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2019-2020年高考數(shù)學 專題講練九 橢圓 近幾年的高考，橢圓部分考了些什么？ 真題展示： （xx/12）在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2c，以O為圓心，為半徑作圓，若過作圓的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為 ▲ x y A1 B2 A2 O T M F B1 第13題圖 （xx/13）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A1,A2,B1,B2為橢圓的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段 OT的中點，則該橢圓的離心率為 ▲ ． （xx/18）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,。 （1）設動點P滿足,求點P的軌跡； （2）設，求點T的坐標； （3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。 （2011/18）如圖，在平面直角坐標系中，分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于兩點，其中點在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交橢圓于點．設直線的斜率為． （1）當直線平分線段，求的值； （2）當時，求點到直線的距離； （3）對任意，求證：． （xx/19）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率． （1）求橢圓的方程； （2）設是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P．（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值． （xx/12）在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，右焦點為,右準線為，短軸的一個端點為，設原點到直線的距離為，到的距離為.若，則橢圓的離心率為 ▲ . F1 F2 O x y B C A (第17題) （xx/17）如圖，在平面直角坐標系中，分別是橢圓的左、右焦點，頂點的坐標為，連結并延長交橢圓于點A，過點A作軸的垂線交橢圓于另一點C，連結. （1）若點C的坐標為，且，求橢圓的方程； （2）若求橢圓離心率e的值. 命題規(guī)律總結：1、每年的高考必考，而且難度中偏上； 2、主要考查（1）橢圓中的基本問題（求橢圓方程或利用橢圓方程解決求基本量的大小或范圍）； （2）橢圓的幾何性質（以離心率為主，兼顧考查其他一些性質，有些性質的考查比較隱蔽）； （3）以橢圓為背景的一些專題（主要有最值和范圍問題、定點與定值問題） 命題趨勢：從近幾對高考試卷的評價來看，明年的高考對解幾的考查的難度將維持在這兩年的水平，不會再出現(xiàn)xx年那樣的試題了，但考查的知識點和題型會有變化，但至少有一半分是送分的（即考查最基本的知識），從這兩年的考試情況來看，兩個方面要引起重視：一是等價轉化與數(shù)形結合能力的抽高（若考直線與圓，要注意運用平幾知識），二是是重視運算能力的提高，要過運算關，不要因為運算失誤而失分。 復習重點： 考點之一、求橢圓的標準方程與基本量（以離心率為主） 運用到的知識點：橢圓的定義（兩個定義）、標準方程與幾何性質 求標準方程的關鍵是：在題設條件中尋找與有關的等量關系（有些關系比較隱蔽，要用心去挖掘），從而列出關于的方程組，再解之。 例題選講： 1．橢圓的左，右焦點分別為,焦距為2c,若直線與橢圓C的一個交點M滿足，則該橢圓的離心率等于__________. （巧用定義） 2．已知、是橢圓的左、右焦點，是直線上一點，是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為 . 3．已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D, 且＝2，則C的離心率為________． 4．如圖，在中，，如果一個橢圓通過兩點，它的一個焦點為，另一個焦點在上，則這個橢圓的離心率等于 . 5．已知橢圓的左焦點是，中心是，是橢圓上一點，，且，則該 橢圓的離心率是 . 6．在平面直角坐標系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，右頂點為A，P是橢圓上一點，l為左準線，PQ⊥l，垂足為Q.若四邊形PQFA為平行四邊形，則橢圓的離心率e的取值范圍是________． 7. 橢圓的右焦點為F，其右準線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是____________. 同步練1：已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為e.若橢圓上存在點P，使得＝e，則該橢圓離心率e的取值范圍是________． 同步練2：已知橢圓和圓，若上存在點，過點引圓的兩條切線，切點分別為，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是 8．已知橢圓的左、右焦點是、，若以為圓心，為半徑作圓，過橢圓上一點作此圓的切線，切點為，且的最小值不小于，則此橢圓的離心率的取值范圍是 9．設,分別是橢圓的左，右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為. （Ⅰ）若直線的斜率為，求的離心率； （Ⅱ）若直線在軸上的截距為，且，求橢圓的方程. 10．如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．（I）求橢圓的方程；（II）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值． （第10題） 同步練：如圖，已知橢圓E的中心為O，長軸的兩個端點為A，B，右焦點為F，且，橢圓E的右準線l的方程為。 （I）求橢圓E的標準方程； （II）若N為準線l上一點（在軸上方），AN與橢圓交于點M，且，記，求。 考點之二、橢圓中的最值與范圍問題 橢圓中的最值與范圍問題的解策略： 思路一是函數(shù)思想，即通過條件的運用與轉化，將所求最值與或范圍的那個量表示為另一個變量的函數(shù)（注意定義域），然后將問題轉化為求該函數(shù)的最值或值域； 思路二是不等式思想：即通過分析題目中的條件，尋找出不等關系，從而將問題轉化為解不等式，從而求出所求量的范圍。 說明：有時會將兩種思想綜合起來使用 1．如圖，曲線C1、C2都是以原點O為對稱中心、離心率均為e的橢圓．線段MN是C1的短軸，是C2的長軸，其中M點坐標為(0，1)，直線l：y＝m(0＜m＜1)與C1交于A、D兩點，與C2交于B、C兩點．(1) 若m＝，AC＝，求橢圓C1、C2的方程；(2) 若OB∥AN，求離心率e的取值范圍． 2． 如圖，在平面直角坐標系中，已知點是橢圓的左焦點，，，分別為橢圓的右、下、上頂點，滿足，橢圓的離心率為． （1）求橢圓的方程； （2）若為線段（包括端點）上任意一點，當 取得最小值時，求點的坐標； O C M N A B （3）設點為線段（包括端點）上的一個動點，射線交橢圓于點，若，求實數(shù)的取值范圍． F 3．已知橢圓 的右焦點為，離心率為e. （1）若，求橢圓的方程； （2）設A，B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF的中點為M，BF的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上． ①證明點A在定圓上；②設直線AB的斜率為k，若，求e的取值范圍． 4．如圖，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且，點到直線的距離. （1）求橢圓的方程; （2）設點位橢圓上的任意一點，求的取值范圍。 y x H A O D F1 F2 5．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為2，一條準線方程為x＝2.P為橢圓C上一點，直線PF1交橢圓C于另一點Q. (1) 求橢圓C的方程； (2) 若點P的坐標為(0，b)，求過P、Q、F2三點的圓的方程； (3) 若＝λ，且λ∈，求的最大值．