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2019年高考數(shù)學一輪總復習 8.6 立體幾何中的向量方法（一）證明平行與垂直題組訓練 理 蘇教版 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．(xx徐州模擬)已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分別與，垂直，則向量a為________． 解析　由條件知＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，設a＝(x，y，z)則有解可得a＝(1,1,1)． 答案　(1,1,1)或(－1，－1，－1) 2．若＝λ＋μ，則直線AB與平面CDE的位置關系是________． 解析　∵＝λ＋μ，∴，，共面．則AB與平面CDE的位置關系是平行或在平面內． 答案　平行或在平面內 3．設a＝(1,2,0)，b＝(1,0,1)，則“c＝”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”的________條件． 解析　當c＝時，c⊥a，c⊥b且c為單位向量，反之則不成立． 答案　充分不必要 4. 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P為C1D1的中點，M為BC的中點．則AM與PM的位置關系為________(填“平行”、“垂直”、“異面”)． 解析　以D點為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz， 依題意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)． ∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)， ＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)， ∴＝(，1，－)(－，2,0)＝0， 即⊥，∴AM⊥PM. 答案　垂直 5. 如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點的坐標為________． 解析　連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO， 又O是正方形ABCD對角線交點， ∴M為線段EF的中點． 在空間坐標系中，E(0,0,1)，F(xiàn)(，，1)． 由中點坐標公式，知點M的坐標. 答案　 6．已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，則x＝________. 解析　∵α⊥β，∴ab＝x－2＋6＝0，則x＝－4. 答案?。? 7．已知平面α內的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量n＝ (－1，－1，－1)．則不重合的兩個平面α與β的位置關系是________． 解析?。?0,1，－1)，＝(1,0，－1)，∴n＝0，n＝0，∴n⊥，n⊥，故n也是α的一個法向量．又∵α與β不重合，∴α∥β. 答案　平行 8．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果＝(2，－1，－4)， ＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對于結論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的是________． 解析　∵＝0，＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確． 又與不平行， ∴是平面ABCD的法向量，則③正確． 由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， ∴與不平行，故④錯誤． 答案?、佗冖? 二、解答題 9. 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：PB∥平面EFG. 證明　∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD為正方形， ∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1，2,0)． ∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)， 設＝s＋t， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， ∴解得s＝t＝2.∴＝2＋2， 又∵與不共線，∴，與共面． ∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG. 10. 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30的角． (1)求證：CM∥平面PAD； (2)求證：平面PAB⊥平面PAD. 證明　以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4. ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝， (1)設n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，則即∴ 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∵n＝－＋20＋1＝0，∴n⊥， 又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD. (2)取AP的中點E，并連接BE， 則E(，2,1)，＝(－，2,1)， ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又＝(－，2,1)(2，3,0)＝0， ∴⊥，則BE⊥DA. ∵PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD， 又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、填空題 1．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則x＋y的值為________． 解析　∵⊥，∴＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥， 則解得x＝，y＝－.于是x＋y＝－＝. 答案　 2. 如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q； ③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1. 以上正確說法的序號為________． 解析　＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，所以A1M∥D1P，由線面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正確． 答案?、佗邰? 3. 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________． 解析　以D1A1，D1C1，D1D分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設CE＝x，DF＝y(tǒng)，則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(xiàn)(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴＝(x－1,0,1)，∴＝(1,1，y)，由于B1E⊥平面ABF，所以＝(1,1，y)(x－1，0,1)＝0?x＋y＝1. 答案　1 二、解答題 4．在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論． (1)證明　如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設AD＝a， 則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)， F. ＝，＝(0，a,0)． ∵＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)解　設G(x,0，z)，則＝， 若使GF⊥平面PCB，則由 ＝(a,0,0)＝a＝0，得x＝； 由＝(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴G點坐標為，即G點為AD的中點.