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第23屆全國中學生物理競賽復賽試卷 一、（23分）有一豎直放置、兩端封閉的長玻璃管，管內為真空，管內有一小球自某處自由下落（初速度為零），落到玻璃管底部時與底部發(fā)生彈性碰撞．以后小球將在玻璃管內不停地上下跳動?，F(xiàn)用支架固定一照相機，用以拍攝小球在空間的位置。每隔一相等的確定的時間間隔T拍攝一張照片，照相機的曝光時間極短，可忽略不計。從所拍到的照片發(fā)現(xiàn)，每張照片上小球都處于同一位置。求小球開始下落處離玻璃管底部距離（用H表示）的可能值以及與各H值相應的照片中小球位置離玻璃管底部距離的可能值。 二、（25分）如圖所示，一根質量可以忽略的細桿，長為2，兩端和中心處分別固連著質量為的小球B、D和C，開始時靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質量為的小球A，以一給定速度沿垂直于桿DB的方間與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小球A,B,C,D的速度，并詳細討論以后可能發(fā)生的運動情況。 三、（23分）有一帶活塞的氣缸，如圖1所示。缸內盛有一定質量的氣體。缸內還有一可隨軸轉動的葉片，轉軸伸到氣缸外，外界可使軸和葉片一起轉動，葉片和軸以及氣缸壁和活塞都是 絕熱的，它們的熱容量都不計。軸穿過氣缸處不漏氣。 如果葉片和軸不轉動，而令活塞緩慢移動，則在這種過程中，由實驗測得，氣體的壓強和體積遵從以下的過程方程式 圖1 其中,均為常量, ＞1（其值已知）?？梢杂缮鲜綄С觯诖诉^程中外界對氣體做的功為 式中和,分別表示末態(tài)和初態(tài)的體積。 如果保持活塞固定不動，而使葉片以角速度做勻角速轉動，已知在這種過程中，氣體的壓強的改變量和經(jīng)過的時間遵從以 圖2 下的關系式 式中為氣體的體積，表示氣體對葉片阻力的力矩的大小。 上面并沒有說氣體是理想氣體，現(xiàn)要求你不用理想氣體的狀態(tài)方程和理想氣體的內能只與溫度有關的知識，求出圖2中氣體原來所處的狀態(tài)與另一已知狀態(tài)之間的內能之差（結果要用狀態(tài)、的壓強、和體積、及常量表示） 四、（25分）圖1所示的電路具有把輸人的交變電壓變成直流電壓并加以升壓、輸出的功能，稱為整流倍壓電路。圖中和是理想的、點接觸型二極管（不考慮二極管的電容），和是理想電容器，它們的電容都為C，初始時都不帶電，G點接地?，F(xiàn)在A、G間接上一交變電源，其電壓，隨時間t變化的圖線如圖2所示．試分別在圖3和圖4中準確地畫出D點的電壓和B點的電壓在t＝0到t=2T時間間隔內隨時間t變化的圖線，T為交變電壓的周期。 圖2 圖1 圖3 圖4 五、（25分）磁懸浮列車是一種高速運載工具。它具有兩個重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導電磁鐵提供）使車體在導軌上懸浮起來與軌道脫離接觸。另一是驅動系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組（線圈）中，通上三相交流電，產(chǎn)生隨時間、空間作周期性變化的磁場，磁場與固連在車體下端的感應金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。 為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由，我們求解下面的問題。 設有一與軌道平面垂直的磁場，磁感應強度B隨時間t和空間位置x變化規(guī)律為 式中、、均為已知常量，坐標軸x與軌道平行。在任一時刻t，軌道平面上磁場沿x方向的分布是不均勻的，如圖所示。圖中Oxy平面代表軌道平面，“”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里，“ ”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外。規(guī)定指向紙外時B取正值?！啊焙汀?”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長度為，與軌道平行的金屬框邊MQ的長度為d，金屬框的電阻為R，不計金屬框的電感。1．試求在時刻t，當金屬框的MN邊位于x處時磁場作用于金屬框的安培力，設此時刻金屬框沿x軸正方向移動的速度為。 2.試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關系。 六、（23分）有一種被稱為直視分光鏡的光譜學儀器。所有光學元件均放在一直長圓筒內。筒內有：三個焦距分別為、和的透鏡,,，；觀察屏P，它是一塊帶有刻度的玻璃片；由三塊形狀相同的等腰棱鏡構成的 圖1 分光元件（如圖1所示），棱鏡分別用折射率不同的玻璃制成，兩側棱鏡的質料相同，中間棱鏡則與它們不同，棱鏡底面與圓筒軸平行。圓筒的一端有一與圓筒軸垂直的狹縫，它與圓筒軸的交點為S，縫平行于棱鏡的底面．當有狹縫的一端對準筒外的光源時，位于圓筒另一端的人眼可觀察到屏上的光譜。 已知：當光源是鈉光源時，它的黃色譜線（波長為589.3 nm，稱為D線）位于圓筒軸與觀察屏相 交處。制作棱鏡所用的玻璃，一種為冕牌玻璃，它對鈉D線的折射率＝1.5170;另一種為火石玻璃，它對鈉D線的折射率=1.7200。 1.試在圖2中繪出圓筒內諸光學元件相對位置的示意圖并說出各元件的作用。 2.試論證三塊棱鏡各應由何種玻璃制成并求出三棱鏡的頂角的數(shù)值。 圖2 七、（16分）串列靜電加速器是加速質子、重離子進行核物理基礎研究以及核技術應用研究的設備，右圖是其構造示意圖。S是產(chǎn)生負離子的裝置，稱為離子源；中間部分N為充有氮氣的管道，通過高壓裝置H使其對地有V的高壓。現(xiàn)將氫氣通人離子源S，S的作用是使氫分子變?yōu)闅湓?，并使氫原子粘附上一個電子，成為帶有一個電子電量的氫負離子。氫負離子（其初速度為0)在靜電場的作用下，形成高速運動的氫負離子束流，氫負離子束射入管道N后將與氮氣分子發(fā)生相互作用，這種作用可使大部分的氫負離子失去粘附在它們上面的多余的電子而成為氫原子，又可能進一步剝離掉氫原子的電子使它成為質子。已知氮氣與帶電粒子的相互作用不會改變粒子的速度。質子在電場的作用下由N飛向串列靜電加速器的終端靶子T。試在考慮相對論效應的情況下，求質子到達T時的速度。 電子電荷量C，質子的靜止質量 kg。 第23屆全國中學生物理競賽復賽題參考解答及評分標準 一、參考解答： 解法一 t H O hA h 小球沿豎直線上下運動時，其離開玻璃管底部的距離h隨時間t變化的關系如圖所示．設照片拍攝到的小球位置用A表示，A離玻璃管底部的距離為hA，小球開始下落處到玻璃管底部的距離為H.小球可以在下落的過程中經(jīng)過A點，也可在上升的過程中經(jīng)過A點.現(xiàn)以表示小球從最高點（即開始下落處）落到玻璃管底部所需的時間（也就是從玻璃管底部反跳后上升到最高點所需的時間），表示小球從最高點下落至A點所需的時間（也就是從A點上升至最高點所需的時間），表示小球從A點下落至玻璃管底部所需的時間（也就是從玻璃管底部反跳后上升至A點所需的時間）.顯然，.根據(jù)題意，在時間間隔T 的起始時刻和終了時刻小球都在A點．用n表示時間間隔 T 內（包括起始時刻和終了時刻）小球位于A點的次數(shù)（n≥2）.下面分兩種情況進行討論： 1．A點不正好在最高點或最低點． 當n為奇數(shù)時有 （1） 在（1）式中，根據(jù)題意可取中的任意值，而 （2） 當n為偶數(shù)時有 （3） 由（3）式得 （4） 由（1）、（3）、（4）式知，不論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有 （5） 因此可求得，開始下落處到玻璃管底部的距離的可能值為 （6） 若用表示與n對應的H值，則與相應的A點到玻璃管底部的距離 （7） 當n為奇數(shù)時，可取中的任意值，故有 n=3,5,7, （8） 可見與相應的的可能值為0與之間的任意值． 當n為偶數(shù)時，，由（6）式、（7）式求得的可能值 n=2,4,6, （9） 2．若A點正好在最高點或最低點． 無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)都有 n=2,3,4, （10） n=2,3,4, （11） n=2,3,4, （12） 或 （13） 解法二 因為照相機每經(jīng)一時間間隔T拍攝一次時，小球都位于相片上同一位置，所以小球經(jīng)過該位置的時刻具有周期性，而且T和這個周期的比值應該是一整數(shù)．下面我們就研究小球通過某個位置的周期性． 設小球從最高點（開始下落處）落下至管底所需時間為t ，從最高點下落至相片上小球所在點（A點）所需時間為，從A點下落至管底所需時間為，則 （1） （小球上升時通過相應路程段所需時間與下落時同一路程所需時間相同，也是t、和） 從小球在下落過程中經(jīng)過A點時刻開始，小球經(jīng)過的時間后上升至A點，再經(jīng)過時間后又落到A點，此過程所需總時間為．以后小球將重復這樣的運動．小球周期性重復出現(xiàn)在A點的周期是多少？ 分兩種情況討論： （1）． ，和都不是小球在A點重復出現(xiàn)的周期，周期是． （2）． ，小球經(jīng)過時間回到A點，再經(jīng)過時間又回到A點，所以小球重復出現(xiàn)在A點的周期為t． 下面就分別討論各種情況中的可能值和A點離管底的距離的可能值．（如果從小球在上升過程中經(jīng)過A點的時刻開始計時，結果一樣，只是和對調一下） 1．H的可能值 （1）．較普遍的情況，．與的比值應為一整數(shù)，的可能值應符合下式 ， （2） 由自由落體公式可知，與此相應的的數(shù)值為 （3） （2）．．的可能值應符合下式 （4） 故的可能值為 （5） 當為偶數(shù)時，即時，（5）式與（3）式完全相同．可見由（3）式求得的的可能值包含了的全部情況和的一部分情況．當為奇數(shù)時，即時，由（5）式得出的的可能值為 （6） 它們不在（3）式之內，故（3）式和（6）式得出的合在一起是的全部的可能值． 2．與各H值相應的的可能值 a.與相應的的可能值 由于在求得（3）式時未限定A點的位置，故的數(shù)值可取0和之間的任意值，即 （7） b. 與（為奇數(shù)）相應的的可能值 這些數(shù)值與A位于特定的位置，，相對應，所以對于每一個對應的是一個特定值，它們是 （8） 評分標準： 本題23分 二、參考解答： 1． 求剛碰撞后小球A、B、C、D的速度 設剛碰撞后，小球A、B、C、D的速度分別為、、、，并設它們的方向都與的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球組成的系統(tǒng)的質心處，所以小球C的速度也就是這系統(tǒng)的質心的速度．因碰撞前后四小球組成的質點組的動量守恒， 故有 （1） 碰撞前后質點組的角動量守恒，有 （2） 這里角動量的參考點設在與B球重合的空間固定點，且規(guī)定順時針方向的角動量為正．因為是彈性碰撞，碰撞前后質點組的動能相等，有 （3） 因為桿是剛性桿，小球B和D相對于小球C的速度大小必相等，方向應相反，所以有 （4） 解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得兩個解 =0 （5） 和 （6） 因為也是剛碰撞后由B、C、D三小球組成的系統(tǒng)的質心的速度，根據(jù)質心運動定律，碰撞后這系統(tǒng)的質心不可能靜止不動，故（5）式不合理，應舍去．取（6）式時可解得剛碰撞后A、B、D三球的速度 （7） （8） （9） 2．討論碰撞后各小球的運動 碰撞后，由于B、C、D三小球組成的系統(tǒng)不受外力作用，其質心的速度不變，故小球C將以（6）式的速度即沿方向作勻速運動．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D兩小球將繞小球C作勻角速度轉動，角速度的大小為 （10） 方向為逆時針方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關，下面就M、m取值不同而導致運動情形的不同進行討論： （i），即碰撞后小球A停住，由（7）式可知發(fā)生這種運動的條件是 即 （11） （ii），即碰撞后小球A反方向運動，根據(jù)（7）式，發(fā)生這種運動的條件是 （12） （iii）但，即碰撞后小球A 沿方向作勻速直線運動，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知發(fā)生這種運動的條件是 和 即 （13） （iv），即碰撞后小球A仍沿方向運動，且其速度大于小球C的速度，發(fā)生這種運動的條件是 （14） （v），即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿方向運動，發(fā)生這種運動的條件是 （15） 在這種情形下，由于小球B、D繞小球C作圓周運動，當細桿轉過時，小球D 將從小球A的后面與小球A相遇，而發(fā)生第二次碰撞，碰后小球A繼續(xù)沿方向運動．根據(jù)質心運動定理，C球的速度要減小，碰后再也不可能發(fā)生第三次碰撞．這兩次碰撞的時間間隔是 （16） 從第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走過的路程 （17） 3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度 剛要發(fā)生第二次碰撞時，細桿已轉過，這時，小球B的速度為，小球D的速度為．在第二次碰撞過程中，質點組的動量守恒，角動量守恒和能量守恒．設第二次剛碰撞后小球A、B、C、D的速度分別為、、和，并假定它們的方向都與的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得 （18） （19） （20） 由桿的剛性條件有 （21） （19）式的角動量參考點設在剛要發(fā)生第二次碰撞時與D球重合的空間點． 把（18）、（19）、（20）、（21）式與（1）、（2）、（3）、（4）式對比，可以看到它們除了小球B 和D互換之外是完全相同的．因此它們也有兩個解 （22） 和 （23） 對于由B、C、D 三小球組成的系統(tǒng)，在受到A球的作用后，其質心的速度不可能保持不變，而（23）式是第二次碰撞未發(fā)生時質心的速度，不合理，應該舍去．?。?2）式時，可解得 （24） （25） （26） （22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度作勻速直線運動，即恢復到第一次碰撞前的運動，但已位于桿的前方，細桿和小球B、C、D則處于靜止狀態(tài)，即恢復到第一次碰撞前的運動狀態(tài)，但都向前移動了一段距離，而且小球D和B換了位置． 評分標準： 本題25分． 三、參考解答： p V A B C 0 由 ， （1） 可知，當V增大時，p將隨之減?。ó擵減小時，p將隨之增大），在圖上所對應的曲線（過狀態(tài)A）大致如圖所示．在曲線上取體積與狀態(tài)B的體積相同的狀態(tài)C． 現(xiàn)在設想氣體從狀態(tài)A出發(fā)，保持葉片不動，而令活塞緩慢地向右移動，使氣體膨脹，由狀態(tài)A到達狀態(tài)C，在此過程中，外界對氣體做功 （2） 用UA、UC分別表示氣體處于狀態(tài)A、C時的內能，因為是絕熱過程，所以內能的增量等于外界對氣體做的功，即 （3） 再設想氣體處于狀態(tài)C時，保持其體積不變，即保持活塞不動，令葉片以角速度w 做勻速轉動，這樣葉片就要克服氣體阻力而做功，因為缸壁及活塞都是絕熱的，題設缸內其它物體熱容量不計，活塞又不動（即活塞不做功），所以此功完全用來增加氣體的內能．因為氣體體積不變，所以它的溫度和壓強都會升高，最后令它到達狀態(tài)B．在這過程中葉片轉動的時間用Dt表示，則在氣體的狀態(tài)從C到B的過程中，葉片克服氣體阻力做功 （4） 令UB表示氣體處于狀態(tài)B時的內能，由熱力學第一定律得 （5） 由題知 （6） 由（4）、（5）、（6）式得 （7） （7）式加（3）式，得 （8） 利用和得 （9） 評分標準： 本題23分． 四、參考解答： T 2T 0 uDBDDA 圖1 U －U 答案：如圖1所示，如圖2 所示． 0 T uA 0 2T T 圖2 ． 附參考解法： 二極管可以處在導通和截止兩種不同的狀態(tài).不管D1和D2處在什么狀態(tài)，若在時刻t，A點的電壓為uA，D點的電壓為uD，B點的電壓為uB，電容器C1兩極板間的電壓為uC1，電容器C2兩極板間的電壓為uC2，則有 （1） （2） （3） （4） 式中q1為C1與A點連接的極板上的電荷量，q2為C2與B點連接的極板上的電荷量. 若二極管D1截止，D2導通，則稱電路處在狀態(tài)I. 當電路處在狀態(tài)I時有 （5） 若二極管D1和D2都截止，則稱電路處在狀態(tài)II. 當電路處在狀態(tài)II時有 （6） 若二極管D1導通，D2截止，則稱電路處在狀態(tài)III.當電路處在狀態(tài)III時有 （7） 電路處在不同狀態(tài)時的等效電路如圖3所示. C1 D1 C2 D uA G A B D2 C1 D1 C2 D uA G A B D2 C1 D1 C2 D uA G A B D2 狀態(tài)I 狀態(tài)II 狀態(tài)III 圖3 在到時間間隔內，uD、uB隨時間t的變化情況分析如下： 1. 從起，uA從0開始增大，電路處在狀態(tài) I ，C1、C2與電源組成閉合回路. 因C1、C2的電容相等，初始時兩電容器都不帶電，故有 在uA達到最大值即uA = U時，對應的時刻為，這時，也達到最大值. uA達到最大值后將要減小，由于D2的單向導電性，電容器C1、C2都不會放電，和保持不變，uD將要小于，即將要小于uB ，D2將由導通變成截止，電路不再處于狀態(tài)I. 所以從t = 0到時間間隔內，uD、uB隨時間t變化的圖線如圖4、圖5中區(qū)域I1 內的的直線所示． 2. 從起，因uD小于uB ，D2處在截止狀態(tài)，電路從狀態(tài) I 變?yōu)闋顟B(tài) II. 因為二極管的反向電阻為無限大，電容器C1、C2都不會放電，兩極板間的電壓都保持不變.當電路處在狀態(tài)II 時，D點的電壓 B點的電壓 隨著uA從最大值U逐漸變小，uD亦變??；當時，對應的時刻為，.如果uA小于，則uD將小于0，D1要從截止變成導通，電路不再處在狀態(tài)II.所以在到時間間隔內，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域 II1 內的直線所示. 3.從起，uA從開始減小，D1導通，但，D2仍是截止的，電路從狀態(tài)II變?yōu)闋顟B(tài)III.當電路處在 狀態(tài) III 時有 在uA減小的過程中，C1兩極板間的電壓uC1（= uA）也隨之改變，從而維持uD為0. 當uA達到反向最大值即時，對應的時刻為，.若uA從開始增大（減?。?，因D1的單向導電性，電容器C1不會放電，保持不變，，D1要從導通變成截止，電路不再處于狀態(tài)III.所以在到時間間隔內，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域 III1 內的直線所示. 4. 從起，uA從開始增大， D1變?yōu)榻刂範顟B(tài)，從零開始增大，只要uD仍小于uB，D2仍是截止的，電路從狀態(tài)III變?yōu)闋顟B(tài)II. 當電路處在 狀態(tài) II 時，C1和C2不會放電，電容器兩極板間的電壓保持不變. 故有 當uA增大至時，對應的時刻為，. 若uA再增大，uD將要大于uB，D2將要從截止變?yōu)閷?，，電路不再處于狀態(tài)II. 所以在到時間間隔內，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中 區(qū)域 II2 中的直線所示. 5. 從起，uA要從增大， D2變?yōu)閷顟B(tài)，這時D1仍是截止的，電路又進入狀態(tài)I. 當電路處在 狀態(tài)I時，電源與C1、C2構成閉合回路，而 當uA變化時，將隨之變化，但由導通的二極管D2連接的C1、C2的兩塊極板所帶的總電荷量是恒定不變的.由于在時刻，，，此時，，故有 由以上有關各式得 uD、uB隨著uA的增大而增大. 當uA達到最大值即時，對應的時刻為，．由于D2單向導電，只增不減，uA從最大值減小時，不變，uD將要小于，而保持為，因而，D2從導通變成截止，電路不再是狀態(tài)I. 所以在到時間間隔內，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中 I2中的直線所示. 6. 從起，uA從U開始減小， D2變?yōu)榻刂範顟B(tài)，這時D1仍是截止的，電路又進入狀態(tài)II. 當電路處在 狀態(tài) II 時，C1和C2不會放電，電容器兩極板間的電壓保持不變. 由時刻的uD和uA的值可知此時. 故有 當uA減少至時，對應的時刻為，，以后D1將由截止變?yōu)閷ǎ娐凡辉偬幵跔顟B(tài)II. 所以在到時間內，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中 II3中的直線所示. 7. 從起，uA從開始減小，D1變?yōu)閷顟B(tài)，但D2仍是截止的，電路又進入狀態(tài)III，故有 在uA減小的過程中，C1兩端的電壓uC1也隨之改變，開始階段D1保持導通，uD = 0. 但當uA減小至-U時，對應的時刻為，uC1 = U. 因D1單向導電，且，C1右極板的正電荷只增不減，uA到達-U后要增大，uD要大于0，D1要從導通變?yōu)榻刂?，電路不再處于狀態(tài)III. 所以在到時間間隔內，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中III2內的直線所示. 8. 從起，uA從-U開始增大，D1變?yōu)榻刂範顟B(tài)，D2仍是截止的，電路又進入狀態(tài)II. 當電路處于狀態(tài)II 時，C1和C2不會放電，電容器兩極板間的電壓保持不變.由時刻的uD和uA的值可知，此時.故有 uD將隨著uA的增大而增大.當uA=時，對應的時刻，uD =，與uB相等.以后uD要大于，D2要從截止變?yōu)閷?，電路不再是狀態(tài)II. 所以在到時間間隔內，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中II4內的直線所示. 總結以上討論，各時段起訖時刻及和變化值如下表所示： 時 段 1 2 3 4 5 6 7 8 I1 II1 III1 II2 I2 II3 III2 II4 T 2T 0 uDBDDA 圖4 I1 II1 III2 II2 III1 I2 II4 II32 0 2T T 圖5 I1 II1 III2 II2 III1 I2 II4 II32 評分標準： 本題25分 五、參考解答： 1．題給的磁場隨時間和空間的變化具有周期性，在某時刻，磁場的空間分布為 在時刻，磁場的空間分布為 比較上面兩式，不難看出，和這兩個時刻的磁場的空間分布規(guī)律是相同的，只是時刻原位于處的磁場，經(jīng)歷時間，在時刻，出現(xiàn)在處．即整個磁場的分布經(jīng)時間間隔沿x軸的正方向平移了一段距離 平移速度 （1） 平移速度為恒量．由此可見，題給出的磁場可視為一在空間按余弦規(guī)律分布的非均勻磁場區(qū)域以速度沿x軸的正方向平移．如果金屬框移動的速度小于磁場區(qū)域平移的速度，那么通過金屬框的磁通將隨時間發(fā)生變化，從而在金屬框中產(chǎn)生感應電流，感應電流將受到磁場的安培力作用． 由題已知，在時刻t，金屬框移動的速度為，金屬框MN邊位于坐標x處，PQ邊位于坐標處．設此時金屬框的磁通為（規(guī)定由紙內到紙外為正）；經(jīng)過一很短的時間間隔，整個磁場分布區(qū)域向x方向移動了一段距離，金屬框向x方向移動了一段距離，其結果是：MN邊左側穿過面積為的磁通移進了金屬框，PQ邊左側穿過面積為的磁通移出了金屬框，故在時刻，通過金屬框的磁通為 在時間間隔內，通過金屬框的磁通增量為 （2） 規(guī)定框內的感應電動勢沿順時針方向（沿回路MNPQM方向)為正，由電磁感應定律，可得t時刻的感應電動勢 （3） 規(guī)定金屬框內的感應電流沿順時針方向（沿回路MNPQM方向)為正，可得t時刻的感應電流為 (4) 磁場對于上下兩邊NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力為零．規(guī)定向右的力為正，則磁場作用于金屬框MN邊的安培力為；由于PQ邊和MN邊的電流方向相反，磁場作用于金屬框PQ邊的安培力為 ，故金屬框的安培力的合力 （5） 由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式及題給定的磁場分布規(guī)律，得 （6） 利用三角學公式，得 （7） 稱為安培力的幅度．從（7）式可以看出，安培力在的幅度內隨時間變化，但其值不會小于零，表示磁場作用于金屬框的安培力始終向右． 2．討論安培力的大小與線框幾何尺寸的關系就是討論與線框幾何尺寸的關系．與金屬框長度l的平方成正比，與金屬框的寬度d有關： 當， 即 （8） 得 （9） 當，即 （10） 達最大值 （11） 當d取其它值時，介于0與最大值之間． 評分標準： 本題25分． 六、參考解答： 1． 圓筒內光學元件的相對位置如圖1所示．各元件的作用如下： L2 L1 L3 狹縫 S P 圓筒軸 圖1 狹縫S：光源的光由此進入分光鏡，觀察到的譜線就是狹縫的像． 透鏡L1：與狹縫的距離為f1，使由狹縫射來的光束經(jīng)L1后成為與圓筒軸平行的平行光束． 分光棱鏡：使由L1射來的平行光束中頻率不同的單色光經(jīng)棱鏡后成為沿不同方向出射的平行光束． 透鏡L2：使各種單色平行光束經(jīng)L2 成像在它的焦平面上，形成狹縫的像（即光譜線）． 觀察屏P：位于L2焦平面上，光源的譜線即在此屏上． 透鏡L3：與P的距離f3，是人眼觀察光譜線所用的放大鏡（目鏡）． 2．已知鈉黃光的譜線位于P的中央，S的像位于L2 的焦點上，由此可知，對分光棱鏡系統(tǒng)來說，鈉黃光的入射光束和出射光束都與軸平行，由于棱鏡系統(tǒng)是左右對稱，因此鈉黃光在棱鏡內的光路應該是左右對稱的，在中間棱鏡中的光路應該與軸平行，分光元件中的光路圖如圖2所示，左半部的光路如圖3．用i1、r1、i2、r2分別表示兩次折射時的入射角和折射角，用n1、n2分別表示兩塊棱鏡對D線的折射率，由圖3可以看出，在兩棱鏡界面上發(fā)生折射時，，表明，即中間的棱鏡應用折射率較大的火石玻璃制成，兩側棱鏡用冕牌玻璃制成，故有=1.5170，=1.7200． 圖2 r1 i2 r2 i1 n2 n1 圖3 由幾何關系可得 （1） （2） 由折射定律可得 （3） （4） 從以上各式中消去、、和得 （5） 解（5）式得 （6） 以，代入，得 （7） 評分標準： 本題23分． 七、參考解答： 帶電粒子在靜電場內從S到T的運動過程中，經(jīng)歷了從S到N和從N到T的兩次加速，粒子帶的電荷量q的大小均為，若以U 表示N 與地之間的電壓，則粒子從電場獲得的能量 (1) 質子到達T處時的質量 (2) 式中v為質子到達T時的速度．質子在S處的能量為，到達T處時具有的能量為，電子的質量與質子的質量相比可忽略不計，根據(jù)能量守恒有 （3） 由（1）、（2）、（3）式得 代入數(shù)據(jù)解得 （4） 評分標準： 本題16分． 24