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2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.3 拋物線及其性質(zhì) 文 考點(diǎn)一　拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.(xx課標(biāo)Ⅰ,10,5分)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=x0,則x0=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　A　 2.(xx湖南,14,5分)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是　　　　　　　. 答案　(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.(xx福建,21,12分)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程; (2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M,N.以MN為直徑作圓C,過點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為B.試探究:當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論. 解析　(1)解法一:設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn), 依題意,點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等, 所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線Γ的方程為x2=4y. 解法二:設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn), 則|y-(-3)|-=2, 依題意,知點(diǎn)S(x,y)只能在直線y=-3的上方,所以y>-3, 所以=y+1, 化簡(jiǎn)得,曲線Γ的方程為x2=4y. (2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變.證明如下: 由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2, 設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),則y0=, 由y=x,得切線l的斜率k=y=x0, 所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-. 由得A. 由得M. 又N(0,3),所以圓心C, 半徑r=|MN|=, |AB|= ==. 所以點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變. 考點(diǎn)二　拋物線的性質(zhì) 4.(xx安徽,3,5分)拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 答案　A　 5.(xx課標(biāo)Ⅱ,10,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),則|AB|=(　　) A. B.6 C.12 D.7 答案　C　 6.(xx遼寧,8,5分)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為(　　) A.- B.-1 C.- D.- 答案　C　 7.(xx四川,10,5分)已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　B　 8.(xx陜西,11,5分)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為　　　　. 答案　x=-1 9.(xx浙江,22,14分)已知△ABP的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點(diǎn),點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),=3. (1)若||=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)求△ABP面積的最大值. 解析　(1)由題意知焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1. 設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y0+1,得到y(tǒng)0=2, 所以P(2,2)或P(-2,2). 由=3,分別得M或M. (2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得x2-4kx-4m=0, 于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,2k2+m). 由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以由=4y0得k2=-m+. 由Δ>0,k2≥0,得-f, 所以,當(dāng)m=時(shí), f(m)取到最大值,此時(shí)k=. 所以,△ABP面積的最大值為.