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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教程 第四講 三角形的“五心”練習(xí) 新人教版 一、知識(shí)歸納 1、重心：三角形的三條中線交點(diǎn)，它到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，重心和三頂點(diǎn)的連線將△ABC的面積三等分，重心一定在三角形內(nèi)部。 2、外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它到各頂點(diǎn)的距離相等，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外。 3、內(nèi)心：是三角形的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等，內(nèi)心一定在三角形內(nèi)。 4、垂心：是三角形三條高的交點(diǎn)，垂心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三條高的垂足組成六組四點(diǎn)共圓，銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形外。 5、旁心：是三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三邊距離相等，一定位于三角形外部。 二、例題解析 例1：在銳角△ABC中，內(nèi)角為A、B、C三邊為a、b、c，則內(nèi)心到三邊的距離之比為　　　　　，重心到三邊的距離為　　　　　，外心到三邊的距離之比為　　　　　，垂心到三邊的距離之比為　　　　　　。 A F B D C E H 例2：如圖，銳角△ABC的垂心為H，三條高的垂足分別為D、E、F，則H是△DEF的　　　　?。? A、垂心 B、重心 C、內(nèi)心 D、外心 例3：如圖，D是△ABC的邊BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)E、 A B C E G F M D N F分別是△ABD和△ACD的重心連結(jié)EF交AD于G點(diǎn)， 則DG：GA＝　　　　　?。? 例4：設(shè)△ABC的重心為G，GA＝，，，則＝　　　??； 例5：若H為△ABC的重心，AH＝BC，則∠BAC的度數(shù)是　　　　　； A、45 B、30 C、30或150 D、45或135 A E B C D O G 例6：已知平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AB＝10，AC＝9，DE＝12，求平行四邊形ABCD的面積。 三、課堂練習(xí) 1、已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，則其垂心到外心的距離為　　　　，重心到垂心的距離為　　　　　； 2、已知三角形的三邊長(zhǎng)為5，12，13，則其內(nèi)切圓的半徑＝　　　　　； 3、在△ABC中，∠A是鈍角，O是垂心，AO＝BC，則cos（∠OBC+∠OCB）= ; 4、設(shè)G為△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，則△ABC的面積為　　　　； 5、若，那么以、、為三邊的△ABC的內(nèi)切圓，外接圓的半徑之和為　　　　?。? A、 B、 C、 D、 6、△ABC的重心為G，M在△ABC的平面內(nèi)，求證： 第四講　三角形的“五心” 例題解析答案 例1：解：答案依次為： 1：1：1；　　；　　；　　 例2：解：內(nèi)心 例3：解： 例4：解： 例5：解：D 例6：分析：設(shè)AC交DE于G，可推出G為△ABD的重心，∠EGA＝90，故可求出及S□ABCD。 解：設(shè)AC、BD交于G，連BD交AC于O（如圖） 由□ABCD知BO＝DO，OA＝OC而B(niǎo)E＝AE 故G為△ABD的重心 有， 而EA＝5，故,∠EGA＝90，＝6 ∴S□ABCD＝2＝72 課堂練習(xí)答案： 1、6.5，　　2、2　　3、　　4、72　　5、A　　6、略