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第八章假設(shè)檢驗(yàn),8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想8.2正態(tài)總體未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)8.3單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn),上一章介紹了對(duì)總體中未知參數(shù)的估計(jì)方法。本章將討論統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要方面——統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。出于某種需要，對(duì)未知的或不完全明確的總體給出某些假設(shè)，用以說(shuō)明總體可能具備的某種性質(zhì)，這種假設(shè)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如正態(tài)分布的假設(shè)，總體均值的假設(shè)等。這個(gè)假設(shè)是否成立，還需要考察，這一過(guò)程稱(chēng)為假設(shè)檢驗(yàn)，并最終作出判斷，是接受假設(shè)還是拒絕假設(shè)。本章主要介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和常用的檢驗(yàn)方法，重點(diǎn)解決正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。,1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,一、假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的提出,二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類(lèi)錯(cuò)誤,統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要問(wèn)題是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。在總體的分布函數(shù)未知或只知其形式，但不知其參數(shù)的情況下，為了推斷總體的某些性質(zhì)，提出某些關(guān)于總體的假設(shè)。例如，提出總體服從泊松分布的假設(shè)，又如，對(duì)于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)期望?0的假設(shè)等。,這里，先結(jié)合例子來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和做法。,假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)作出判斷：是接受，還是拒絕。,例1已知某煉鐵廠的鐵水含碳量X在某種工藝條件下服從正態(tài)分布N(4.55，0.1082)?，F(xiàn)改變了工藝條件，測(cè)了五爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，總體的方差?2=0.1082一般不會(huì)改變。試問(wèn)工藝條件改變后，鐵水含碳量的均值有無(wú)改變？,,顯然，這里需要解決的問(wèn)題是，如何根據(jù)樣本判斷現(xiàn)在冶煉的鐵水的含碳量是服從?≠4.55的正態(tài)分布呢？還是與過(guò)去一樣仍然服從?=4.55的正態(tài)分布呢？若是前者，可以認(rèn)為新工藝對(duì)鐵水的含碳量有顯著的影響；若是后者，則認(rèn)為新工藝對(duì)鐵水的含碳量沒(méi)有顯著影響。通常，選擇其中之一作為假設(shè)后，再利用樣本檢驗(yàn)假設(shè)的真?zhèn)巍?,,例2某自動(dòng)車(chē)床生產(chǎn)了一批鐵釘，現(xiàn)從該批鐵釘中隨機(jī)抽取了11根，測(cè)得長(zhǎng)度(單位：mm)數(shù)據(jù)為：10.41，10.32，10.62，40.18，10.77，10.64，10.82，10.49，10.38，10.59，10.54。試問(wèn)鐵釘?shù)拈L(zhǎng)度X是否服從正態(tài)分布？,而在本例中，我們關(guān)心的問(wèn)題是總體X是否服從正態(tài)分布。如同例1那樣，選擇“是”或“否”作為假設(shè)，然后利用樣本對(duì)假設(shè)的真?zhèn)巫鞒雠袛唷?以上兩例都是實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。我們把問(wèn)題中涉及到的假設(shè)稱(chēng)為原假設(shè)或稱(chēng)待檢假設(shè)，一般用H0表示。而把與原假設(shè)對(duì)立的斷言稱(chēng)為備擇假設(shè)，記為H1。如例1，若原假設(shè)為H0：?=?0=4.55，則備擇假設(shè)為H1：?≠4.55。若例2的原假設(shè)為H0：X服從正態(tài)分布，則備擇假設(shè)為H1：X不服從正態(tài)分布。,當(dāng)然，在兩個(gè)假設(shè)中用哪一個(gè)作為原假設(shè)，哪一個(gè)作為備擇假設(shè)，視具體問(wèn)題的題設(shè)和要求而定。在許多問(wèn)題中，當(dāng)總體分布的類(lèi)型已知時(shí)，只對(duì)其中一個(gè)或幾個(gè)未知參數(shù)作出假設(shè)，這類(lèi)問(wèn)題通常稱(chēng)之為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，如例1。而在有些問(wèn)題中，當(dāng)總體的分布完全不知或不確切知道，就需要對(duì)總體分布作出某種假設(shè)，這種問(wèn)題稱(chēng)為分布假設(shè)檢驗(yàn)，如例2。,接下來(lái)我們要做的事是：給出一個(gè)合理的法則，根據(jù)這一法則，利用巳知樣本做出判斷是接受假設(shè)H0，還是拒絕假設(shè)H0。,二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,假設(shè)檢驗(yàn)的一般提法是：在給定備擇假設(shè)H1下，利用樣本對(duì)原假設(shè)H0作出判斷，若拒絕原假設(shè)H0，那就意味著接受備擇假設(shè)H1，否則，就接受原假設(shè)H0。換句話(huà)說(shuō)，假設(shè)檢驗(yàn)就是要在原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1中作出拒絕哪一個(gè)和接受哪一個(gè)的判斷。究竟如何作出判斷呢？對(duì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的依據(jù)是所謂小概率原理，即,概率很小的事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生!,例如，在100件產(chǎn)品中，有一件次品，隨機(jī)地從中取出一個(gè)產(chǎn)品是次品的事件就是小概率事件。因?yàn)榇耸录l(fā)生的概率?=0.01很小，因此，從中任意抽一件產(chǎn)品恰好是次品的事件可認(rèn)為幾乎不可能發(fā)生的，如果確實(shí)出現(xiàn)了次品，我們就有理由懷疑這“100件產(chǎn)品中只有一件次品”的真實(shí)性。那么?取值多少才算是小概率呢？這就要視實(shí)際問(wèn)題的需要而定，一般?取0.1，0.05，0.01等。,以例1為例：首先建立假設(shè)：,H0：?=?0=4.55，H1：?≠4.55。,其次，從總體中作一隨機(jī)抽樣得到一樣本觀察值(x1，x2，…，xn)。,注意到是的無(wú)偏估計(jì)量。因此，若H0正確，則,與?0的偏差一般不應(yīng)太大，即,不應(yīng)太大，若過(guò)分大，我們有理由懷疑H0的正確性而拒絕H0。由于,因此，考察,的大小等價(jià)于考察,的大小，哪么如何判斷,是否偏大呢？,具體設(shè)想是，對(duì)給定的小正數(shù)?，由于事件,是概率為?的小概率事件，即,因此，當(dāng)用樣本值代入統(tǒng)計(jì)量,具體計(jì)算得到其觀察值,統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。,當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí)，就拒絕H0，則稱(chēng)C為H0的拒絕域，拒絕域的邊界點(diǎn)稱(chēng)為臨界值。如例1中拒絕域?yàn)?，臨界值為和,若,即說(shuō)明在一次抽樣中，小概率事件居然發(fā)生了。,因此依據(jù)小概率原理，有理由拒絕H0，接受H1；,，則沒(méi)有理由拒絕H0，只能接受H0。,若,將上述檢驗(yàn)思想歸納起來(lái)，可得參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：,(1)根據(jù)所討論的實(shí)際問(wèn)題建立原假設(shè)H0及備擇假設(shè)H1；,(2)選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z，并明確其分布；,(3)對(duì)預(yù)先給定的小概率?＞0，由P{|Z|≥z?/2}=?確定臨界值z(mì)?/2；,(4)由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z(mì)，并作出判斷，若|z|≥z?/2，則拒絕H0，接受H1；若|z|＜z?/2，則接受H0。,現(xiàn)在，我們來(lái)解決例1提出的問(wèn)題：,(1)假設(shè)H0：?=?0=4.55，H1：?≠4.55；,(2)選擇檢驗(yàn)用統(tǒng)計(jì)量,(3)對(duì)于給定小正數(shù)，如?=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分表得到臨界值z(mì)?/2=z0.025=1.96；,因?yàn)閨z|=3.9＞1.96，所以拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為新工藝改變了鐵水的平均含碳量。,(4)具體計(jì)算：這里n=5，,,故Z的觀察值,三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類(lèi)錯(cuò)誤,第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，卻作出拒絕H0的判斷，通常稱(chēng)之為棄真錯(cuò)誤，由于樣本的隨機(jī)性，犯這類(lèi)錯(cuò)誤的可能性是不可避免的。若將犯這一類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為?，則有P{拒絕H0|H0為真}=?。,第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)H0不成立時(shí)，卻作出接受H0的決定，這類(lèi)錯(cuò)誤稱(chēng)之為取偽錯(cuò)誤，這類(lèi)錯(cuò)誤同樣是不可避免的。若將犯這類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為?，則有P{接受H0|H0為假}=?。,自然，我們希望一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)所作的判斷犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都很小。事實(shí)上，在樣本容量n固定的情況下，這一點(diǎn)是辦不到的。因?yàn)楫?dāng)?減小時(shí)，?就增大；反之，當(dāng)?減小時(shí)，就?增大。,那么，如何處理這一問(wèn)題呢？事實(shí)上，在處理實(shí)際問(wèn)題中，一般地，對(duì)原假設(shè)H0，我們都是經(jīng)過(guò)充分考慮的情況下建立的，或者認(rèn)為犯棄真錯(cuò)誤會(huì)造成嚴(yán)重的后果。,例如，原假設(shè)是前人工作的結(jié)晶，具有穩(wěn)定性，從經(jīng)驗(yàn)看，沒(méi)有條件發(fā)生變化，是不會(huì)輕易被否定的，如果因犯第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤而被否定，往往會(huì)造成很大的損失。因此，在H0與H1之間，我們主觀上往往傾向于保護(hù)H0，即H0確實(shí)成立時(shí)，作出拒絕H0的概率應(yīng)是一個(gè)很小的正數(shù)，也就是將犯棄真錯(cuò)誤的概率限制在事先給定的范圍內(nèi)，這類(lèi)假設(shè)檢驗(yàn)通常稱(chēng)為顯著性假設(shè)檢驗(yàn)，小正數(shù)?稱(chēng)為檢驗(yàn)水平或稱(chēng)顯著性水平。,8.2正態(tài)總體下未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),一、單個(gè)正態(tài)總體情形,1．均值?的檢驗(yàn),原假設(shè)H0：?=?0，備擇假設(shè)H1：?≠?0。,(a)?2已知,由上節(jié)的討論可知，在H0成立的條件下，選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平?，查正態(tài)分布表得臨界值z(mì)?/2，再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z(mì)并與z?/2比較，若|z|≥z?/2，則拒絕H0，接受H1；若|z|＜z?/2，則接受H0。這種檢驗(yàn)法常稱(chēng)為Z檢驗(yàn)法。,一、單個(gè)正態(tài)總體情形,例1設(shè)某車(chē)床生產(chǎn)的鈕扣的直徑X服從正態(tài)分布，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車(chē)床工作正常時(shí)，生產(chǎn)的鈕扣的平均直徑?0=26mm，方差?2=2.62。某天開(kāi)機(jī)一段時(shí)間后，為檢驗(yàn)車(chē)床工作是否正常，隨機(jī)地從剛生產(chǎn)的鈕扣中抽檢了100粒，測(cè)得均值為26.56。假定方差沒(méi)有什么變化。試分別在?1=0.05，?2=0.01下，檢驗(yàn)該車(chē)床工作是否正常？,由?1=0.05及?2=0.01，查正態(tài)分布表，得臨界值z(mì)?1/2=z0.025=1.96，z?2/2=z0.005=2.58。而,解：原假設(shè)H0：?=?0，備擇假設(shè)H1：?≠?0。,因此，|z|=2.15＞1.96，但|z|=2.15＜2.58，故在檢驗(yàn)水平?1=0.05下，應(yīng)當(dāng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為該天車(chē)床工作不正常；而在檢驗(yàn)水平?2=0.01下，應(yīng)當(dāng)接受H0，即認(rèn)為該天車(chē)床工作是正常的。,上例說(shuō)明：1）對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，同一個(gè)樣本，由于檢驗(yàn)水平不一樣，可能得出完全相反的結(jié)論。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，如何合理地選擇檢驗(yàn)水平是非常重要的。,(b)?2未知,由于?2未知，因此，不能用Z作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，但注意到樣本方差,是?2的無(wú)偏估計(jì)量，因此，我們自然會(huì)想到用s2代替?2，而在第六章的定理3也已經(jīng)證明，在H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量,于是，對(duì)給定的顯著性水平?＞0，查t分布表可得臨界值t?/2，使P{|t|≥t?/2}=?成立。再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t，并與t?/2比較，若|t|≥t?/2，則拒絕H0，接受H1；若|t|＜t?/2，則接受H0。這種檢驗(yàn)法也稱(chēng)為t檢驗(yàn)法。,例2某廠利用某種鋼生產(chǎn)鋼筋，根據(jù)長(zhǎng)期資料的分析，知道這種鋼筋強(qiáng)度X服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取六根鋼筋進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)，測(cè)得強(qiáng)度X(單位：kg/mm2)為48.5，49.0，53.5，56.0，52.5，49.5。試問(wèn)：能否據(jù)此認(rèn)為這種鋼筋的平均強(qiáng)度為52.0kg/mm2(?=0.05)?,解設(shè)X～N(?，?2)，,依題意建立假設(shè)H0：?=?0，H1：?≠?0。,這里?2未知，故在H0成立的條件下應(yīng)選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由已知?=0.05，查t分布表得臨界值t?/2=t0.025(6－1)=2.571。,又由樣本值算得,因?yàn)椋瑋t|≈0.41＜2.571，故接受H0，即可以認(rèn)為這種鋼筋的平均強(qiáng)度為52.0kg/mm2。,2．方差的檢驗(yàn),設(shè)總體X～N(?，?2)，均未知，(X1，X2，…，Xn)來(lái)自總體X的樣本，要求進(jìn)行的檢驗(yàn)(設(shè)顯著性水平為?＞0)為,原假設(shè)H0：=，備擇假設(shè)H1：≠。,是的無(wú)偏估計(jì)量，因此由第六章的定理3知當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量,因此對(duì)給定檢驗(yàn)水平?＞0，由?2分布表求得臨界值(n–1)及(n–1)使,再由樣本值(x1,x2,…,xn)具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量?2的觀察值,判斷：,這種檢驗(yàn)法稱(chēng)為?2檢驗(yàn)法。,例4某種電子元件的壽命(單位：h)X～N(?，?2)，其中?，?2未知?，F(xiàn)檢測(cè)了16只電子元件，其壽命如下：159，280，101，212，224，279，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170。試問(wèn)元件壽命的方差?2是否等于1002(?=0.05)？,解依題意，假設(shè)H0：?2=1002，H1：?2≠1002，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,因此對(duì)給定檢驗(yàn)水平?=0.05，由?2分布表求得臨界值,又據(jù)樣本值算得：,因?yàn)?.262＜12.81＜27.488，所以，應(yīng)接受H0，即可以認(rèn)為電子元件壽命的方差?2與1002無(wú)顯著差異。,例5某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池，其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差?2=5000（小時(shí)2）的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來(lái)看，壽命的波動(dòng)性有所改變，現(xiàn)隨機(jī)抽取26只電池，測(cè)出其壽命的樣本方差s2=9200（小時(shí)2）。問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命波動(dòng)性較以往有顯著改變（取?=0.02)?,所以拒絕H0，由此可以推斷這批電池的壽命波動(dòng)性較以往有顯著改變。,在實(shí)際應(yīng)用中，常常遇到兩正態(tài)總體參數(shù)的比較問(wèn)題，如兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的燈泡壽命是否相同；兩批電子元件的電阻是否有差別；兩臺(tái)機(jī)床加工零件的精度是否有差異等等。一般都可歸納為兩正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。,因此，對(duì)給定顯著性水平?＞0，可查t分布表求得臨界值t?/2(n1+n2–2)。再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t，并與t?/2(n1+n2–2)比較，若|t|≥t?/2(n1+n2–2)，則拒絕H0，接受H1；若|t|2.1315。,因t沒(méi)有落入拒絕域，故H0?相容，認(rèn)為東、西兩支礦脈的平均含鋅量可以看作一樣，無(wú)顯著差異。樣本均值之間的差異可以認(rèn)為是由隨機(jī)性所導(dǎo)致的，而不是系統(tǒng)偏差。,8.3單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn),以上介紹的假設(shè)檢驗(yàn)，歸納起來(lái)為下面兩種形式：(1)原假設(shè)H0：?=?0，備擇假設(shè)H1：?≠?0，其中?0為某一常數(shù)；(2)原假設(shè)H0：?1=?2，備擇假設(shè)H1：?1≠?2，其中?1，?2分別為兩相互獨(dú)立的總體X與Y的參數(shù)。,這類(lèi)假設(shè)的共同特點(diǎn)是，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值與臨界值比較，無(wú)論是偏大還是偏小，都應(yīng)否定H0，接受H1。因此，通常也稱(chēng)為雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)。,但在某些實(shí)際問(wèn)題中，例如，對(duì)于設(shè)備、元件的壽命來(lái)說(shuō)，壽命越長(zhǎng)越好，而產(chǎn)品的廢品率當(dāng)然越低越好，同時(shí)均方差越小也是我們所希望的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，除了上述的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)之外，還有許多其它形式的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：,(3)原假設(shè)H0：?≥?0(或?≤?0)，備擇假設(shè)H1：?＜?0(或?＞?0)。其中為總體X的未知參數(shù)，?0為一常數(shù)；,(4)原假設(shè)H0：?1≥?2(或?1≤?2)，備擇假設(shè)H1：?1＜?2(或?1＞?2)。其中?1，?2為相互獨(dú)立的總體X與Y的未知參數(shù)。(3)、(4)兩種統(tǒng)計(jì)假設(shè)，常稱(chēng)之為單側(cè)假設(shè)，相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)為單側(cè)（左、右）假設(shè)檢驗(yàn)。,例1某廠生產(chǎn)的電子元件的壽命(單位：h)X～N(?，?2)，其中未知。但據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，電子元件的壽命一直穩(wěn)定在0=200小時(shí)，現(xiàn)該廠對(duì)生產(chǎn)工藝作了某些改進(jìn)，為了了解技術(shù)革新的效果，從剛生產(chǎn)的電子元件中任意抽取16只，測(cè)得壽命如下：199，280，191，232，224，279，179，254，222，192，168，250，189，260，285，170。試問(wèn)：工藝改進(jìn)后，在檢驗(yàn)水平?=0.05下是否可以認(rèn)為元件的平均壽命有了顯著的提高？,,解顯然，該問(wèn)題是要判斷新產(chǎn)品的壽命是否服從?＞200小時(shí)的正態(tài)分布？由此，建立假設(shè),原假設(shè)H0：?≤?0=200，備擇假設(shè)H1：?＞200。,分兩種情況討論：,1)當(dāng)?=?0時(shí)，由于?2未知，取統(tǒng)計(jì)量,因此，對(duì)給定的小正數(shù)?，由P{t≥t?(n-1)}得臨界值t?(n-1)。,顯然，,是概率為?的小概率事件或t≥t?(n-1)是H0的拒絕域。,2)當(dāng)??0，只要由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t≥t?(n-1)，就應(yīng)當(dāng)拒絕H0，接受H1；否則就接受H0?，F(xiàn)在我們來(lái)解決例1。,,由樣本觀察值具體計(jì)算得:,由?=0.05查t分布表得臨界值,所以，應(yīng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為經(jīng)過(guò)工藝改進(jìn)后，元件的平均壽命有了顯著的提高。,其它類(lèi)似的情況見(jiàn)書(shū)P178頁(yè)表8-1。,例2某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃料率X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ=40cm/s，σ=2cm/s?，F(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器,從中隨機(jī)地取n=25只,測(cè)得燃燒率的樣本均值為=41.25cm/s.設(shè)在新方法下總體均方差仍為2cm/s,這批推進(jìn)器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃燒率有顯著的提高？取顯著性水平α=0.05。,H1:μ>μ0（即假設(shè)新方法提高了燃燒率）,解按題意需檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ≤μ0=40（即假設(shè)新方法沒(méi)有提高燃燒率）,即z的值落在拒絕域中。所以我們?cè)陲@著性水平α=0.05下，拒絕H0。即認(rèn)為這批推進(jìn)器的燃料率較以往生產(chǎn)的有顯著地提高。,這是右側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，其拒絕域?yàn)?(2)燈泡合格，即燈泡的使用壽命應(yīng)不顯著低于標(biāo)準(zhǔn)值?0=1000小時(shí)，因而屬單邊左側(cè)檢驗(yàn)。故待驗(yàn)假設(shè)應(yīng)為,注：題解中的能否換成H0：?≤1000，H1：?>1000(單邊右側(cè)檢驗(yàn))呢？答案是否定的。因?yàn)椋藭r(shí)，t=－1.8<1.75。故應(yīng)考慮接受H0：?≤1000。但此時(shí)，既不能認(rèn)為這批元件是不合格的(有可能?=1000)，也不能認(rèn)為是合格的(有可能?<1000)。由此可見(jiàn)，就本題的題設(shè)而言，待檢假設(shè)只能是H0：?≥1000，H0：?102。,(1)檢驗(yàn)假設(shè)H0：，H1：,由于?2未知，應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由?=0.05，查t分布表得臨界值,由樣本觀察值具體計(jì)算，得,因?yàn)椋士梢哉J(rèn)為平均每袋鹽的凈重為500g，即機(jī)器包裝沒(méi)有產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。,(2)檢驗(yàn)假設(shè)≤102，。,這是方差的單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由?=0.05，查?2分布表得臨界值,故拒絕，接受，即認(rèn)為其方差超過(guò)102。即包裝機(jī)工作雖然沒(méi)有系統(tǒng)誤差，但是不夠穩(wěn)定。因此，在顯著性水平?=0.05下，可以認(rèn)定該天包裝機(jī)工作不夠正常。,例6有兩臺(tái)車(chē)床生產(chǎn)同一種型號(hào)的鋼球，根據(jù)已往的經(jīng)驗(yàn)可以認(rèn)為，這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的鋼球的直徑均服從正態(tài)分布?，F(xiàn)從這兩臺(tái)車(chē)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出8個(gè)和9個(gè)鋼球，測(cè)得鋼球的直徑如下(單位：mm)：甲車(chē)床：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8；乙車(chē)床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.9。試問(wèn)據(jù)此是否可以認(rèn)為乙車(chē)床生產(chǎn)的產(chǎn)品的方差比甲車(chē)床小(取?=0.05)？,解提出假設(shè)H0：σ12≤σ22，H1：σ12>σ22,選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由?=0.05，查F分布表得臨界值,由樣本觀察值具體計(jì)算，得,故應(yīng)拒絕H0，接受H1，即可以認(rèn)為乙車(chē)床產(chǎn)品的直徑的方差比甲車(chē)床小。,例7為了了解某種添加劑對(duì)預(yù)制板的承載力有無(wú)提高作用。現(xiàn)用原方法(無(wú)添加劑)及新方法(添加該種添加劑)各澆制了10塊預(yù)制板，其承載數(shù)據(jù)(單位：kg/cm2)如下：原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3；新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1。設(shè)兩種方法所得的預(yù)制板的承載力均服從正態(tài)分布。試問(wèn)新方法能否提高預(yù)制板的承載力(取?=0.05)？,解用X，Y分別表示兩種方法下預(yù)制板的承載力。依題設(shè)，，因不知，，是否相等，故首先應(yīng)檢驗(yàn)假設(shè),由假設(shè)知應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：,由?=0.05，查F分布表得臨界值,H0：=，H1：≠,由樣本觀察值具體計(jì)算，得,因?yàn)?.248＜1.49＜4.03。故應(yīng)接受H0，即認(rèn)為兩種方法的方差無(wú)顯著差異，可以認(rèn)為相等，亦即,其次在的前提下，檢驗(yàn)假設(shè)：：?1≥?2，：?1＜?2。,由于兩總體方差相等，因此可選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由?=0.05，查t分布表得臨界值,由于－4.295＜－1.734，所以應(yīng)拒絕，即認(rèn)為加進(jìn)添加劑生產(chǎn)的預(yù)制板承載力有明顯提高。,例8按規(guī)定，每100g的罐頭，番茄汁中VC的含量不得少于21mg，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中任取17個(gè)，測(cè)得VC的含量（單位：mg）為16，22，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，25。已知VC的含量服從正態(tài)分布，試以0.025的檢驗(yàn)水平檢驗(yàn)該批罐頭的VC含量是否合格。,解：假設(shè)：,由樣本觀測(cè)算得：,故接受原假設(shè)，即可以為該批罐頭的VC含量是合格的。,例9某治金工作者對(duì)錳的溶化點(diǎn)作了4次試驗(yàn)，結(jié)果分別為：1269℃,1271℃,1263℃,1265℃。假定數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，在條件下，試檢驗(yàn)：（1）這些結(jié)果是否符合于公布的平均溫度1260℃；（2）測(cè)定值的均方差小于等于2℃,解（1）假設(shè)：,由于方差?2未知，故采用t—檢驗(yàn)法。由樣本值得，,故拒絕原假設(shè)H0，即不能認(rèn)為結(jié)果符合公布的數(shù)字1260℃。,（2）假設(shè)：,應(yīng)采用?2—檢驗(yàn)法：,故拒絕H0，即不能認(rèn)為測(cè)定值的均方差小于等于2℃。,練習(xí)題,不顯著地小于原有的水平!,1．某工廠生產(chǎn)一種活塞，其直徑服從正態(tài)分布N(?，?2)且直徑方差的標(biāo)準(zhǔn)值?2=0.0004?，F(xiàn)對(duì)生產(chǎn)工藝作了某些改進(jìn)，為考察新工藝的效果，現(xiàn)從新工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取25個(gè)，測(cè)得新活塞的方差s2=0.0006336。試問(wèn)新工藝生產(chǎn)活塞直徑的波動(dòng)性是否顯著地小于原有的水平(取?=0.05)？,,由題設(shè)可知，這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)！,,3某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池，其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差?2=5000（小時(shí)2）的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來(lái)看，壽命的波動(dòng)性有所改變，現(xiàn)隨機(jī)抽取26只電池，測(cè)出其壽命的樣本方差s2=9200（小時(shí)2）。問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命波動(dòng)性較以往有顯著改變（取?=0.02)?,這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)！,所以拒絕H0，由此可以推斷這批電池的壽命波動(dòng)性較以往有顯著改變。,,4某廠生產(chǎn)的電子元件的壽命(單位：h)X～N(?，?2)，其中?2未知。但據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，電子元件的壽命一直穩(wěn)定在?0=200小時(shí)，現(xiàn)該廠對(duì)生產(chǎn)工藝作了某些改進(jìn)，為了了解技術(shù)革新的效果，從剛生產(chǎn)的電子元件中任意抽取16只，測(cè)得壽命如下：199，280，191，232，224，279，179，254，222，192，168，250，189，260，285，170。試問(wèn)：工藝改進(jìn)后，在檢驗(yàn)水平?=0.05下是否可以認(rèn)為元件的平均壽命有了顯著的提高？,應(yīng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為經(jīng)過(guò)工藝改進(jìn)后，元件的平均壽命有了顯著的提高。,,第八章假設(shè)檢驗(yàn)習(xí)題課,二、主要內(nèi)容,三、典型例題,一、重點(diǎn)與難點(diǎn),,,,,一、重點(diǎn)與難點(diǎn),1.重點(diǎn),掌握一個(gè)正態(tài)總體的期望和方差的假設(shè)檢驗(yàn).,2.難點(diǎn),確定零假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1;理解顯著性水平a以及確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和根據(jù)樣本值作出拒絕還是接受H0的判斷.,,,,原假設(shè)與備擇假設(shè),,,,,常見(jiàn)的假設(shè)檢驗(yàn),單邊檢驗(yàn)拒絕域,單邊、雙邊檢驗(yàn),二、主要內(nèi)容,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域與臨界點(diǎn),,,,兩類(lèi)錯(cuò)誤,,正態(tài)總體均值的檢驗(yàn),正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn),正態(tài)總體方差的檢驗(yàn),置信區(qū)間,,特征函數(shù),分布擬合檢驗(yàn),,秩和檢驗(yàn),,原假設(shè)與備擇假設(shè),假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題通常敘述為:,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域與臨界點(diǎn),當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí),我們拒絕原假設(shè)H0,則稱(chēng)區(qū)域C為拒絕域,拒絕域的邊界點(diǎn)稱(chēng)為臨界點(diǎn).,兩類(lèi)錯(cuò)誤,1.當(dāng)原假設(shè)H0為真,觀察值卻落入拒絕域,而作出了拒絕H0的判斷,稱(chēng)做第一類(lèi)錯(cuò)誤,又叫棄真錯(cuò)誤,這類(lèi)錯(cuò)誤是“以真為假”.犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率是顯著性水平,2.當(dāng)原假設(shè)H0不真,而觀察值卻落入接受域,而作出了接受H0的判斷,稱(chēng)做第二類(lèi)錯(cuò)誤,又叫取偽錯(cuò)誤,這類(lèi)錯(cuò)誤是“以假為真”.,正態(tài)總體均值的檢驗(yàn),利用t統(tǒng)計(jì)量得出拒絕域的檢驗(yàn)法稱(chēng)為t檢驗(yàn)法.,正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn),故拒絕域?yàn)?正態(tài)總體方差的檢驗(yàn),(1)雙邊假設(shè)檢驗(yàn):,拒絕域?yàn)?,,(3)左邊檢驗(yàn)問(wèn)題:,拒絕域?yàn)?(2)右邊假設(shè)檢驗(yàn):,拒絕域?yàn)?,,(1)檢驗(yàn)假設(shè):,拒絕域?yàn)?(2)檢驗(yàn)假設(shè):,拒絕域?yàn)?,(3)檢驗(yàn)假設(shè):,拒絕域?yàn)?置信區(qū)間,施行特征函數(shù),Z檢驗(yàn)法右邊檢驗(yàn)OC函數(shù)的性質(zhì)如下:,,兩種檢驗(yàn)法的OC函數(shù)如表,單邊、雙邊假設(shè)檢驗(yàn),單邊檢驗(yàn)的拒絕域,分布擬合檢驗(yàn),秩和檢驗(yàn),秩和檢驗(yàn)法是一種非參數(shù)檢驗(yàn)法,它是一種用樣本秩來(lái)代替樣本值的檢驗(yàn)法.,用秩和檢驗(yàn)法可以檢驗(yàn)兩個(gè)總體的分布函數(shù)是否相等的問(wèn)題.,三、典型例題,解,設(shè)某次考試的考生成績(jī)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取36位考生的成績(jī),算得平均成績(jī)?yōu)?6.5分,標(biāo)準(zhǔn)差為15分,問(wèn)在顯著性水平0.05下,是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分?并給出檢驗(yàn)過(guò)程.,需檢驗(yàn)假設(shè):,例1,,查表8-1知拒絕域?yàn)?,解,某磚廠制成兩批機(jī)制紅磚,抽樣檢查測(cè)量磚的抗折強(qiáng)度(千克),得到結(jié)果如下:,已知磚的抗折強(qiáng)度服從正態(tài)分布,試檢驗(yàn):,(1)兩批紅磚的抗折強(qiáng)度的方差是否有顯著差異?(2)兩批紅磚的抗折強(qiáng)度的數(shù)學(xué)期望是否有顯著差異?,(1)檢驗(yàn)假設(shè):,例2,,查表8-1知拒絕域?yàn)?,(2)檢驗(yàn)假設(shè):,,查表8-1知拒絕域?yàn)?,備用例題,