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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 第63課 圓錐曲線的綜合應(yīng)用要點導學 直線與圓錐曲線 　如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,點A是橢圓上任意一點,△AF1F2的周長為4+2. (例1) (1) 求橢圓C的方程; (2) 過點Q(-4,0)任作一動直線l交橢圓C于M,N兩點,記=λ,若在線段MN上取一點R,使得=-λ,則當直線l轉(zhuǎn)動時,點R在某一定直線上運動,求該定直線的方程. [思維引導](1) 根據(jù)條件求出基本量“a,b”,從而得出橢圓C的方程;(2) 根據(jù)=λ和=-λ,將λ用點M,N的坐標表示,然后解出點R的坐標,從而得出該直線的方程. [解答](1) 因為△AF1F2的周長為4+2, 所以2a+2c=4+2,即a+c=2+. 又e==,解得a=2,c=,b2=a2-c2=1, 所以橢圓C的方程為+y2=1. (2) 由題意知,直線l的斜率必存在,設(shè)其方程為y=k(x+4), 設(shè)點M(x1,y1),點N(x2,y2). 由 得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-4=0, 則x1+x2=,x1x2=. 由=λ,得(-4-x1,-y1)=λ(x2+4,y2), 所以-4-x1=λ(x2+4),λ=-. 設(shè)點R的坐標為(x0,y0),由=-λ, 得(x0-x1,y0-y1)=-λ(x2-x0,y2-y0), 所以x0-x1=-λ(x2-x0), 解得x0===, 而2x1x2+4(x1+x2)=2+4=-, (x1+x2)+8=-+8=, 所以x0==-1, 故點R在定直線x=-1上. 　(xx北京東城區(qū)模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)上的點到其兩焦點距離之和為4,且過點(0,1). (1) 求橢圓的方程; (2) 設(shè)O為坐標原點,斜率為k的直線過橢圓的右焦點,且與橢圓交于點A(x1,y1),B(x2,y2),若+=0,求△AOB的面積. [解答](1) 依題意有a=2,b=1. 故橢圓的方程為+y2=1. (2) 由(1)知焦點坐標為(,0),因為直線AB過右焦點(,0), 設(shè)直線AB的方程為y=k(x-). 聯(lián)立方程組 消去y并整理得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0.　(*) 故x1+x2=,x1x2=, y1y2=k(x1-)k(x2-)=. 又+=0,即+y1y2=0, 所以+=0,可得k2=,即k=. 方程(*)可化為3x2-4x+2=0, 由AB=|x1-x2|,可得AB=2, 故原點O到直線AB的距離d==1. 所以S△AOB=ABd=1. 圓錐曲線的綜合問題 　如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為點A,B,離心率為,右準線為l:x=4,M為橢圓上不同于A,B的一點,直線AM與直線l交于點P. (1) 求橢圓C的方程; (2) 若=,判斷點B是否在以PM為直徑的圓上,并說明理由; (3) 連接PB并延長,交橢圓C于點N,若直線MN垂直于x軸,求點M的坐標. (例2) [思維引導](1) 直接根據(jù)題意,可得基本量,寫出橢圓的方程;(2) 將幾何問題代數(shù)化,轉(zhuǎn)化為判斷向量的數(shù)量積是否為0,體現(xiàn)了解析幾何的基本思想;(3) 直線與橢圓的位置關(guān)系,利用方程解決. [解答](1) 由解得所以b2=3. 所以橢圓的方程為+=1. (2) 因為=,所以xM=1. 代入橢圓,得yM=,即M. 所以直線AM的方程為y=(x+2),得點P(4,3). 所以=,=(2,3). 因為=≠0,所以點B不在以PM為直徑的圓上. (3) 因為MN垂直于x軸,故由橢圓對稱性可設(shè)M(x1,y1),N(x1,-y1). 直線AM的方程為y=(x+2),所以yP=, 直線BN的方程為y=(x-2),所以yP=, 所以=. 因為y1≠0,所以=-,解得x1=1. 所以點M的坐標為. [精要點評]熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì),并能將幾何問題代數(shù)化,運用代數(shù)方法解決幾何,滲透“以數(shù)助形”的思想. 　已知橢圓M的對稱軸為坐標軸,離心率為,且拋物線y2=4x的焦點是橢圓M的一個焦點. (1) 求橢圓M的方程; (2) 設(shè)直線l與橢圓M相交于A,B兩點,以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點P在橢圓M上,點O為坐標原點,求點O到直線l的距離的最小值. [解答](1) 由題意知拋物線的焦點為(,0), 設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),則c=. 由e=,得a=2,b2=2, 所以橢圓M的方程為+=1. (2) 當直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為y=kx+m, 聯(lián)立方程組 消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0, Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m2)>0.　① 設(shè)A,B,P三點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),則x0=x1+x2=-,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=, 由于點P在橢圓M上,所以+=1. 從而+=1,化簡得2m2=1+2k2,經(jīng)檢驗滿足①式. 又點O到直線l的距離為 d===≥=,當且僅當k=0時等號成立. 當直線l斜率不存在時,由對稱性知,點P一定在x軸上, 從而點P的坐標為(-2,0)或(2,0),直線l的方程為x=1, 所以點O到直線l的距離為1. 綜上,點O到直線l的距離最小值為. 圓錐曲線的實際應(yīng)用 　某中心接到其正西、正東、正南方向的三個觀測點A,B,C的報告:正西、正南兩個觀測點同時聽到一聲巨響,正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點早4 s.已知各觀測點到該中心的距離都是1 020 m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音的速度為340 m/s,相關(guān)各點均在同一個平面上) [思維引導]這是一個有關(guān)雙曲線的定義,直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用問題. [解答]如圖,以接報中心為原點O,正東,正北方向分別為x軸,y軸正方向建立平面直角坐標系,則點A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,-1 020).　 (例3) 設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點, 則PA-PB=1 360,AB=2 040. 由雙曲線的定義可知,點P在以A,B為焦點的雙曲線-=1上.又PA=PC,所以點P在AC的中垂線y=x上.依題意,a=680,c=1 020,所以b2=c2-a2=53402,故雙曲線的方程為-=1.把y=x代入,得x=680. 因為PA>PB,所以x=y=680,即P(680,680),故PO=680.故巨響發(fā)生在接報中心的北偏東45、距中心680 m處. [精要點評]本題是雙曲線的方程性質(zhì)在實際問題中的應(yīng)用,利用兩個不同的觀測點測得同一聲巨響的時間差,可以確定巨響發(fā)生位置所在的雙曲線的方程. 已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y2),B(x2,y2)(x10,b>0)的左焦點F為圓x2+y2+2x=0的圓心,且橢圓上的點到點F的距離最小值為-1,那么該橢圓的方程為　　　　　　　　. [答案]+y2=1 [解析]因為圓x2+y2+2x=0的圓心為(-1,0),半徑r=1,所以橢圓的半焦距c=1.又橢圓上的點到點F的距離的最小值為-1,所以a-c=-1,即a=,故所求橢圓的方程為+y2=1. 2. 已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+2y-1=0垂直,那么該雙曲線的離心率為　　　　. [答案] [解析]雙曲線的漸近線為y=x,直線x+2y-1=0的斜率為-.因為y=x與直線x+2y-1=0垂直,所以=-1,即b=2a.所以c2=a2+b2=5a2,即e2=5,e=. 3. (xx山東卷)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1.若橢圓C1與雙曲線C2的離心率之積為,則雙曲線C2的漸近線方程為　　　　. [答案]xy=0 [解析]由題意得=,所以=,雙曲線的漸近線方程為y=x,即xy=0. 4. 已知拋物線x2=2py(p>0)與圓x2+y2=1有公共的切線y=x+b,那么p=　　　　. [答案]2 [解析]圓心到直線的距離d==1,所以|b|=.拋物線的方程為y=,函數(shù)的導數(shù)為y==x,設(shè)拋物線的切點坐標為(x0,y0),所以有y=x0=1,所以x0=p,代入得y0=,代入切線y=x+b得=b+p,即b=-,所以=,p=2. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第125-126頁).