2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第5節(jié) 橢圓 理(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第5節(jié) 橢圓 理(含解析) 1.(xx安徽,5分)若F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0b>0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求E的方程; (2)設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時,求l的方程. 解:(1)設(shè)F(c,0),由條件知,=,得c=. 又=,所以a=2,b2=a2-c2=1. 故E的方程為+y2=1. (2)當(dāng)l⊥x軸時不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 將y=kx-2代入+y2=1, 得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 當(dāng)Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時, x1,2=. 從而|PQ|=|x1-x2|=. 又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=. 所以△OPQ的面積S△OPQ=d|PQ|=. 設(shè) =t,則t>0,S△OPQ==. 因?yàn)閠+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=時等號成立,且滿足Δ>0. 所以,當(dāng)△OPQ的面積最大時,l的方程為y=x-2或y=-x-2. 4.(xx江蘇,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),連結(jié)BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連結(jié)F1C. (1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且BF2=,求橢圓的方程; (2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值. 解:設(shè)橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0). (1)因?yàn)锽(0,b),所以BF2==a. 又BF2=,故a=. 因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以+=1. 解得b2=1. 故所求橢圓的方程為+y2=1. (2)因?yàn)锽(0,b),F(xiàn)2(c,0)在直線AB上, 所以直線AB的方程為+=1. 解方程組得或 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 又AC垂直于x軸,由橢圓的對稱性,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為. 因?yàn)橹本€F1C的斜率為=,直線AB的斜率為-,且F1C⊥AB, 所以=-1. 又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=. 因此e=. 5.(xx福建,14分)設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是( ) A.5 B.+ C.7+ D.6 解析:選D 設(shè)圓的圓心為C,則C(0,6),半徑為r=,點(diǎn)C到橢圓上的點(diǎn)Q(cos α,sin α)的距離|CQ|===≤=5,當(dāng)且僅當(dāng)sin α=-時取等號,所以|PQ|≤|CQ|+r=5+=6,即P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是6,故選D. 6.(xx江西,14分)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C:+=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等于________. 解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程相減得+=0,根據(jù)題意有x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且=-,所以+=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得=,所以e=. 答案:. 7.(xx天津,14分)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知|AB|=|F1F2|. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1,經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與該圓相切.求直線的斜率. 解析:(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0). 由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2, 又b2=a2-c2,則=. 所以橢圓的離心率e=. (2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為+=1. 設(shè)P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c), 有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0,故有x0+y0+c=0. ① 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,故+=1.?、? 由①和②可得3x+4cx0=0.而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn),故x0=-c,代入①得y0=,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 設(shè)圓的圓心為T(x1,y1), 則x1==-c,y1==c, 進(jìn)而圓的半徑r==c. 設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx.由l與圓相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4. 所以直線l的斜率為4+或4-. 8.(xx新課標(biāo)全國Ⅰ,5分)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、斜率公式、焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦問題,意在考查考生通過解方程組求解弦的中點(diǎn)的能力.運(yùn)用兩點(diǎn)式得到直線的方程,代入橢圓方程,消去y,由根與系數(shù)的關(guān)系得到a,b之間的關(guān)系,并由a,b,c之間的關(guān)系確定橢圓方程.因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1,-1),所以直線AB的方程為y=(x-3),代入橢圓方程+=1消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,選擇D. 答案:D 9.(xx廣東,5分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程是( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:本題主要考查橢圓的圖像、方程、性質(zhì)等知識,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,意在考查考生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力.依題意,設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),所以解得a2=4,b2=3. 答案:D 10.(xx新課標(biāo)全國Ⅱ,5分)設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是C上的點(diǎn),PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30,則C的離心率為( ) A. B. C. D. 解析:本題主要考查橢圓離心率的計算,涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)等知識,意在考查考生的運(yùn)算求解能力. 法一:由題意可設(shè)|PF2|=m,結(jié)合條件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故離心率e=====. 法二:由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c,將x=c代入橢圓方程可解得y=,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30可得|F1F2|=|PF2|,故2c=,變形可得(a2-c2)=2ac,等式兩邊同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去). 答案:D 11.(xx遼寧,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為( ) A. B. C. D. 解析:本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率,解三角形等知識,意在考查考生對圓錐曲線的求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力.由余弦定理得,|AF|=6,所以2a=6+8=14,又2c=10,所以e==. 答案:B 12.(xx四川,5分)從橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn)F1,A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn),B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則該橢圓的離心率是( ) A. B. C. D. 解析:本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì),意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想.由已知,點(diǎn)P(-c,y)在橢圓上,代入橢圓方程,得P.∵AB∥OP,∴kAB=kOP,即-=-,則b=c,∴a2=b2+c2=2c2,則=,即該橢圓的離心率是. 答案:C 13.(xx天津,13分)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若+=8,求k的值. 解:本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),考查考生的運(yùn)算求解能力以及運(yùn)用方程思想解決問題的能力. (1)設(shè)F(-c,0),由=,知a=c.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線的方程為x=-c,代入橢圓方程有+=1,解得y=,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,從而a=,c=1,所以橢圓的方程為+=1. (2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1),由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-,x1x2=.因?yàn)锳(-,0),B(,0)所以+=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 =6+. 由已知得6+=8,解得k=. 14.(xx山東,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn),以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:因?yàn)闄E圓的離心率為,所以e==,c2=a2,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2=4b2.雙曲線的漸近線方程為y=x,代入橢圓方程得+=1,即+==1,所以x2=b2,x=b,y2=b2,y= b,則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為(b,b),所以四邊形的面積為4 b b=b2=16,所以b2=5,所以橢圓方程為+=1. 答案:D 15.(xx新課標(biāo)全國,5分)設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=上一點(diǎn),△F2PF1是底角為30的等腰三角形,則E的離心率為( ) A. B. C. D. 解析:由題意可得|PF2|=|F1F2|,所以2(a-c)=2c,所以3a=4c,所以e=. 答案:C 16.(2011浙江,5分)已知橢圓C1:+=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-=1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn).若C1恰好將線段AB三等分,則( ) A.a(chǎn)2= B.a(chǎn)2=13 C.b2= D.b2=2 解析:對于直線與橢圓、圓的關(guān)系,如圖所示,設(shè)直線AB與橢圓C1的一個交點(diǎn)為C(靠近A的交點(diǎn)),則|OC|=, 因tan∠COx=2, ∴sin∠COx=, cos∠COx=, 則C的坐標(biāo)為(,),代入橢圓方程得+=1,∴a2=11b2.∵5=a2-b2,∴b2=. 答案:C 17.(2011新課標(biāo)全國,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長為16,那么C的方程為____. 解析:根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),∵e=,∴=.根據(jù)△ABF2的周長為16得4a=16,因此a=4,b=2, 所以橢圓方程為+=1. 答案:+=1 18.(xx陜西,13分)已知橢圓C1:+y2=1,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率. (1)求橢圓C2的方程; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓C1和C2上,=2,求直線AB的方程. 解:(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為+=1(a>2), 其離心率為,故=,則a=4, 故橢圓C2的方程為+=1. (2)法一:A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B不在y軸上,因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx. 將y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4, 所以x=, 將y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16, 所以x=, 又由=2,得x=4x,即=, 解得k=1,故直線AB的方程為y=x或y=-x. 法二:A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB), 由=2及(1)知,O,A,B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B不在y軸上, 因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx. 將y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以 x=,由=2,得x=,y=, 將x,y代入+=1中,得=1,即4+k2=1+4k2, 解得k=1,故直線AB的方程為y=x或y=-x. 19.(xx天津,12分)已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率e=,連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,0),點(diǎn)Q(0,y0)在線段AB的垂直平分線上,且=4,求y0的值. 解:(1)由e==,得3a2=4c2,再由c2=a2-b2,得a=2b. 由題意可知2a2b=4,即ab=2. 解方程組得a=2,b=1. 所以橢圓的方程為+y2=1. (2)由(1)可知A(-2,0),設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2). 于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 由方程組消去y并整理,得 (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 由-2x1=,得 x1=,從而y1=. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,則M的坐標(biāo)為(-,). 以下分兩種情況: ①當(dāng)k=0時,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),線段AB的垂直平分線為y軸, 于是=(-2,-y0),=(2,-y0). 由=4,得y0=2. ②當(dāng)k≠0時,線段AB的垂直平分線的方程為y-=-(x+). 令x=0,解得y0=-. 由=(-2,-y0),=(x1,y1-y0), =-2x1-y0(y1-y0)=+(+) ==4, 整理得7k2=2,故k=, 所以y0=. 綜上,y0=2或y0=.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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