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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第35講 空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖練習 新人教A版 [考情展望]　1.以三視圖為命題背景，考查空間幾何體的結構特征.2.利用空間幾何體的展開，考查空間想象能力.3.以選擇題、填空題的形式考查． 一、多面體的結構特征 1．棱柱的側棱都互相平行，上下底面是全等的多邊形． 2．棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形． 3．棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形． (1)正棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形．側棱垂直于底面，側面是矩形． (2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐，特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反之，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心． 二、旋轉體的形成 幾何體 旋轉圖形 旋轉軸 圓柱 矩形 任一邊所在的直線 圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線 圓臺 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線 球 半圓 直徑所在的直線 三、空間幾何體的三視圖 1．三視圖的名稱 幾何體的三視圖包括：正視圖、側視圖、俯視圖． 2．三視圖的畫法 ①在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線． ②三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體的正投影圖． 四、空間幾何體的直觀圖 　 空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是 1．原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45或135，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． 2．原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中長度為原來的一半． 按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖． 1．關于空間幾何體的結構特征，下列說法不正確的是(　　) A．棱柱的側棱長都相等 B．棱錐的側棱長都相等 C．三棱臺的上、下底面是相似三角形 D．有的棱臺的側棱長都相等 【解析】　根據(jù)棱錐的結構特征知，棱錐的側棱長不一定都相等． 【答案】　B 2．如圖7－1－1，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是(　　) 圖7－1－1 A．①②　　　　　　　 B．②③ C．②④ D．③④ 【解析】　由幾何體的結構可知，只有圓錐、正四棱錐兩幾何體的正視圖和側視圖相同，且不與俯視圖相同． 【答案】　C 圖7－1－2 3．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖7－1－2所示的一個正方形，則原來的圖形是(　　) 【解析】　根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則知，選A. 【答案】　A 4．若某幾何體的三視圖如圖7－1－3所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(　　) 圖7－1－3 【解析】　根據(jù)正視圖與俯視圖可排除A、C，根據(jù)側視圖可排除D.故選B. 【答案】　B 5．(xx四川高考)一個幾何體的三視圖如圖7－1－4所示，則該幾何體的直觀圖可以是(　　) 圖7－1－4 【解析】　由俯視圖是圓環(huán)可排除A，B，C，進一步將已知三視圖還原為幾何體，可得選項D. 【答案】　D 6．(xx湖南高考)已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于(　　) A.　　　B．1　　　C.　　　D. 【解析】　由于該正方體的俯視圖是面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，因此該幾何體的正視圖是一個長為，寬為1的矩形，其面積為. 【答案】　D 考向一 [115]　空間幾何體的結構特征 　下列結論中正確的是(　　) A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐 D．圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線 【思路點撥】　根據(jù)常見幾何體的結構特征，借助于常見的幾何模型進行判斷． 【嘗試解答】　當一個幾何體由具有相同的底面且頂點在底面兩側的兩個三棱錐構成時，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯誤；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋轉軸不是直角邊所在直線，所得幾何體就不是圓錐，B錯誤；若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則棱長必然要大于底面邊長，故C錯誤． 【答案】　D 規(guī)律方法1　1.關于空間幾何體的結構特征辨析關鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可. 2.圓柱、圓錐、圓臺的有關元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關系. 3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略. 考向二 [116]　幾何體的三視圖 　某四面體的三視圖如圖7－1－5所示，該四面體四個面的面積中最大的是(　　) 圖7－1－5 A．8　　　　　　　　　 B．6 C．10 D．8 【思路點撥】　根據(jù)幾何體的三視圖確定幾何體的形狀，并畫出幾何體的直觀圖，標示已知線段的長度，最后求各個面的面積確定最大值． 【嘗試解答】　將三視圖還原成幾何體的直觀圖，如圖所示． 由三視圖可知，四面體的四個面都是直角三角形，面積分別為6,8,10,6，所以面積最大的是10. 【答案】　C 規(guī)律方法2　1.解答此類題目的關鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖. 2.三視圖中“正側一樣高、正俯一樣長、俯側一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關系及相關數(shù)據(jù). 對點訓練　如圖7－1－6是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖．在正視圖右側，按照畫三視圖的要求畫出的該幾何體的側視圖是(　　) 圖7－1－6 　　　 A　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D 【解析】　由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側視圖應為面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正確． 【答案】　B 考向三 [117]　空間幾何體的直觀圖 圖7－1－7 　如圖7－1－7所示，四邊形A′B′C′D′是一水平放置的平面圖形的斜二測畫法的直觀圖，在斜二測直觀圖中，四邊形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′與y′軸平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，求這個平面圖形的實際面積． 【思路點撥】　逆用斜二測畫法得到實際圖形，求出相應的邊長，進而求出面積． 【嘗試解答】　根據(jù)斜二測直觀圖畫法規(guī)則可知 該平面圖形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不變． 由于C′B′＝A′D′＝2. 所以CB＝4. 故平面圖形的實際面積為(6＋4)4＝20. 規(guī)律方法3　由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可． 對點訓練　(1)已知正△ABC的邊長為a，則△ABC水平放置的直觀圖△A′B′C′的面積為________． 圖7－1－8 (2)如圖7－1－8所示，正方形O′A′B′C′的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是(　　) A．6　　　　　　　 B．8 C．2＋3 D．2＋2 【解析】　(1)如圖． 由題意得A′B′＝AB＝a， O′C′＝OC＝a. 過點C′作C′D′⊥A′B′于點D′， 則C′D′＝O′C′＝a. ∴S△A′B′C′＝A′B′C′D′＝a2. (2)對應的原圖形如圖顯然原圖形OABC是平行四邊形， 且OA＝O′A′＝1， OB＝2O′B′＝2＝2， 故由勾股定理，得 AB＝＝3. 故原圖形的周長是2(3＋1)＝8. 【答案】　(1)a2　(2)B 易錯易誤之十二　畫三視圖忽視邊界線及其實虛 ——————　[1個示范例]　——————　[1個防錯練]　—————— 　　　(xx陜西高考)將正方體(如圖7－1－9(1)所示)截去兩個三棱錐，得到如圖7－1－9(2)所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為(　　) 圖7－1－9 【解析】　還原正方體后，將D1，D，A三點分別向正方體右側面作垂線．D1A的射影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應為虛線． 此處易出現(xiàn)兩種錯誤：①是忽視B1C也是邊界而誤選D；②是雖然注意了B1C也是邊界線，但忽視了其不可視而誤選C. 　【防范措施】　(1)在確定邊界線時，要先分析幾何體由哪些面組成，從而可確定邊界線，其次要確定哪些邊界線投影后與輪廓線重合，哪些邊界線投影后與輪廓線不重合，不重合的是我們要在三視圖中畫出的. (2)在畫三視圖時，首先確定幾何體的輪廓線，然后再確定面與面之間的邊界線，再根據(jù)是否可視確定實虛. 　一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正(主)視圖、側(左)視圖如圖7－1－10所示，則其俯視圖為(　　) 　　　　　　　正(主)視圖　　側(左)視圖 圖7－1－10 　　　 　A　　　 　　B　 　　　　C 　　　　　D 【解析】　由題意得正方體截去的兩個角如圖所示，故其俯視圖應選C. 【答案】　C