，曲線越：“矮胖”；反之曲線越“高瘦”。 ④標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，可以寫(xiě)成，這時(shí)稱ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為。 ⑤標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)表： 由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布應(yīng)用十分廣泛，已制成專門的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)表，供人們查閱。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中，相應(yīng)于每一個(gè)的函數(shù)值Φ是指總體取小于的值的概率（函數(shù)Φ實(shí)際上是正態(tài)總體N(0,1)的累積分布函數(shù)），即Φ=。φ ⑥若，則①，② 4、線性回歸： (1)相關(guān)關(guān)系：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系。注：與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。 (2)回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。 (3)散點(diǎn)圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形。 (4)回歸直線方程：，其中， 。相應(yīng)的直線叫回歸直線，對(duì)兩個(gè)變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計(jì)叫做回歸分析。 (5)相關(guān)系數(shù)： 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： （1）|r|≤1。 （2）|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小 二、例題： 例1：某批零件共160個(gè)，其中一級(jí)品有48個(gè)，二級(jí)品64個(gè)，三級(jí)品32個(gè)，等外品16個(gè)．從中抽取一個(gè)容量為20的樣本．請(qǐng)說(shuō)明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率相同． 解：（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法：可采用抽簽法，將160個(gè)零件按１～160編號(hào)，相應(yīng)地制做１～160號(hào)的160個(gè)簽，從中隨機(jī)抽２０個(gè)。顯然每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為。 （2）系統(tǒng)抽樣法：將160個(gè)零件按１～160編號(hào)，按編號(hào)順序分成20組，每組8個(gè)。先在第一組用抽簽法抽得號(hào)，則在其余組中分別抽得第號(hào)，此時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為。 （3）分層抽樣法：按比例，分別在一級(jí)品，二級(jí)品，三級(jí)品，等外品，是抽取個(gè)，個(gè)，個(gè)，個(gè)。每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別為，，，，即都是。 綜上所述，無(wú)論采取哪種抽樣，總體和每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是。 說(shuō)明：三種抽樣方法的共同點(diǎn)就是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性。 例2：將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在，液體的溫度（單位：）是一個(gè)隨機(jī)變量，且。 （1） 若，求的概率 （2） 若要保持液體的溫度至少為的概率不低于0.99，問(wèn)至少是多少？（其中若）。 剖析：（1）要求P（）＝F（89），因?yàn)椴皇菢?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而給出的是，故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值。 （2）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率，再利用 解：（1） （2）由已知滿足 說(shuō)明：（1）若 （2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)，時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，為減函數(shù)。 例3：已知測(cè)量誤差，必須進(jìn)行多少次測(cè)量，才能使至少有一次測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過(guò)的頻率大于0.9？ 解：設(shè)表示次測(cè)量中絕對(duì)誤差不超過(guò)的次數(shù)，則其中 由題意， ， 因此，至少要進(jìn)行3次測(cè)量，才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率大于0.9。 例4：有一個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： （1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)數(shù)據(jù)小于30.5的概率。 解：（1）樣本的頻率分布如下： 分組 頻數(shù) 頻率 12.5~15.5 6 0.06 15.5~18.5 16 0.16 18.5~21.5 18 0.18 21.5~24.5 22 0.22 24.5~27.5 20 0.20 27.5~30.5 10 0.10 30.5~33.5 8 0.08 合計(jì) 100 1．00 （2）頻率分布直方圖如圖 （3）數(shù)據(jù)大于等于30.5的頻率是0.08，所以，小于30.5的頻率是0.92. 所以，小于30.5的概率約是0.92. 例5：一個(gè)工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y（萬(wàn)元）與該月產(chǎn)量x（萬(wàn)件）之間有如下一組數(shù)據(jù)： x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 (1) 畫(huà)出散點(diǎn)圖 (2) 求月成本與月產(chǎn)量之間的回歸直線方程。 解：（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示： （2）列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 yi 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 xiyi 2.43 2.654 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6653 7.245 ,,, 于是由公式可得：， 因此所求的回歸直線方程是 說(shuō)明：求線性回歸直線方程的步驟： （1）畫(huà)散點(diǎn)圖觀察相關(guān)性（2）列出表格，求出某些數(shù)據(jù)（3）代入公式求得a,b，進(jìn)而得到直線方程。 三.課堂小結(jié)： 1、理解三種抽樣方法的特點(diǎn)； 2、用樣本的頻率去估計(jì)總體分布； 3、正態(tài)分布的意義、主要性質(zhì)及應(yīng)用； 4、了解線性回歸的方法，會(huì)求線性回歸方程。 四、作業(yè)布置：教材P197頁(yè)闖關(guān)訓(xùn)練。