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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 推理與證明 章末檢測(cè) 蘇教版選修2-1 一、填空題 1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是________推理． 2．在△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，則有EF∥BC，這個(gè)問題的大前提為 ________________________． 3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，反設(shè)為________． 4．學(xué)習(xí)合情推理后，甲、乙兩位同學(xué)各舉一個(gè)例子． 甲：由“若三角形周長(zhǎng)為l，面積為S，則其內(nèi)切圓半徑r＝”類比可得“若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑r＝”； 乙：由“若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，則其外接圓半徑r＝”類比可得“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)分別為a、b、c，則其外接球半徑r＝”． 這兩位同學(xué)類比得出的結(jié)論正確的是________． 這兩位同學(xué)類比得出的結(jié)論正確的是________． 5．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表達(dá)式為________． 6．對(duì)“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個(gè)成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立． 其中判斷正確的個(gè)數(shù)為________． 7．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有________個(gè)． ①兩個(gè)球體；②兩個(gè)長(zhǎng)方體；③兩個(gè)正四面體；④兩個(gè)正三棱柱；⑤兩個(gè)正四棱椎． 8．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝1－，則a2 013＝________. 9．從1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般規(guī)律為 ____________________________________． 10．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測(cè)當(dāng)n≥2時(shí)，有____________． 11．如圖所示是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖，設(shè)第n個(gè)圖有an個(gè)“樹枝”，則an＋1與an(n∈N*)之間的關(guān)系是______． 12．在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為＝，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A—BCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是________． 二、解答題 13．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立： (1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交； (2)如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行． 14．1，，2能否為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)？說明理由． 15．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求證：≥(a＋b)． 16．設(shè)a，b，c為一個(gè)三角形的三邊，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，試證：s<2a. 17．給定數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝(其中x∈R且x≠)，求證：經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸． 18．平面幾何中圓的垂徑定理(弦的中點(diǎn)與圓心的連線必定垂直于這條弦)，在解析幾何中可以這樣敘述：若M是圓O：x2＋y2＝r2(r>0)的弦AB的中點(diǎn)，則直線OM與AB的斜率之積為定值(即為－1)． (1)請(qǐng)?jiān)跈E圓＋＝1(a>b>0)中，寫出與上述定理類似的結(jié)論，并予以證明． (2)若把(1)中的結(jié)論類比到雙曲線－＝1(a>0，b>0)中，則直線OM與AB的斜率之積是什么？(不必證明) 答案 1．歸納 2．三角形的中位線平行于第三邊 3．假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角 4．甲 5．f(x)＝ 6．1 7．2 8．－1 9．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 10．f(2n)>(n≥2) 11．a(chǎn)n＋1＝2an＋1 12.＝ 13．解　(1)類比為：如果一個(gè)平面和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交， 則必和另一個(gè)相交． 結(jié)論是正確的：證明如下：設(shè)α∥β，且γ∩α＝a， 則必有γ∩β＝b，若γ與β不相交，則必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，與γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b. (2)類比為：如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行，結(jié)論是錯(cuò)誤的，這兩個(gè)平面也可能相交． 14．解　假設(shè)1，，2能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，但不一定是連續(xù)的三項(xiàng)，設(shè)公差為d，則 1＝－md,2＝＋nd， m，n為兩個(gè)正整數(shù)，消去d得m＝(＋1)n. ∵m為有理數(shù)，(＋1)n為無(wú)理數(shù)， ∴m≠(＋1)n. ∴假設(shè)不成立． 即1，，2不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)． 15．證明　當(dāng)a＋b≤0時(shí)，∵≥0， ∴≥(a＋b)成立． 當(dāng)a＋b>0時(shí)，用分析法證明如下： 要證≥(a＋b)， 只需證()2≥2， 即證a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立， ∴≥(a＋b)成立． 綜上所述，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b不等式都成立． 16．證明　要證s<2a，由于s2＝2ab，所以只需證s<，即證bb>0)的弦AB的中點(diǎn)，則直線OM與AB的斜率之積為定值(－)． 證明如下：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0，y0)，則＋＝1，① ＋＝1，② ①－②，得 ＋＝0， 即＋＝0， ＝－. ∴kOMkAB＝－. (2).