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2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.7 證明平行與垂直 證明平行與垂直題組訓(xùn)練 理 蘇教版 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，－，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為_(kāi)_______． 解析　y軸的方向向量為m＝(0,1,0)，設(shè)y軸與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈m，n〉|， ∵cos〈m，n〉＝＝＝－， ∴sin θ＝，∴θ＝. 答案　 2. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________． 解析　以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1，則 D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,1)， ∴＝，1＝， ∴＝10＋1＋1＝0， ∴⊥，∴A1M與DN所成的角的大小是90. 答案　90 3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_(kāi)_______． 解析　以A為原點(diǎn)建系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0,0,1)，E， D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)， ＝. 設(shè)平面A1ED的法向量為n1＝(1，y，z)， 則∴∴n1＝(1,2,2)， ∵平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)， ∴cos〈n1，n2〉＝＝，故銳二面角的余弦值為. 答案　 4．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上且＝，N為B1B的中點(diǎn)，則||為_(kāi)_______． 解析　 以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 設(shè)M(x，y，z)， ∵點(diǎn)M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝.得M， ∴||＝ ＝a. 答案　a 5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于________． 解析　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)． 設(shè)平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n＝(2，－2,1)． 設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. 答案　 6. 過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________． 解析　法一　建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為＝，故所求的二面角的大小是45. 法二　將其補(bǔ)成正方體．如圖2，不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小為45. 答案　45 7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為_(kāi)_______． 解析　 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則C1(，1,0)，A(0,0，2)，＝(，1，－2)，平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)．所以AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為＝＝. 答案　 8．已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)， ＝(1,1,2)，且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取得最小值時(shí)， 的坐標(biāo)是________． 解析　∵點(diǎn)Q在直線OP上，∴設(shè)點(diǎn)Q(λ，λ，2λ)， 則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－. 當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值－. 此時(shí)＝. 答案　 二、解答題 9．(xx江蘇卷)如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)． (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值． 解　(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)． 因?yàn)閏os〈，〉＝＝＝， 所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)， 因?yàn)椋?1,1,0)，＝(0,2,4)， 所以n1＝0，n1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0. 取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量． 取平面AA1B的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ. 由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝. 因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為. 10. (xx廣州質(zhì)檢)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD 為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE. (1)證明：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． (1)證明　∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD. 同理由PC⊥平面BDE，可證得PC⊥BD. 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC. (2)解　如圖，分別以射線AB，AD，AP為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系． 由(1)知BD⊥平面PAC， 又AC?平面PAC，∴BD⊥AC. 故矩形ABCD為正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2. ∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． ∴＝(2,0，－1)，＝(0,2,0)，＝(－2,2,0)． 設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則 即 ∴取x＝1得n＝(1,0,2)． ∵BD⊥平面PAC， ∴＝(－2,2,0)為平面PAC的一個(gè)法向量． cos〈n，〉＝＝－. 設(shè)二面角B－PC－A的平面角為α，由圖知0<α<， ∴cos α＝，sin α＝＝. ∴tan α＝＝3，即二面角B－PC－A的正切值為3. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1. 如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)．則AD與GF所成的角的余弦值為_(kāi)_______． 解析　如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz，A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(xiàn)(0,2,1)，＝(0，－2,2)，＝(－1,2，1)， ∴||＝2，||＝，＝－2， ∴cos〈，〉＝＝－. ∴直線AD與GF所成角的余弦值為. 答案　 2．在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PA＝PB＝PC＝a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為_(kāi)_______． 解析　根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P－xyz，則P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．過(guò)點(diǎn)P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于點(diǎn)H，則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離． ∵PA＝PB＝PC，∴H為△ABC的外心． 又∵△ABC為正三角形，∴H為△ABC的重心，可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∴PH＝＝a. 答案　a 3．在正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________． 解析　如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P. 則＝(2a,0,0)，＝， ＝(a，a,0)，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n， 設(shè)n＝(x，y，z)， 則解得可取n＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝＝， ∴〈，n〉＝60， ∴直線BC與平面PAC所成的角為90－60＝30. 答案　30 二、解答題 4．(xx北京卷改編)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求證：AA1⊥平面ABC； (2)求二面角A1BC1B1的余弦值； (3)在線段BC1上是否存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B？若存在，試求出的值． (1)證明　在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC. 又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC， ∴AA1⊥平面ABC. (2)解　由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB，由題意知， 在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5， ∴BC2＝AC2＋AB2， ∴AB⊥AC. ∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz. A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是＝(4,0,0)，＝ (0,3，－4)，＝(4，－3,0)，＝(0,0,4)． 設(shè)平面A1BC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)． ∴? ∴取向量n1＝(0,4,3)， 由? 取向量n2＝(3,4,0)， ∴cos θ＝＝＝. 由題圖可判斷二面角A1BC1B1為銳角， 故二面角A1BC1B1的余弦值為. (3)解　假設(shè)存在點(diǎn)D(x，y，z)是直線BC1上一點(diǎn)，使AD⊥A1B，且＝λ. ∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)， 解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ， ∴＝(4λ，3－3λ，4λ)， 又AD⊥A1B，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0，解得λ＝， 因?yàn)椤蔥0,1]，所以在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B.此時(shí)＝.