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2019年高考數(shù)學真題分類匯編 10.2 雙曲線及其性質 理
考點一 雙曲線的標準方程
1.(xx天津,5,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個焦點在直線l上,則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
答案 A
考點二 雙曲線的幾何性質
2.(xx課標Ⅰ,4,5分)已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為( )
A. B.3 C.m D.3m
答案 A
3.(xx山東,10,5分)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為( )
A.xy=0 B.xy=0
C.x2y=0 D.2xy=0
答案 A
4.(xx廣東,4,5分)若實數(shù)k滿足0
0,b>0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1||PF2|=ab,則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.3
答案 B
6.(xx大綱全國,9,5分)已知雙曲線C的離心率為2,焦點為F1、F2,點A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cos∠AF2F1=( )
A. B. C. D.
答案 A
7.(xx北京,11,5分)設雙曲線C經(jīng)過點(2,2),且與-x2=1具有相同漸近線,則C的方程為 ;漸近線方程為 .
答案 -=1;y=2x
8.(xx浙江,16,4分)設直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B.若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是 .
答案
9.(xx福建,19,13分)已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x.
(1)求雙曲線E的離心率;
(2)如圖,O為坐標原點,動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),且△OAB的面積恒為8.試探究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程;若不存在,說明理由.
解析 解法一:(1)因為雙曲線E的漸近線分別為y=2x,y=-2x,所以=2,
所以=2,
故c=a,
從而雙曲線E的離心率e==.
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為-=1.
設直線l與x軸相交于點C.
當l⊥x軸時,若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點,
則|OC|=a,|AB|=4a,
又因為△OAB的面積為8,
所以|OC||AB|=8,
因此a4a=8,解得a=2,
此時雙曲線E的方程為-=1.
若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為-=1.
以下證明:當直線l不與x軸垂直時,雙曲線E:-=1也滿足條件.
設直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k<-2,
則C.記A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y1=,同理得y2=.
由S△OAB=|OC||y1-y2|得,
=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
因為4-k2<0,
所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),
又因為m2=4(k2-4),
所以Δ=0,即l與雙曲線E有且只有一個公共點.
因此,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為-=1.
解法二:(1)同解法一.
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為-=1.
設直線l的方程為x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
依題意得-2或k<-2.
由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,
因為4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,
又因為△OAB的面積為8,
所以|OA||OB|sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=,
所以=8,化簡得x1x2=4.
所以=4,即m2=4(k2-4).
由(1)得雙曲線E的方程為-=1,
由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,
因為4-k2<0,直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,
即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,
所以雙曲線E的方程為-=1.
當l⊥x軸時,由△OAB的面積等于8可得l:x=2,又易知l:x=2與雙曲線E:-=1有且只有一個公共點.
綜上所述,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為-=1.
10.(xx江西,20,13分)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a>0)的右焦點為F,點A,B分別在C的兩條漸近線上,AF⊥x軸,AB⊥OB,BF∥OA(O為坐標原點).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過C上一點P(x0,y0)(y0≠0)的直線l:-y0y=1與直線AF相交于點M,與直線x=相交于點N.
證明:當點P在C上移動時,恒為定值,并求此定值.
解析 (1)設F(c,0),因為b=1,所以c=,
直線OB的方程為y=-x,直線BF的方程為y=(x-c),解得B.
又直線OA的方程為y=x,則A,kAB==.又因為AB⊥OB,所以=-1,解得a2=3,
故雙曲線C的方程為-y2=1.
(2)由(1)知a=,則直線l的方程為-y0y=1(y0≠0),
即y=.
因為直線AF的方程為x=2,所以直線l與AF的交點為M;
直線l與直線x=的交點為N,
則==
=.
因為P(x0,y0)是C上一點,則-=1,代入上式得
===,
所求定值為==.
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