2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 9.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 文.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 9.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 文 一、選擇題 1.(xx深圳中學(xué)模擬)曲線y=x3在原點(diǎn)處的切線 ( ) A.不存在 B.有1條,其方程為y=0 C.有1條,其方程為x=0 D.有2條,它們的方程分別為y=0,x=0 解析 ∵y′=3x2,∴k=y(tǒng)′|x=0=0,∴曲線y=x3在原點(diǎn)處的切線方程為y=0. 答案 B 2.若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則l的方程為 ( ) A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 解析 切線l的斜率k=4,設(shè)y=x4的切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則k=4x=4,∴x0=1,∴切點(diǎn)為(1,1), 即y-1=4(x-1),整理得l的方程為4x-y-3=0. 答案 A 3.(xx長春模擬)曲線y=xex+2x-1在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程為 ( ) A.y=3x-1 B.y=-3x-1 C.y=3x+1 D.y=-2x-1 解析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可得y′=ex+xex+2=(x+1)ex+2,則曲線y=xex+2x-1在點(diǎn)(0,-1)處的切線斜率為y′|x=0=1+2=3.故曲線y=xex+2x-1在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程為y+1=3x,即y=3x-1. 答案 A 4.已知f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù),即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f′2(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,則f2 015(x)等于 ( ) A.-sin x-cos x B.sin x-cos x C.-sin x+cos x D.sin x+cos x 解析 ∵f1(x)=sin x+cos x,∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x,∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x,∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x,∴fn(x)是以4為周期的函數(shù),∴f2 015(x)=f3(x)=-sin x-cos x,故選A. 答案 A 5.(xx陜西卷)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為 ( ) A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x 解析 設(shè)三次函數(shù)的解析式為y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則y′=3ax2+2bx+c.由已知得y=-x是函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d在點(diǎn)(0,0)處的切線,則 y′|x=0=-1?c=-1,排除B、D.又∵y=3x-6是該函數(shù)在點(diǎn)(2,0)處的切線,則y′|x=2=3?12a+4b+c=3?12a+4b-1=3?3a+b=1.只有A項(xiàng)的函數(shù)符合,故選A. 答案 A 二、填空題 6.(xx珠海一模)若曲線y=ax2-ln x在點(diǎn)(1,a)處的切線平行于x軸,則a=________. 解析 y′=2ax-,∴y′|x=1=2a-1=0,∴a=. 答案 7.(xx廣東卷)曲線y=-5ex+3在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為__________________. 解析 由y=-5ex+3得,y′=-5ex,所以切線的斜率k=y(tǒng)′|x=0=-5,所以切線方程為y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0. 答案 5x+y+2=0 8.(xx江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax2+(a,b為常數(shù))過點(diǎn)P(2,-5),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行,則a+b的值是______. 解析 y=ax2+的導(dǎo)數(shù)為y′=2ax-,直線7x+2y+3=0的斜率為-.由題意得解得則a+b=-3. 答案?。? 三、解答題 9.已知曲線y=x3+. (1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程; (2)求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程. 解 (1)∵P(2,4)在曲線y=x3+上,且y′=x2, ∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率為y′|x=2=4. ∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. (2)設(shè)曲線y=x3+與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A,則切線的斜率為y′|x=x0=x. ∴切線方程為y-=x(x-x0),即y=xx-x+.∵點(diǎn)P(2,4)在切線上,∴4=2x-x+,即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0, ∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1,或x0=2,故所求的切線方程為x-y+2=0,或4x-y-4=0. 10.(xx北京卷改編)已知曲線C:y=. (1)求曲線C在點(diǎn)(1,0)處的切線l1的方程; (2)求過原點(diǎn)與曲線C相切的直線l2的方程. 解 設(shè)f(x)=,則f′(x)=. (1)∴f′(1)==1,即切線l1的斜率k=1. 由l1過點(diǎn)(1,0),得l1的方程為y=x-1. (2)設(shè)l2與曲線C切于點(diǎn)P, 則切線l2方程為 y-=(x-x0), ∵l2過原點(diǎn). ∴-=(-x0), 化簡(jiǎn)得ln x0=,∴x0=, ∴l(xiāng)2:y-=(x-), 整理得y=x.即為l2的方程. 能力提升題組 (建議用時(shí):35分鐘) 11.已知曲線y=,則曲線的切線斜率取得最大值時(shí)的直線方程為 ( ) A.x+4y-2=0 B.x-4y+2=0 C.4x+2y-1=0 D.4x-2y-1=0 解析 y′==,因?yàn)閑x>0,所以ex+≥2=2(當(dāng)且僅當(dāng)ex=,即x=0時(shí)取等號(hào)),則ex++2≥4,故y′=≤ -(當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)).當(dāng)x=0時(shí),曲線的切線斜率取得最大值,此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為,切線的方程為y-=-(x-0),即x+4y-2=0.故選A. 答案 A 12.(xx開封二模)過點(diǎn)A(2,1)作曲線f(x)=x3-3x的切線最多有 ( ) A.3條 B.2條 C.1條 D.0條 解析 由題意得,f′(x)=3x2-3,設(shè)切點(diǎn)為(x0,x-3x0),那么切線的斜率為k=3x-3,利用點(diǎn)斜式方程可知切線方程為y-(x-3x0)=(3x-3)(x-x0),將點(diǎn)A(2,1)代入可得關(guān)于x0的一元三次方程2x-6x+7=0.令y=2x-6x+7,則y′=6x-12x0.由y′=0得x0=0或x0=2.當(dāng)x0=0時(shí),y=7>0;x0=2時(shí),y=-1<0.結(jié)合函數(shù)y=2x-6x+7的單調(diào)性可得方程2x-6x+7=0有3個(gè)解.故過點(diǎn)A(2,1)作曲線f(x)=x3-3x的切線最多有3條,故選A. 答案 A 13.(xx杭州高級(jí)中學(xué)月考)已知曲線f(x)=xn+1(n∈N*)與直線x=1交于點(diǎn)P,設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則log2 016x1+ log2 016x2+…+log2 016x2 015的值為________. 解析 f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1, 點(diǎn)P(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,得x=1-=,即xn=, ∴x1x2…x2 015=…=,則log2 016x1+log2 016x2+…+log2 016x2 015=log2 016(x1x2…x2 015)=-1. 答案?。? 14.設(shè)拋物線C: y=-x2+x-4,過原點(diǎn)O作C的切線y=kx,使切點(diǎn)P在第一象限. (1)求k的值; (2)過點(diǎn)P作切線的垂線,求它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo). 解 (1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),則y1=kx1,① y1=-x+x1-4,② ①代入②得x+x1+4=0. ∵P為切點(diǎn),∴Δ=2-16=0得k=或k=. 當(dāng)k=時(shí),x1=-2,y1=-17.當(dāng)k=時(shí),x1=2,y1=1. ∵P在第一象限,∴所求的斜率k=. (2)過P點(diǎn)作切線的垂線,其方程為y=-2x+5.③ 將③代入拋物線方程得x2-x+9=0. 設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2,y2),即2x2=9, ∴x2=,y2=-4.∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為. 15.設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)曲線f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值. 解 (1)方程7x-4y-12=0可化為y=x-3, 當(dāng)x=2時(shí),y=.又f′(x)=a+,于是 解得故f(x)=x-. (2)設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn), 由y′=1+知曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).令x=0,得y=-,從而得切線與直線x=0交點(diǎn)坐標(biāo)為.令y=x,得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0). 所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為S= |2x0|=6. 故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為定值,且此定值為6.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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