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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第四章 第27課 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)要點導學
三角函數(shù)的定義域與值域問題
(1) 求下列函數(shù)的定義域:
①f(x)=lg(sinx-cosx); ②f(x)=.
(2) 求下列函數(shù)的值域:
①y=; ②y=(0
0,
解得x∈(k∈Z).
②由題意知
解得x∈{x|2kπ-≤x≤2kπ+,且x≠kπ,x≠kπ+,k∈Z}.
(2) ①因為y==1-,
所以當sinx=-1時,ymin=1+=,
所以值域為.
②令t=sinx-cosx,則t=sin,
由于00,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,基本思路是把ωx+φ看作一個整體;三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心往往不止一個.
(xx蘇州期末)若函數(shù)f(x)=sin(x+θ)的圖象關(guān)于直線x=對稱,則θ= .
[答案]
[解析]因為f(x)=sin(x+θ)關(guān)于直線x=對稱,所以f=sin=1或-1,所以θ=+kπ(k∈Z),又0<θ<,所以θ=.
三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用
(xx福建卷)已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1) 若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;
(2) 求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間.
[思維引導](1) 根據(jù)sinα求出cosα,即可求出f(α)的值;(2) 先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求出周期和單調(diào)區(qū)間.
[解答]方法一:(1) 因為0<α<,sinα=,
所以cosα=,
所以f(α)=-=.
(2) 因為f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin,
所以T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-. ≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z.
方法二:f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin.
(1) 因為0<α<,sinα=,所以α=,
從而f(α)=sin=sin=.
(2) T==π.
由π-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z.
[精要點評]一般地,此類問題需要把較為復雜的三角函數(shù)形式都化為f(x)=Asin(ωx+φ)+C的形式,然后再求周期、最值或是單調(diào)區(qū)間等.其中周期T=,單調(diào)區(qū)間與相應正弦(或余弦、正切)函數(shù)的性質(zhì)有關(guān),求最值時可借助三角函數(shù)的圖象.
【題組強化重點突破】
1. (xx南通期末)將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象上所有點向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱,則φ= .
[答案]
[解析]函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象上所有點向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)=sin的圖象,由題意得g(0)=0,所以φ-=kπ,即φ=kπ+(k∈Z),又因為0<φ<π,所以φ=.
2. (xx蘇州暑假調(diào)查)已知函數(shù)f(x)=3sin（ωx-）(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的圖象的對稱軸完全相同,那么g的值是 .
[答案]-2
[解析]由兩函數(shù)的圖象的對稱軸完全相同知周期必須相同,所以ω=2,f(x)=3sin圖象的一條對稱軸為x=,所以cos=1(0<φ<π),得φ=,所以g=2cos=-2.
3. (xx蘇北四市期末)已知函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)的最大值與最小正周期相同,那么函數(shù)f(x)在[-1,1]上的單調(diào)增區(qū)間為 .
[答案]
[解析]由題意得函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期為2,所以=2,ω=,所以f(x)=2sin（πx-）,由2kπ-≤πx-≤2kπ+,得2k-≤x≤2k+(k∈Z).當k=0時,-≤x≤,即函數(shù)f(x)在[-1,1]上的單調(diào)增區(qū)間為.
4. 設函數(shù)f(x)=cos+sin2x.
(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2) 設函數(shù)g(x)對任意的x∈R,有g(shù)=g(x),且當x∈時,g(x)=-f(x),求函數(shù)g(x)在[-π,0]上的解析式.
[解答]f(x)=cos+sin2x
=cos2x-sin2x+(1-cos2x)
=-sin2x.
(1) 函數(shù)f(x)的最小正周期T==π.
(2) 當x∈時,g(x)=-f(x)=sin2x.
當x∈時,x+∈ ,g(x)=g=sin=-sin2x.
當x∈時,x+π∈, g(x)=g(x+π)=sin[2(x+π)]=sin2x.
綜上,g(x)=
已知函數(shù)f(x)=2cos（cos-sin）.
(1) 設θ∈,且f(θ)=+1,求θ的值;
(2) 在△ABC中,AB=1,f(C)=+1,且△ABC的面積為,求sin A+sin B的值.
[規(guī)范答題](1) f(x)=2cos2-2sincos=(1+cos x)-sin x=2cos+. (3分)
由2cos+=+1,得cos=. (5分)
于是x+=2kπ(k∈Z),因為x∈,
所以x=-或. (7分)
(2) 因為C∈(0,π),由(1)知C=. (9分)
在△ABC中,設角A,B的對邊分別是a,b.
因為△ABC的面積為,所以=absin,
于是ab=2. ①
由余弦定理,得1=a2+b2-2abcos=a2+b2-6,
所以a2+b2=7.②
由①②可得或于是a+b=2+. (12分)
由正弦定理,得===,
所以sin A+sin B=(a+b)=1+. (14分)
1. 函數(shù)y=|sin x|的單調(diào)增區(qū)間為 .
[答案](k∈Z)
[解析]作出y=|sin x|的圖象,由圖象可知,單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z).
2. 函數(shù)y=2sin2x-3sin 2x的最大值是 .
[答案]+1
[解析]y=1-cos 2x-3sin 2x=-sin(2x+φ)+1,所以函數(shù)的最大值為+1.
3. 函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值是 .
[答案]-
4. 函數(shù)f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分別是 .
[答案]π,
[溫馨提醒]
趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第53-54頁).
2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第四章 第27課 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)要點導學.doc
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