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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第57課 立體幾何中的翻折問題 文（含解析） 【例1】（xx越秀質(zhì)檢）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，.將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，. （1）求證：∥平面； （2）求證：平面平面； （3）求三棱錐的體積. 【解析】（1）證明：∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴∥. ∵平面，平面，∴∥平面. （2）∵在菱形中，， ∴在三棱錐中，. 在菱形中，，，∴. ∵為的中點(diǎn)，∴. ∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴. ∵，∴，即. ∵，∴平面. ∵平面，∴平面平面. （3）由（2）得，平面， ∴是三棱錐的高. ∵，， ∴. 【例2】（xx珠海質(zhì)檢）在邊長(zhǎng)為的正方形中，、分別為、的中點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)，現(xiàn)沿、、折疊，使、、三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐． （1）判別與平面的位置關(guān)系，并給出證明； （2）證明平面； （3）求多面體的體積． 【解析】（1）∥平面，證明如下： 因翻折后、、三點(diǎn)重合（如圖）， ∴為的一條中位線， ∴∥， ∵平面，平面 ∴∥平面． （2）∵，， ∴平面． （3）∵， ∴， 又∵， ∴． 第57課 立體幾何中的翻折問題課后作業(yè) 圖1 圖2 1. （xx廣東高考）如圖1，在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中，分別是邊上的點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，其中． （1）證明:平面；（2） 證明:平面； （3）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積． 【解析】(1)在圖中，由翻折不變性可知，， ∴，∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2） 在圖中，∵，， ，∴ 又，，∴平面． （3）∵，由（2）知平面， ∴平面，∴平面， 依題意可得， ， ∴， ∴三棱錐的體積． 2. (xx南海質(zhì)檢)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將△、△分別沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，連接，． （1）求證：； （2）求三棱錐的體積與點(diǎn)到平面的距離． 【解析】（1）在正方形中，有，， 則，，又，∴平面． 而平面，∴． （2）∵正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)， ∴． ∵，∴． 在中，，∴． 而，∴ ．∴ ． 由（1）得平面，且，∴． 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，∴． ∴點(diǎn)到平面的距離為． 3. （由xx年高考改編）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足． （1）求的值； （2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式． （3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，， ∵，∴，∴， (2)∵當(dāng)時(shí)， ∴，∴， ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， ∴，∴， ∵， ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，．