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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與算法同步訓(xùn)練 理 　　　　　　　　　　　　　　　 A級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：10分鐘) 　1.下面對(duì)數(shù)列的理解有四種： ①數(shù)列可以看成一個(gè)定義在N*上的函數(shù)；②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的； ③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)； ④數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的． 其中說(shuō)法正確的序號(hào)是(　　) A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 　2.數(shù)列1,0,1,0,1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 　3.在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 　4.數(shù)列{an}中，an＝n2－7n＋6，那么150是其第　16　項(xiàng)． 　5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝cn＋，且a2＝，a4＝，求a10. 數(shù)列{an}中，已知an＝(－1)nn＋a(a為常數(shù))，且a1＋a4＝3a2，求a100. B級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：15分鐘) 　1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，當(dāng)其前n項(xiàng)和為9時(shí)，項(xiàng)數(shù)n是(　　) A．9 B．99 C．10 D．100 　2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿(mǎn)足5＜ak＜8，則k等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 　3.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 數(shù)列，，，，…中，有序數(shù)對(duì)(a，b)可以是____________． 　4.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且an＝n2＋λn，則實(shí)數(shù)λ的范圍是　(－3，＋∞)　. 　5.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－4n＋2，則|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝　66　. 　6.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx江西)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a－(2n－1)an－2n＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. C級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：11分鐘) 　1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝xxsin ，則a1＋a2＋…＋axx＝(　　) A．xx B．xx C．xx D．xx 　2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，an＋1是直線y＝3x－2an在y軸上的截距，n∈N*，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(　　) A．2n－1－1 B．2n－1 C.[1－(－2)n－1] D.[1－(－2)n] 　3.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______________． 　4.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx廣東江門(mén)一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在正整數(shù)p、q(p＞1且q＞1)使a1、ap、aq成等比數(shù)列？若存在，求出所有這樣的等比數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 第2講　等差數(shù)列 　　　　　　　　　　　　　　　 A級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：10分鐘) 　1.等差數(shù)列1，－1，－3，－5，…，－89，它的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．92 B．47 C．46 D．45 　2.在等差數(shù)列{an}中，若a2，a10是方程x2＋12x－8＝0的兩個(gè)根，那么a6的值為(　　) A．－12 B．－6 C．12 D．6 　3.(xx重慶)在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝(　　) A．5 B．8 C．10 D．14 　4.在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為(　　) A．37 B．36 C．20 D．19 　5.(xx重慶)若2、a、b、c、9成等差數(shù)列，則c－a＝　　　　. 　6.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前三項(xiàng)之和S3＝9，則{an}的通項(xiàng)an＝　2n－1　. 　7.已知等差數(shù)列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}前n項(xiàng)和Sn. 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝－2n＋11，前n項(xiàng)和Sn.如果bn＝|an|(n∈N)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. B級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：15分鐘) 　1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 在a和b之間插入n個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則其公差為(　　) A. B. C. D. 　2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a2＋a4＋a15的值是一個(gè)確定的常數(shù)，則數(shù)列{Sn}中也為常數(shù)的項(xiàng)是(　　) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 　3.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D. 　4.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 等差數(shù)列{an}的公差d不為0，Sn是其前n項(xiàng)和，給出下列命題： ①若d＜0，且S3＝S8，則S5和S6都是{Sn}中的最大項(xiàng)； ②給定n，對(duì)于一切k∈N*(k＜n)，都有an－k＋an＋k＝2an； ③若d＞0，則{Sn}中一定有最小的項(xiàng)； ④存在k∈N*，使ak－ak＋1和ak－ak－1同號(hào)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 　5.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx廣東佛山二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S9＝S4＋20，則S13的值為　52　. 　6.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝25n－2n2. (1)求證：{an}是等差數(shù)列． (2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn. C級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：12分鐘) 　1.[限時(shí)6分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx全國(guó)Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由． 　2.[限時(shí)6分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx廣東廣州二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝0，對(duì)任意n∈N*，都有nan＋1＝Sn＋n(n＋1)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足an＋log2n＝log2bn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 第3講　等比數(shù)列 　　　　　　　　　　　　　　　 A級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：10分鐘) 　1.如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 　2.三個(gè)正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，則lga、lgb、lgc是(　　) A．等比數(shù)列 B．既是等差又是等比數(shù)列 C．等差數(shù)列 D．既不是等差又不是等比數(shù)列 　3.某數(shù)列既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，那么該數(shù)列一定是(　　) A．公差為0的等差數(shù)列 B．公比為1的等比數(shù)列 C．常數(shù)數(shù)列1,1,1 D．以上都不對(duì) 　4.一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和等于偶數(shù)項(xiàng)之和的，則此等比數(shù)列的公比q＝　2　. 　5.△ABC中，三邊a，b，c成等比數(shù)列，A＝60，則＝　　　　　. 　6.(xx遼寧)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，Sn是的前n項(xiàng)和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝　63　. 　7.已知{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝1，a2＋a3＝6， (1)求該數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝log2an＋1，cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. B級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：20分鐘) 　1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝4n＋a，則a的值等于(　　) A．－4 B．－1 C．0 D．1 　2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＞0，n＝1,2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則當(dāng)n≥1時(shí)，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　) A．(n－1)2 B．n2 C．(n＋1)2 D．n2－1 　3.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx大綱)已知數(shù)列滿(mǎn)足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則的前10項(xiàng)和等于(　　) A．－6(1－3－10) B.(1－3－10) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 　4.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 公差不為0的等差數(shù)列的第2,3,6項(xiàng)依次構(gòu)成一等比數(shù)列，該等比數(shù)列的公比q＝　3　. 　5.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx廣東)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝　15　. 　6.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx全國(guó)Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)證明是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明＋＋…＋<. 　7.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx湖北)已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由． C級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：7分鐘) 　1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，等差數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b7＝a6，則有(　　) A．a(chǎn)3＋a9＞b4＋b10 B．a(chǎn)3＋a9≥b4＋b10 C．a(chǎn)3＋a9≠b4＋b10 D．a(chǎn)3＋a9與b4＋b10的大小不確定 　2.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx陜西)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和． (1)若{an}為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式； (2)若a1＝1，q≠0，且對(duì)所有正整數(shù)n，有Sn＝.判斷{an}是否為等比數(shù)列． 第4講　數(shù)列求和 　　　　　　　　　　　　　　　 A級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：10分鐘) 　1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9＋3a11<0，a10a11<0，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n等于(　　) A．20 B．17 C．19 D．21 　2.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 　3.等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為(　　) A．130 B．170 C．210 D．260 　4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1(4n－3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于(　　) A．200 B．－200 C．400 D．－400 　5.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，對(duì)任意的n∈N*，都有Sn＝2an－1，則S10＝　1023　. 　6.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)，導(dǎo)數(shù)f′(x)＝2x＋1，當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時(shí)，f(x)是整數(shù)的個(gè)數(shù)記為an. (1)求a、b、c的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)令bn＝，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn. B級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：21分鐘) 　1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足，a1＞0,5a8＝8a13，則前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，n的值為(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 　2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知{an}的前n項(xiàng)之和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝　　　　　　　.　3.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 數(shù)列{an}的項(xiàng)是由1或2構(gòu)成，且首項(xiàng)為1，在第k個(gè)1和第k＋1個(gè)1之間有2k－1個(gè)2，即數(shù)列{an}為：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S20＝　36??；Sxx＝　3981　. 　4.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 一條信息，若一人收知后用一小時(shí)將信息傳給兩個(gè)人，這兩個(gè)人又用一小時(shí)各傳給未知此信息的另外兩個(gè)人，如此繼續(xù)下去，一天時(shí)間可傳遍_(kāi)_________個(gè)人． 　5.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 數(shù)列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項(xiàng)和Sn＞1020，那么n的最小值是　10　. 　6.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1. 　7.[限時(shí)6分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx浙江)在公差為d的等差數(shù)列中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. C級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：15分鐘) 　1.[限時(shí)7分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn； (2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. [限時(shí)8分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx廣東肇慶一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)設(shè)Tn為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求Tn； (3)設(shè)bn＝，證明：b1＋b2＋b3＋…＋bn＜. 第5講　數(shù)列的綜合應(yīng)用 　　　　　　　　　　　　　　　 A級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：15分鐘) 　1.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且a6＝b7，則有(　　) A．a(chǎn)3＋a9≤b4＋b10 B．a(chǎn)3＋a9≥b4＋b10 C．a(chǎn)3＋a9≠b4＋b10 D．a(chǎn)3＋a9與b4＋b10的大小關(guān)系不確定 　2.據(jù)科學(xué)記算，運(yùn)載“神七”的“長(zhǎng)征”二號(hào)系列火箭在點(diǎn)火后第一秒鐘通過(guò)的路程為2 km，以后每秒鐘通過(guò)的路程增加2 km，在到達(dá)離地面240 km的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過(guò)程需要的時(shí)間是(　　) A．10秒鐘 B．13秒鐘 C．15秒鐘 D．20秒鐘 　3.(xx廣東湛江一模)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足a1＝b1＝1，a2＝b2＝2，則a5b5＝(　　) A．5 B．16 C．80 D．160 　4.若a、b是兩個(gè)正數(shù)，M是a、b的等差中項(xiàng)，N是a、b的等比中項(xiàng)，則(　　) A．M>N B．M≥N C．M0)， 則q2＝＝4，所以q＝2， 則S6＝＝＝63. 7．解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 由a1＝1，a2＋a3＝6得：q＋q2＝6， 即q2＋q－6＝0，解得q＝－3(舍去)或q＝2， 所以an＝2n－1. (2)bn＝log2an＋1＝log22n＝n，cn＝＝－，Tn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝. 【B級(jí)訓(xùn)練】 1．B　解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝4n＋a，所以a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝(16＋a)－(4＋a)＝12，a3＝S3－S2＝(64＋a)－(16＋a)＝48，所以122＝48(4＋a)，解得a＝－1. 2．B　解析：因?yàn)閍5a2n－5＝22n＝a，an＞0，所以an＝2n，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)＝log22n2＝n2. 3．C　解析：3an＋1＋an＝0，所以＝－. 所以數(shù)列{an}是以－為公比的等比數(shù)列． 因?yàn)閍2＝－，所以a1＝4. 由等比數(shù)列的求和公式可得 S10＝＝3(1－3－10)． 4．3　解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，公差為d(d不為0)，則等差數(shù)列的第2,3,6項(xiàng)分別為a＋d，a＋2d，a＋5d，則(a＋2d)2＝(a＋d)(a＋5d)，即d2＋2ad＝0，因?yàn)閐≠0，所以在等式兩邊同時(shí)除以d得：d＝－2a，所以等差數(shù)列的第2,3,6項(xiàng)分別為：－a，－3a，－9a，所以公比q＝＝3. 5．15　解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列， 所以an＝a1qn－1＝(－2)n－1， 所以a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8， 所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15. 6．證明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3(an＋)． 又a1＋＝， 所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列． an＋＝， 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知＝. 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n－1≥23n－1， 所以≤. 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝(1－)＜. 所以＋＋…＋＜. 7．解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)， 化簡(jiǎn)得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 當(dāng)d＝0時(shí)，an＝2； 當(dāng)d＝4時(shí)，an＝2＋(n－1)4＝4n－2， 從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2或an＝4n－2. (2)當(dāng)an＝2時(shí)，Sn＝2n.顯然2n＜60n＋800， 此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立． 當(dāng)an＝4n－2時(shí)，Sn＝＝2n2. 令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0， 解得n＞40或n＜－10(舍去)， 此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值為41. 綜上，當(dāng)an＝2時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的n； 當(dāng)an＝4n－2時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的n，其最小值為41. 【C級(jí)訓(xùn)練】 1．B　解析：因?yàn)閧an}為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列， 所以a3，a6，a9成等比數(shù)列， 又各項(xiàng)均正，所以a3＋a9≥2＝2a6； 又{bn}為等差數(shù)列，所以b4，b7，b10成等差數(shù)列， 所以2b7＝b4＋b10， 因?yàn)閎7＝a6，所以b4＋b10＝2a6≤a3＋a9. 2．解析：(1)設(shè)公差為d，則an＝a1＋(n－1)d， ?2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an－1＋a2)＋(an＋a1) ?2Sn＝n(a1＋an) ?Sn＝＝n(a1＋d)． (2)a1＝1，q≠0，由題知q≠1， ?n∈N*，Sn＝ ?an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝qn， an＝?an＝qn－1，n∈N*. 所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝1，公比為q≠1的等比數(shù)列． 第4講　數(shù)列求和 【A級(jí)訓(xùn)練】 1．C　解析：由a9＋3a11<0，得2a10＋2a11<0，即a10＋a11<0，又a10a11<0，則a10與a11異號(hào)，因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，所以數(shù)列{an}是一個(gè)遞減數(shù)列，則a10>0，a11<0，所以S19＝＝19a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0. 2．C　解析：Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 3．C　解析：(方法一)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 由題意得方程組， 解得d＝，a1＝， 所以S3m＝3ma1＋d＝3m＋＝210. (方法二)因?yàn)樵O(shè){an}為等差數(shù)列，所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，即30,70，S3m－100成等差數(shù)列，所以30＋S3m－100＝702，解得S3m＝210. 4．B　解析：S100＝(41－3)－(42－3)＋(43－3)－…－(4100－3)＝4[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4(－50)＝－200. 5．1023　解析：當(dāng)n＝1時(shí)，得a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)， Sn－1＝2an－1－1，① Sn＝2an－1.② ②－①，得an＝2an－1，即＝2， 又因?yàn)椋?，所以{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．所以S10＝＝1023. 6．解析：(1)因?yàn)閒(0)＝c＝0， 所以c＝0，f′(x)＝2ax＋b＝2x＋1， 所以a＝1，b＝1. (2)依題意可知an＝(n＋1)(n＋2)－n(n＋1)＋1＝2(n＋1)＋1，an＋1＝(n＋2)(n＋3)－(n＋1)(n＋2)＋1＝2(n＋2)＋1， 所以an＋1－an＝2，a1＝5. 所以數(shù)列{an}是以5為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列， 所以an＝5＋(n－1)2＝2n＋3. (3)bn＝＝－，{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝－＋－＋…＋－＝－＝. 【B級(jí)訓(xùn)練】 1．B　解析：設(shè)數(shù)列的公差為d，　　由5a8＝8a13，得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)， 解得d＝－a1， 由an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)(－a1)≥0， 可得n≤＝21， 所以數(shù)列{an}前21項(xiàng)都是正數(shù)，以后各項(xiàng)都是負(fù)數(shù)， 故Sn取最大值時(shí)，n的值為21. 2．()n－1　解析：由Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)， 即3Sn＝2Sn＋1，又a1＝1，所以Sn≠0， 則＝， 所以{Sn}為以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， 所以Sn＝()n－1. 3．36　3981　解析：設(shè)f(k)＝2k－1，則數(shù)列為1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1…，所以前20項(xiàng)中共有16個(gè)2,4個(gè)1，S20＝14＋216＝36；記第k個(gè)1與其后面的2k－1個(gè)2組成第k組，其組內(nèi)元素個(gè)數(shù)記為bk，則bk＝2k，b1＋b2＋…＋bn＝2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)＜xx，而4445＝1980xx，故n＝45，即前xx項(xiàng)中有45個(gè)1以及1968個(gè)2，所以Sxx＝45＋19682＝3981. 4．224－1　解析：設(shè)第n小時(shí)傳遍的人數(shù)為T(mén)n，依題意Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n＝2n－1，所以T24＝224－1. 5．10　解析：依題意數(shù)列每一項(xiàng)都是一個(gè)等比數(shù)列的和，所以數(shù)列通項(xiàng)公式an＝2n－1. 所以Sn＝2＋22＋23…2n－n＝2n＋1－2－n. 因?yàn)镾n＞1020,210＝1024,210－2－9＝1013＜1020，所以n≥10. 6．解析：由題可知，{(2n－1)xn－1}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{xn－1}的通項(xiàng)之積． 因?yàn)镾n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1， 所以xSn＝x＋3x2＋…＋(2n－3)xn－1＋(2n－1)xn， 兩式相減得(1－x)Sn＝1＋2x＋2x2＋…＋2xn－1－(2n－1)xn， ①當(dāng)x≠(1,0)時(shí)，由等比數(shù)列的求和公式得： (1－x)Sn＝－1＋－(2n－1)xn， 所以Sn＝. ②當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2. ③當(dāng)x＝0時(shí)，Sn＝1＋0＝1. 7．解析：(1)由已知得到：(2a2＋2)2＝5a1a3 ?4(a1＋d＋1)2＝50(a1＋2d) ?(11＋d)2＝25(5＋d) ?121＋22d＋d2＝125＋25d ?d2－3d－4＝0?或. (2)由(1)知，當(dāng)d<0時(shí)，an＝11－n， ①當(dāng)1≤n≤11時(shí)，an≥0， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝； ②當(dāng)12≤n時(shí)，an≤0， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋a3＋…＋a11－(a12＋a13＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋a3＋…＋a11)－(a1＋a2＋a3＋…＋an) ＝2－ ＝. 所以，綜上所述：|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝. 【C級(jí)訓(xùn)練】 1．解析：(1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7， 有2a8＝42a7＝2a7＋2. 解得d＝a8－a7＝2. 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. (2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在x軸上的截距為a2－. 由題意知，a2－＝2－，所以a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，從而an＝n，bn＝2n. 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， 2Tn＝＋＋＋…＋. 因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝. 所以Tn＝. 2．解析：由nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，得(n－1)an＝Sn－1＋(n－1)n(n≥2)， 兩式相減得nan＋1－(n－1)an＝an＋2n，即an＋1－an＝2(n≥2)． 由，得a2－a1＝2. 所以對(duì)一切正整數(shù)n，有an＋1－an＝2， 故an＝a1＋2(n－1)＝2n，即an＝2n(n∈N*)； (2)由(1)得＝＝， 所以Tn＝1＋＋＋…＋① ①兩邊同乘以，得Tn＝＋＋…＋＋② ①－②，得Tn＝1＋＋＋…＋－， 所以Tn＝－， 故Tn＝4－； (3)由(1)，得bn＝＝[－]， 所以b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝－＜. 第5講　數(shù)列的綜合應(yīng)用 【A級(jí)訓(xùn)練】 1．B　解析：記等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由數(shù)列{bn}為等差數(shù)列可知b4＋b10＝2b7， 又?jǐn)?shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列， 所以a3＋a9＝a3(1＋q6)＝a6()＝b7()， 又＝＋q3≥2(當(dāng)且僅當(dāng)q＝1時(shí)，等號(hào)成立)， 所以a3＋a9≥2b7， 即a3＋a9≥b4＋b10. 2．C　解析：設(shè)每一秒鐘通過(guò)的路程依次為a1，a2，a3，…，an，則數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝2，公差d＝2的等差數(shù)列，由求和公式有na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15. 3．C　解析：在等差數(shù)列{an}中，由a1＝1，a2＝2，得公差d＝1，所以a5＝a1＋4d＝1＋41＝5.在等比數(shù)列{bn}中，由b1＝1，b2＝2，得公比q＝2，所以b5＝b1q4＝124＝16.所以a5b5＝516＝80. 4．B　解析：M＝，N＝.①若N＝－，顯然有M>N.②N＝，則M－N＝()－＝≥0.所以，M≥N. 5．10　解析：因?yàn)镾20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)＞0，S21＝21a11＜0，所以a10＞0，a11＜0，所以n＝10時(shí)，Sn最大． 6．2046　解析：設(shè)第十名到第一名得到的獎(jiǎng)金分別是a1，a2，…，a10，則an＝Sn＋1，所以a1＝2，an－an－1＝an，所以an＝2an－1，則每人所得獎(jiǎng)金數(shù)組成一個(gè)以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以S10＝＝2046. 7．解析：(1)當(dāng)q＝2，n＝3時(shí)，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x22＋x322，xi∈M，i＝1,2,3}，可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}． (2)證明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及an＜bn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1＝－qn－1＝－1＜0. 所以